武汉市武昌区部分学校2016届九年级上期末数学试卷含答案解析

武汉市武昌区部分学校 2016届九年级上期末数学试卷含答案解析 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分，满分 30分） 1方程 23x+2=0 的二次项系数和一次项系数分别为 ( ) A 3 和 2 B 2 和 3 C 2 和 3 D 3 和 2 2一元二次方程 2x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是 ( ) A m 1 B m=1 C m 1 D m1 3将抛物线 y= 2向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位后所得到的抛物线为 ( ) A y= 2（ x+1） 2 1 B y= 2（ x+1） 2+3 C y= 2（ x 1） 2+1 D y= 2（ x 1） 2+3 4已知圆锥的底面半径是 3，高是 4，则这个圆锥的全面积是 ( ) A 12 B 15 C 24 D 30 5如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为 ( ) A 2 B 4 C 4 D 8 6在平面直角坐标系中，点 M（ 3， 5）关于原点对称的点的坐标是 ( ) A（ 3， 5） B（ 3， 5） C（ 5， 3） D（ 3， 5） 7如图，在 ， C=90， B=30， 点 C 为圆心，以 2长为半径作圆，则 C 与 位置关系是 ( ) A相离 B相切 C相交 D相切或相交 8用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为 ( ) A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 9已知二次函数 y=（ x+h） 2，当 x 3 时， y 随 x 0时， y 随 x 增大而减小，且 h 满足 2h 3=0，则当 x=0 时， ) A 1 B 1 C 9 D 9 10如图， ， C， D， x， y， ，则 的长度是 ( ) A B C D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11方程 2x =0 的判别式的值等于 _ 12抛物线 y= 2x+1 的顶点坐标为 _ 13把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图 O 与矩形 边 别相切和相交（ E， F 是交点），已知 D=8，则 O 的半径为 _ 14如图，已知 P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y= 1 上运动，当 P与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 _ 15把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字 1、 2、 3自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作 x，把第二次转动停止后指针指向的数字的 2 倍记作 y，以长度分别为 x、 y、 5 的三条线段能构成三角形的概率为 _（注：长度单位一致） 16如图，扇形 0，扇形半径为 4，点 C 在 上， 足为点D，当 面积最大时，图中阴影部分的面积为 _ 三、解答题（共 8题，共 72 分） 17解方程： x（ x 3） =4x+6 18在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1、 2、 3、 4 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小敏从剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（ x， y） （ 1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标； （ 2）求点 P（ x， y）在函数 y= x+5 图象上的概率 19如图，已知 O 是 外接圆， O 的直径， D 是 长线的一点， C 的延长线于 E， F，且 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 20如图，在平面直角坐标系 ， （ 0， 0）、 A（ 2，3）、 B（ 4， 2），将 逆时针旋转 90后，点 A、 O、 、 O、 B处 （ 1）在所给的直角坐标系 画 出旋转后的 AOB； （ 2）求点 所经过的弧形路线的长 21某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为 y= （ 1）若菜农的身高是 ，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米？（精确到 （ 2）大棚的宽度是多少？ （ 3）大棚的最高点离地面几米？ 22某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元 /千克市场调查发现，该产品每天的销售量 w （千克）与销售价 x （元 /千克）有如下关系： w= 2x+80设这种产品每天的销售利润为 y （元） （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，自变量 x 的取值范围； （ 2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （ 3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 /千克，该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为多少元？ （参考关系：销售额 =售价 销量，利润 =销售额成本） 23已知， O 的直径，点 P 在弧 （不含点 A、 B），把 折，点 恰好落在 O 上 （ 1）当 P、 C 都在 方时（如图 1），判断 位置关系（只回答结果）； （ 2）当 B 上方而 C 在 图 2），（ 1）中结论还成立吗？证明你的结论； （ 3）当 P、 C 都在 方时（如图 3），过 D 直线 D，且 O 的切线，证明： 24如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=bx+c 交 x 轴于 A（ 2， 0）， B（ 6， 0）两点，交 y 轴于点 （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）若此抛物线的对称轴与直线 y=2x 交于点 D，作 D 与 x 轴相切， D交 y 轴于点 E、F 两点，求劣弧 长； （ 3） P 为此抛物线在第二象 限图象上的一点， 直于 x 轴，垂足为点 G，试确定 P 点的位置，使得 C 分为 1： 2 两部分？ 2015年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10小题，每小题 3 分，满分 30分） 1方程 23x+2=0 的二次项系数和一次项系数分别为 ( ) A 3 和 2 B 2 和 3 C 2 和 3 D 3 和 2 【考点】 一元二次方程的一般形式 【分析】 根据方程得出二次项系数和一次项系数即可 【解答】 解： 23x+2=0 二次项系数为 2，一次项系数为 3， 故选 B 【点评】 本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，能理解题意是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号 2一元二次方程 2x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是 ( ) A m 1 B m=1 C m 1 D m1 【考点】 根的判别式 【分析】 根据根的判别式，令 0，建立关于 m 的不等式，解答即可 【解答】 解： 方程 2x+m=0 总有实数根， 0， 即 4 4m0， 4m 4， m1 故选： D 【点评】 本题考查了根的判 别式，一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 3将抛物线 y= 2向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位后所得到的抛物线为 ( ) A y= 2（ x+1） 2 1 B y= 2（ x+1） 2+3 C y= 2（ x 1） 2+1 D y= 2（ x 1） 2+3 【考点】 二次函数图象与几何变换 【专题】 几何变换 【分析】 根据图象右移减，上移加，可得答案 【解答】 解；将抛物线 y= 2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为 y= 2（ x 1） 2+3， 故选： D 【点评】 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是：左加右减，上加下减 4已知圆锥的底面半径是 3，高是 4，则这个圆锥的全面积是 ( ) A 12 B 15 C 24 D 30 【考点】 圆锥的计算 【专题】 计算题 【分析】 先利用勾股定理计算出母线长，再利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与 底面积的和即可 【解答】 解：圆锥的母线长 = =5， 所以这个圆锥的全面积 =32+ 235=24 故选 C 【点评】 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 5如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为 ( ) A 2 B 4 C 4 D 8 【考点】 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 【分析】 根据圆周角定理得 A=45，由于 O 的直径 直于 弦 据垂径定理得 E，且可判断 以 ，然后利用 【解答】 解： A= A=45， O 的直径 直于弦 E， ， 故选： C 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理 6在平面直角坐标系中，点 M（ 3， 5）关于原点对称的点的坐标是 ( ) A（ 3， 5） B（ 3， 5） C（ 5， 3） D（ 3， 5） 【考点】 关于原点对称的点的坐标 【分析】 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案 【解答】 解：点 M（ 3， 5）关于原点对称的点的坐标是（ 3， 5）， 故选： D 【点评】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 7如图，在 ， C=90， B=30， 点 C 为圆心，以 2长为半径作圆，则 C 与 位置关系是 ( ) A相离 B相切 C相交 D相切或相交 【考点】 直线与圆的位置关系 【专题】 压轴题 【分析】 作 点 D根据三角函数求 长，与圆的半径比较，作出判断 【解答】 解：作 点 D B=30， 即 于圆的半径 故选： B 【点评】 此题考查直线与圆的位置关系的判定方法通常根据圆的半径 R 与圆心到直线的距离 d 的大小判断： 当 R d 时，直线与圆相交；当 R=d 时，直线与圆相切；当 R d 时，直线与圆相离 