直线与平面所成的角教学设计.doc

数学基础模块 下册9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力【教学重点】直线与平面所成的角【教学难点】斜线与平面所成的角【教学方法】本节主要采用讲练结合法在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识 【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入1直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理2直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系利用表格进行提问（见课件）师：空间直线与平面垂直属于哪一种情况？生：一条直线和一个平面相交，且和这个平面垂直师：一条直线与一个平面相交但不垂直，会怎样？本节内容是建立在线面垂直的基础之上的，所以学生必须对线面垂直的定义、判定定理和性质定理非常熟练课前复习，为新课的学习扫清障碍新课新课新课1平面的斜线 如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段如图，AB是平面a的斜线，B是斜足，AB是斜线段BAa2直线与平面所成的角从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线和它在平面上的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或夹角)，如上图所示如果直线垂直于平面，则规定直线与平面所成的角是直角(90)；如果直线和平面平行，或在平面内，则规定直线与平面所成的角是0的角一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角如图，设线段AB在平面a内的射影为AB ，且AB与平面a所成的角为q 易证|AB |AB| cos q BAaqBA练习设线段ABl，且AB与平面a 所成的角为q ，求线段AB在平面内的射影AB 长：（1）l6，q；（2）l10，q0；（3）l8，qABCDA1B1C1D1例1 如图长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB1，BC1，AA1求对角线A1C与平面ABCD所成的角解 连接AC，由题意知A1AC为直角三角形，且A1AC90又由题意，可知AC而AA1，所以ACA145因此A1C与平面ABCD所成的角为45例2 如图，已知 PA是平面a的斜线，POa，a a，a AOPAaOa求证：a PA证明：因为 PO a，a a，所以PO a（线面垂直的定义）又因为AO a，且POAOO，所以 a 平面PAO（线面垂直的判定）又因为PA 平面 PAO，所以a PA（线面垂直的定义）例2中，AO是斜线PA在平面a内的射影，通常例2的结论也叫做三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直练习1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，写出对角线B1D1 与平面AC，平面BA1，平面BC1所成的角，并求这些角的余弦值PAaOa2如图所示，PA为平面a 的斜线，POa，aa，a PA求证：aAO 该结论叫做三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直教师给出定义学生理解并记忆定义重点强调斜线的射影是过垂足和斜足的直线教师可在此处多设计几个图形，让学生练习辨别垂线，斜线及其射影学生练习展示图形，要求学生找出对角线A1C所在直线在平面ABCD上的射影，讨论如何作图教师引导学生对定理进行结构分析，明确各元素之间的制约关系，指导学生抓住“四线一面”中“垂线”这个关键条件可借助三角板与铅笔演示三垂线定理，给学生以直观印象师生合作共同完成引导学生在理解的基础上记忆此处加强练习为下面顺利引入三垂线定理奠定基础教师用问题引导学生一步步分析如何作出斜线与平面所成的角，培养学生思维的条理性此题看似简单，但每一步都分别应用了线面垂直的定义、判定定理等，教师必须在每一步后注明所用定理，给学生以明确的思维指导学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生更好的梳理和总结本节所学内容有利于教师了解学生对本节