高中数学第2章《数列》教案苏教版必修.docVIP

本章复习与小结（2）一、递推关系通项公式的求法：对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：模式一：形如递推式。由累加法可求得通项公式为：。例1（2007北京高考题）数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列（I）求的值；（II）求的通项公式 模式二：形如递推式。由得，使用累乘法可得。例2已知数列满足，求通项公式。模式三：形如（其中、为常数）递推式，通常解法是设，求出，因是等比数列则可求出通项公式。例3（2007全国高考卷）已知数列中，（I）求的通项公式；（II）略。模式四：形如（其中为常数）递推式，（、为常数）是其特殊情形。后者的等式两边同除以，得，令，则可化归为（、为常数）型。例4（2007天津高考题）在数列中，其中（I）求数列的通项公式；（II）略；模式五：形如（其中为常数）递推式，设数列，使，则，即，令，则，即已化为模式一。例5已知数列满足，且，求数列的通项公式。模式六：形如(且递推式，它的推广形式为。通过对等式两边取对数，得，再令，即转化为类型一例6已知数列满足，求。模式七：形如（其中、是不为零的常数）递推式，可变形为，则是公比为的等比数列，这就转化为了模式三。例7（2006福建文科高考题）已知数列满足,。（I）略；（II）求数列的通项公式；模式八：形如及其变形形式和（其中、是不为零的常数）递推式。对两边同除以，再令，即化为等差数列形式。例8（2005重庆高考题）数列满足且记（I）略；（）求数列的通项公式及数列的前n项和模式九：形如（其中）递推式，它是模式八的推广。通常两边同除以，得，有，再令，得，这就化为了模式五。例9（2006江西高考题）已知数列an满足：，且，（I）求数列an的通项公式；（2）略。解：（I）将条件变为：，因此为一个等比数列，其首项为1，公比，从而，据此可得.模式十：形如（其中、是不为零的常数）递推式，将原式转化为，然后再通过迭代进行求解。例10（2005江西高考题）已知数列， （1）略；（2）求数列的通项公式an.模式十一：形如（、为常数）递推式，解常解法为：先设函数，视、为得到特征方程，再以此方程的解的情况来求解。若此方程无解，则此数列为循环数列；若特征方程有两个不等的实根、，则可变形为（其中）；若特征方程有两个相等的实根，则可变形为（其中为常数）。例11已知数列an，满足，求an.模式十二：形如（其中、为非零常数）递推式。例12（2007四川高考题）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。（）、（）略；（）若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式。 二、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法，仅供参考。（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式的推导。例1已知满足，当时，若，求 （二）错位相减法：这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中、分别是等差数列和等比数列。例2求数列的前项和。（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。例3已知数列满足，求其前项和。（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如 、等公式。例4求数列,的和。（五）拆项（裂项）相消法：若数列能裂项成，即所裂两项具有传递性（即关于n的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。例5已知数列满足，求数列的前项和（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。例求数列的前项和（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意的奇偶性。例7已知数列，求数列的前项和（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分为奇数、偶数进行讨论。例8若，求数列的前项和（九）利用周期性求和：若数列，都有（其中,为给定的自然数，），则称数列为周期数列，其中为其周期。例9已知数列中，求其前项的和.（十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。例10求数列前项和，其中.（十一）待定系数法：若数列的和是