8用配方法解方程 2x 1=0 时，配方后得的方程为 ( ) A（ x+1） 2=0 B（ x 1） 2=0 C（ x+1） 2=2 D（ x 1） 2=2 【考点】 解一元二次方程 【分析】 在本题中，把常数项 1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平方 【解答】 解：把方程 2x 1=0 的常数项移到等号的右边，得到 2x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 2x+1=1+1 配方得（ x 1） 2=2 故选 D 【点评】 考查了解 一元二次方程配方法，配方法的一般步骤： （ 1）把常数项移到等号的右边； （ 2）把二次项的系数化为 1； （ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 9已知二次函数 y=（ x+h） 2，当 x 3 时， y 随 x 0时， y 随 x 增大而减小，且 h 满足 2h 3=0，则当 x=0 时， ) A 1 B 1 C 9 D 9 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据 2h 3=0，求得 h=3 或 1，根据当 x 3 时， y随 x 0 时， y 随 x 增大而减小，从而判断 h=3 符合题意，然后把 x=0 代入解析式求得 y 的值 【解答】 解： 2h 3=0， h=3 或 1， 当 x 3 时， y 随 x 增大而增大，当 x 0 时， y随 h=3 符合题意， 二次函数为 y=（ x+3） 2， 当 x=0 时， y= 9 故选 C 【点评】 本题考查了二次函数的性质，根据题意确定 h=3 是解题的关键 10如图， ， C， D， x， y， ，则 的长度是 ( ) A B C D 【考点】 弧长的计算；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质；切线长定理 【专题】 压轴题 【分析】 点 C、 D、 P 上，由圆周角定理可得： y；然后在四边形 出 B；最后利用弧长公式计算出结果 【解答】 解：根据题意，由切线长定理可知： D= 即点 C、 D、 为圆心， P 上， 由圆周角定理得： y 如图，连接 0， 在四边形 B+ 60， 即： B+90+2y+90=360， 解得： B=180 2y 的长度是： = 故选 B 【点评】 本题考查圆的相关性质解题关键是确定点 C、 D、 P 上，从而由圆周角定理得到 y 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11方程 2x =0 的判别式的值等于 5 【考点】 根的判别式 【分析】 写出 a、 b、 c 的值，再根据根的判别式 =4入数据进行计 算即可 【解答】 解：由题意得： a=1， b= 2， c= ， =4 2） 2 41（ ） =5 故答案为： 5 【点评】 本题考查了一元二次方程 bx+c=0（ a0， a， b， c 为常数）根的判别式当 0，方程有两个不相等的实数根；当 =0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 12抛物线 y= 2x+1 的顶点坐标为 （ 2， 3） 【考点】 二次函数的性质 【专题】 推理填空题 【分析】 将 y= 2x+1 化为顶点式即可得抛物线的顶点坐标，本题得以解决 【解答】 解： y= 2x+1 ， 此抛物线的顶点坐标为（ 2， 3）， 故答案为：（ 2， 3） 【点评】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是可以将抛物线的解析式化为顶点式 13把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图 O 与矩形 边 别相切和相交（ E， F 是交点），已知 D=8，则 O 的半径为 5 【考点】 垂径定理的应用；勾股定理；切线的性质 【专题】 几何图形问题 【分析】 首先由题意， O 与 切，记切点为 G，作直线 别交 弧 于点 H、 I，再连接 求得 后设求半径为 r，则 r，然后在 16 r） 2=82，解此方程即可求得答案 【解答】 解：由题意， O 与 切，记切点为 G，作直线 别交 弧 于点 H、 I，再连接 在矩形 ， 在 O 中， ， 设求半径为 r，则 r， 在 8 r） 2=42， 解得 r=5， 故答案为： 5 【点评】 此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理 此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用 14如图，已知 P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y= 1 上运动，当 P与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 （ ， 2）或（ ， 2） 【考点】 直线与圆的位置关系；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 当 P 与 x 轴相切时，点 P 的纵坐标是 2或 2，把点 可求得相应的横坐标 【解答】 解：依题意，可设 P（ x， 2）或 P（ x， 2） 当 P 的坐标是（ x， 2）时，将其代入 y= 1，得 2= 1， 解得 x= ， 此时 P（ ， 2）或（ ， 2）； 当 P 的坐标是（ x， 2）时，将其代入 y= 1，得 2= 1，即 1= 解 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（ ， 2）或（ ， 2）； 故答案是：（ ， 2）或（ ， 2） 【点评】 