_华约_数学考试概率试题分析及2013年备考对策.pdf

檪檪檪檪 檪檪檪 檪檪檪檪 檪檪檪 殏 殏 殏 殏 复 习 考 试 华约 数学考试概率试题分析及 年备考对策 江苏省锡山高级中学 李含进 钱昭晖 邮编 摘 要 由于概率问题对知识考查比较全面 更容易考查学生综合能力和探索精神 因此以 华 约 为代表的高校自主招生考试中 总少不了概率问题 笔者对近三年的 华约 自主招生概率题目做详 细分析 可以看到 华约 概率试题的考试题型基本趋于稳定 逐渐成熟 而且具备以下特点 注重数 学知识和其他学科知识的整合 注重概率问题和其他数学知识的综合 注重对概率问题发生过程 以及处理概率问题的基本方法考查等特点 进而给出几道模拟题目供广大师生参考 在 年的概率 问题备考中 建议平时下功夫 做到厚积薄发 在概率问题上注重方法的总结 才能更好地做到举一反 三 触类旁通 考试中面对较复杂的概率问题时 要沉着应战 大胆尝试 抽丝剥茧 定能寻找到攻克问 题的方案 连续三年的 华约 联盟考试 测试 都 是由考试院来出题和阅卷 根据前几年的考试形 式 我们预期 年的考试形式会进一步向全国 高中数学联赛靠拢 并且考试的题型 风格 难度 都不会有太大变化 连续三年 华约 的选择题 依旧是 道 涉及的也是和以前一样的知识点 三角函数 函数 数列 复数 立体几何 解析几 何 平面几何 组合问题 这些题目都比较全面的 考查了学生的知识能力 解题方法以及思维深 度 有利于高校选拔人才 同时概率问题也成为 华约 考试中的常客 而且三年的三道概率解答 题都有一定的难度 预测 年华约考试中 概率问题应该继续 受到自主招生命题的青睐 所以有针对性的对概 率问题进行备考复习 应该会收到很好的效果 下面我们就对三年考试的概率试题做深度的分 析 以便考生在以后的自主招生备考中有的放 矢 事半功倍 真题解析 真题 年 华约 试题 系统内有 个元件 每个元件正常工作的概率为 若有 超过一半的元件正常工作 则系统正常工作 求 系统正常工作的概率 并讨论 的单调性 解法一 通过组合数 的变形 寻找出 与 的关系 显然 因为 所 以 年第 期 中学数学教学 因此当 时 递增 当 时 递减 当 时 解法 通过事件发生的过程 寻找出 与 的关系 显然 注意到 前 次的概率是前 次成功 次的 概率加上前 次成功 次而后两次有且只有 一次成功的概率以及 次成功 次而后两次 都成功的概率 于是有 因此当 时 递增 当 时 递减 当 时 点评 本题是二项分布概率模型 主要考查 了二项分布概率求解公式以及公式的变形应用 本题还重点结合了组合数的拆分 这也是本题的 难点所在 解法 中 的变形 主要是为了寻找 与 的关系 进而 比较它们的大小 解法 主要是利用事件发生过 程的内部关系 寻找前 次的概率 与前 次成功 次的概率 之间的递推关系 达到解题的目的 这也是解决概率问题的常见 方法 因此本题比较全面地考查了学生对组合数 组合恒等式以及概率递推关系等这些知识掌握 的水平 比较全面深刻地考查了学生对概率的认 识 是一道不错的概率题 真题 年 华约 试题 将一枚均匀 的硬币连续抛掷 次 以 表示未出现连续 次 正面的概率 求 探究 数 列 的 递 推 公 式 并 给 出 证明 讨论数列 的单调性及其极限 并 阐述该极限的概率意义 分析 本题有一定的难度 要求考生有较强 的推理能力 但利用第一问的结果 可以找到求 递推公式的方法 解 当连续抛掷 次时 出现连续 次正面的可 能情况是 正正正反 反正正正 正正正正 因此 可以借助前 次 前 次 前 次以及前 次未出现连续 次正面的概率推 导出前 次未出现连续 次正面的概率 解法 记前 次未出现连续 次正面 的概率为 若第 次为反面 则前 次一定没有连续 次正面 满足题意 若第 次为正面 则考虑前 次的情 况 记前 次未出现连续 次正面的概率 为 若第 次为反面 又第 次为正面 则 前 次一定没有连续 次正面 满足题意 若第 次为正面 则考虑前 次的情况 记前 次未出现连续 次正面的概率为 若第 次为反面 又第 次为正 面 第 次为正面 则前 次一定没有连续 次正 面 满足题意 若第 次为正面 又第 次为正 面 第 次为正面 则不满足题意 除上述之外 再无其他情况 综上所述 解法 记前 次未出现连续 次正面 的概率为 前 次未出现连续 次正面的 概率为 则前 次未出现连续 次正面的情 中学数学教学 年第 期 况是 前 次未出现连续 次正面的情况下 去掉第 次后可能出现连续 次正面的情况 只 有第 次 第 次 第 次均为正 第 次为反面 所以 其实利用 