本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论 15 把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字 1、 2、 3自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作 x，把第二次转动停止后指针指向的数字的 2 倍记作 y，以长度分别为 x、 y、 5 的三条线段能构成三角形的概率为 （注：长度单位一致） 【考点】 列表法与树状图法；三角形三边关系 【分析】 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率 【解答】 解：列表得： x y 1 2 3 1 （ 1， 2） （ 2， 2） （ 3， 2） 2 （ 1， 4） （ 2， 4） （ 3， 4） 3 （ 1， 6） （ 2， 6） （ 3， 6） 因此，点 A（ x， y）的个数共有 9 个； 则 x、 y、 5 的三条线段能构成三角形的有 4 组： 2， 4， 5； 3， 4， 5； 2， 6， 5； 3， 6， 5； 可得 P= 故答案为： 【点评】 此题主要考查了三角形三边关系和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 16如图，扇形 0，扇形半径为 4，点 C 在 上， 足为点D，当 面积最大时，图中阴影部分的面积 为 2 4 【考点】 扇形面积的计算；二次函数的最值；勾股定理 【专题】 几何图形问题 【分析】 由 ，点 ， 得 = ，运用S ，求得 时 面积最大，运用阴影部分的面积 =扇形 面积 面积求解 【解答】 解： ，点 ， = S = 16 = （ 8） 2+16 当 ，即 时 面积最大， = =2 ， 5， 阴影部分的面积 =扇形 面积 面积 = 2 2 =2 4， 故答案为： 2 4 【点评】 本题主要考查了扇形的面积，勾股定理，解题的关键是求出 时 面积最大 三、解答题（共 8题，共 72 分） 17解方程： x（ x 3） =4x+6 【考点】 解一元二次方程 【专题】 计算题 【分析】 先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程 【解答】 解： 7x 6=0， =（ 7） 2 41（ 6） =73， x= ， 所以 ， 【点评】 本题考查了解一元二次方程公式法：利用求根公式解方程解决本题的关键是把方程化为一般式，确定 a、 b、 c 的值 18在一个不透明的布袋里装有 4 个标号为 1、 2、 3、 4 的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为 x，小敏从剩下的 3 个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，这样确定了点 P 的坐标（ x， y） （ 1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点 P 所有可能的坐标； （ 2）求点 P（ x， y）在函数 y= x+5 图象上的概率 【考点】 列表法与 树状图法；一次函数图象上点的坐标特征 【专题】 分类讨论 【分析】 （ 1）首先根据题意画出表格，即可得到 P 的所以坐标； （ 2）然后由表格求得所有等可能的结果与数字 x、 y 满足 y= x+5 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解：列表得： y x （ x， y） 1 2 3 4 1 （ 1， 2） （ 1，3） （ 1，4） 2 （ 2， 1） （ 2，3） （ 2，4） 3 （ 3， 1） （ 3， 2） （ 3，4） 4 （ 4， 1） （ 4， 2） （ 4，3） （ 1）点 P 所有可能的坐标有：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 1），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 3，1），（ 3， 2），（ 3， 4），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3）共 12 种； （ 2） 共有 12 种等可能的结果，其中在函数 y= x+5 图象上的有 4 种， 即：（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 4， 1） 点 P（ x， y）在函数 y= x+5 图象上的概率为： P= 【点评】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件； 注意概率 =所求情况数与总情况数之比 19如图，已知 O 是 外接圆， O 的直径， D 是 长线的一点， C 的延长线于 E， F，且 F （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 切线的判定；三角形的外接圆与外心 【专题】 计算题；证明题；压轴题 【分析】 要证 O 的切线，只要连接 证 0即可 【解答】 证明：（ 1）连接 F， 1= 2 C， 2= 3， 1= 3 O 的切线 （ 2） ， C= 在 ， B+， ， D=30， 0 在 B+， 在 ， 0， C， B=3 【点评】 本题考查了切线的判定，和解直角三角形要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 20如图， 在平面直角坐标系 ， （ 0， 0）、 A（ 2，3）、 B（ 4， 2），将 逆时针旋转 90后，点 A、 O、 、 O、 B处 （ 1）在所给的直角坐标系 画出旋转后的 AOB； （ 2）求点 所经过的弧形路线的长 【考点】 作图 长的计算 【分析】 （ 1）由 逆时针旋转 90后得到 AOB可得 B AB=可画出 A图形； （ 2）点 所经过的弧形，由图形可得出 弧度，由弧长公式可得出点 所经过的弧形路线的长 【解答】 解：（ 1）如图； （ 2）易得： =2 ； 的弧长 = = = ， 所以点 所经过的弧形路线的长为 【点评】 本题主要考查了旋转的性质及弧长的计算公式，题目比较简单，关键是根据题意正确画出图形 21某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，建立如图所示的直角坐标系后，抛物线的表达式为 y= （ 1）若菜农的 身高是 ，他在不弯腰的情况下，横向活动的范围是几米？（精确到 （ 2）大棚的宽度是多少？ （ 3）大棚的最高点离地面几米？ 【考点】 二次函数的应用 【分析】 （ 1）根据题意求出 y= x 的值，进而求出答案； （ 2）根据题意求出 y=0 时 x 的值，进而求出答案； （ 3）直接求出函数最值即可 【解答】 解：（ 1） 抛物线的大棚函数表达式为 y= ， 菜农的身高为 y= 则 ， 解得 x 故菜农的横向活动的范围是 =）； （ 2）当 y=0 则， 0= ， 解得： ， 2， 则 2=4 米， 所以大棚的宽度是 4m； （ 3）当 x=0 时， y 最大 =2， 即大棚的最高点离地面 2 米 【点评】 此题主要考查了二次函数应用以及一元二次方程的解法，正确理解方程与函数关系是解题关键 22某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20 元 /千克市场调查发现，该产品每天的销售量 w （千克）与销售价 x （元 /千克）有如下关系： w= 2x+80设这种产品每天的销售利润为 y （元） （ 1）求 y 与 x 之间的函数关系式，自变量 x 的取值范围； （ 2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （ 3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 /千克，该农户想要每天获得 150元的销售利润，销售价应定为多少元？ （参考关系：销售额 =售价 销量，利润 =销售额成本） 【考点】 二次函数的应用；一元二次方程的应用 【分析】 （ 1）根据销售利润 y=（每千克销售价每千克成本价） 销售量 w，即可列出 y 与x 之间的函数关系式； （ 2）先利用配方法将（ 1）的函数关系式变形，再利用二 次函数的性质即可求解； （ 3）先把 y=150 代入（ 1）的函数关系式中，解一元二次方程求出 x，再根据 x 的取值范围即可确定 x 的值 【解答】 解：（ 1） y=w（ x 20） =（ x 20）（ 2x+80） = 220x 1600， 则 y= 220x 1600 由题意，有 ， 解得 20x40 故 y 与 x 的函数关系式为： y= 220x 1600，自变量 0x40； （ 2） y= 220x 1600= 2（ x 30） 2+200， 当 x=30 时， y 有最大值 200 故当销售价定为 30 元 /千克时，每天可获最大销售利润 200 元； （ 3）当 y=150 时，可得方程 220x 1600=150， 整理，得 60x+875=0， 解得 5， 5 物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 /千克， 5 不合题意，应舍去 故当销售价定为 25 元 /千克时，该农户每天可获得销售利润 150 元 【点评】 本题考查了二次函数的应用，难度适中得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法 23已知 ， O 的直径，点 P 在弧 （不含点 A、 B），把 折，点 恰好落在 O 上 （ 1）当 P、 C 都在 方时（如图 1），判断 位置关系（只回答结果）； （ 2）当 B 上方而 C 在 图 2），（ 1）中结论还成立吗？证明你的结论； （ 3）当 P、 C 都在 方时（如图 3），过 D 直线 D，且 O 的切线，证明： 【考点】 切线的性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理 【专题】 几何综合题 ；压轴题 【分析】 （ 1） 位置关系是平行； （ 2）（ 1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形 三角形 等，根据全等三角形的对应角相等可得出 由 P，利用等边对等角得到 A= 量代换可得出 A= 根据同弧所对的圆周角相等得到 A= 等量代换可得出 用内错角相等两直线平行，可得出 行； （ 3）由 圆 O 的切线，利用切线的性质得到 直于 直于 用平面内垂直于同一条直线的两直线平行 得到 行，根据两直线平行内错角相等得到 利用折叠的性质得到 量代换可得出 由 P，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形 内角相等，确定出三角形 等边三角形，根据等边三角形的内角为 60得到 60，由 C，利用两直线平行同位角相等可得出 0，再由 C，得到三角形 等边三角形，可得出 0，利用平角的定义得到 为 60，再加上 C， 可得出三角形 等边三角形，得到内角 60，可求出 30，在直角三角形 ，利用 30所对的直角边等于斜边的一半可得出 P 等于直径 一半，可得出 四分之一，即 证 【解答】 解：（ 1） 位置关系是 （ 2）（ 1）中的结论 立，理由为： 由折叠可知： 又 P， A= A= 又 对的圆周角 ， A= （ 3） 圆 O 的切线， 由折叠可得： 又 P， A= A= 等边三角形， 0， 又 0，又 B， 等边三角形， 0， 80（ =60，又 C， 为等边三角形， 0， P= 又 0，