法一的结论 也可 以很方便的推出 由 知 所 以数列 的单调递减 又由 所以 所以 所以 的极限 其概率的统计意义是 经无数次尝试后 连续 次正面这样的小概率事 件也必然发生 从而其对立事件发生的概率为 点评 本题的难点在于数列 递推公式 的探究和证明 两种解法都从事件发生的内部过 程 给出了 的递推关系 和上题 年 华 约 试题 的解法 有异曲同工之妙 另外本题的 两种解法 也比较深刻的考查了分类讨论思想 对学生解决综合性问题的知识和能力有较高的 要求 真题 年 华约 试题 假定亲本总 体中三种基因型式 的比例分别为 且数量充分多 参与交配 的亲本是该总体中随机的两个 求 求子一代中 所占比例分别 为多少 子二代的三种基因型式的比例与子一代 的三种基因型式的比例相同吗 并说明理由 分析 本题是概率和生物知识结合的题目 按照基因型搭配的方式进行列表可以很快得到 正确结果 解 父亲的基因有 三种情 况 母亲的基因也有 三种情况 故搭 配起来共有 种情况 列表如下 父母 子一代 把每行数据相加 可得 这就是子一代三种基因型的比例 设 上式即为 且 由于 将 分别看成 则由 的结 论可知 子二代为 的比例为 故子二代与子一代比例相同 点评 本题考查的概率问题与生物学有密 切关系 凸显了自主招生考试注重数学知识和其 他学科的整合 考查学生应用数学知识解决实际 问题的能力 另外 列表法是学习和解决概率问题的原始 方法 在这里通过列举将搭配情况逐一枚举 可 以让我们能够清晰的获知子一代的三种基因的 数据 从而求得要求的比例关系 本题第二问是生物学中的一个重要规律 现 在用数学的方法加以证明 也体现了数学作为基 础学科 在生物学等其他学科中解决问题的重要 工具的作用 华约 概率试题综合分析 从 到 三年 华约 概率试题的分 析 我们不难看到 华约 概率试题的考试题型逐 渐成熟 基本趋于稳定 而且具备以下特点 年第 期 中学数学教学 注重数学知识和其他学科的整合 上述 年的题目注重和生物学的整合 年的清华自主招生中出现了概率和物理的 综合题目 近几年各高校的自主招生题目都很注 重这方面的综合考查 这也成为了概率题出题的 一个基本方向和基本模式 预计今后还将延续这 一思想 注重概率问题和其他数学知识的综合 上述试题中体现了和二项式系数 组合恒等 式以及递推数列的综合 基于递推数列背景的概 率问题近年来一直受到自主招生考试的青睐 更 准确更全面地考查学生对于这些问题的掌握 基 于二项式定理 组合恒等式的概率问题也是这些 年自主招生和高考的重点之一 其实排列组合和 二项式定理一直是概率问题中重点知识 这些内 容的综合对学生的能力均有较高要求 注重对概率问题发生过程以及处理概 率问题的基本方法的考查 上述三题中用到的列举法 递推法以及二项 式系数的变形等都是处理概率问题的基本方法 列举法是处理概率问题最根本的方法 但同时又 是学生最容易遗忘的方法 有时列举法在解题中 能起到事半功倍的效果 从概率问题的发生过程 寻找递推关系也是一种常用方法 对于较复杂问 题 寻找相邻两项或者几项之间的递推关系特别 有效 因此 考生在学习和处理概率问题时 要特 别注意这些方法的尝试 年 华约 概率问题备考建议 根据以上真题的解析 我从以下两个方面谈 一谈在概率问题备考方面的建议 功在平时 厚积薄发 从上述三道考试真题 我们可以看出 概率 问题对知识的综合性有一定的要求 尽管它可以 和其他学科知识综合 但用到的其他学科的知识 较为简单 而更多的还是数学内部知识的综合考 查 因此平时要加强数学各方面知识的学习 尤 其是和概率有关的一些内容 比如排列组合 二 项式定理 递推数列 涂色问题等等 这些知识和 概率经常交汇出题 应该受到我们的重视 平时 应注重对这些知识的广度和深度的挖掘 多总结 解题方法 多提升数学思维能力 培养数学素养 同时应注重概率问题的常用方法的积累 比 如分类讨论 列表分析 寻找递推关系等等 上述 三道题目就非常好的非常全面深刻的阐述了这 些方法的应用 给我们今后的备考做了很好的方 向指引 好好研究这些问题 一定可以让我们在 今后的考试中更好的获益 抽丝剥茧 大胆尝试 很多概率问题的解决方法不是一眼望穿的 很多时候都需要我们有足够的耐心去探索和尝 试 所以我们拿到题目之后应该沉下心来钻进 去 通过慢慢分析 抽丝剥茧一样 当我们把很多 细节搞清楚弄明白之后 往往题目也就解决了 比如本文给出的三道题目都是这样 所以很多概 率问题真正的难 不在于题目的绝对难度 而取 决于考生面对这些题目的耐心细心和钻研的精 神 相信坚持胆大尝试的探索 会让考生在概率 问题中获