数学解题：从简单情形入手.doc

数学解题：从简单情形入手 很多复杂的问题其实只要从简单情形入手都能迎刃而解.因为从简单情形入手往往更易看清问题的本质.在数列问题中，从n等于1，2开始探究便于揭示问题的规律；在某些与计数相关的问题中如果数目较大可以先考虑数目较小的情形，这是解决问题的基础；在涉及几何图形的数学问题中如果图形较为复杂，可以将其中的基本图形抽取出来先进行研究以便排除不相干“线条”的干扰.对某些问题而言，从简单情形入手可以打开解决问题的思路；从简单情形入手还可以理解为：思维的简单化，即面对数学问题运用简单的数学手段处理问题，不将问题复杂化. 1.从简单情形入手便于揭示问题的规律 例1. 数列满足，当（其中t2)时，有 (），则k的最小值为 . 分析：面对此时不少学生茫然不知所措.其实数列问题的本质是其规律性，而找规律（表达式中蕴含的规律不明显）自然应从n=1开始. ，即，即由此得 可以用数学归纳法证明，即数列是一个周期数列，最小正周期为4，.例2. 若公差为d的等差数列中任意不同的两项之和仍是此数列中的一项，则称该等差数列为d-封闭数列.记，是首项为正数的1-封闭数列的前n项和，且.求的通项公式.分析：阅读题目后，解题者往往有一种被“懵住”了的感觉.只知道等差数列公差为1，任意两项和仍是数列中的项，即首项必为正整数.真不知从何处入手.如果有人提醒一下“从简单情形入手”，那一定会有一种“一语惊醒梦中人的感觉”.若，则若，则 至此，似乎发现了该问题的一个规律：即随着的增大，和式的极限逐渐减小.考察的情形：若，则 的通项公式为： （）2.简单情形是复杂问题解决的基础 例3. 在某一三角形内任意放进2003个点，这些点与原三角形的三个顶点共2006个点，每相邻两点之间连线.问共可连成不重复的三角形多少个？ 分析：从简单情形入手即研究在三角形中依次放入1个，2个，3个点，看每增加一个点增加三角形的个数，得出一般规律后再求在三角形内任意放进2003个点共可连成的三角形个数. 例4. 2003条直线相交于一点，共可组成多少对对顶角？ 分析：先看简单情形：两条相交直线可以组成2对对顶角.再看三条相交于一点的直线，将其转化为两条相交直线的情形，每两条为一组，共三组，每组2对对顶角，故共6对对顶角，这样不难得出2003条相交于一点的直线共可组成对顶角的对数.(其实2003条直线只要无平行直线即可，不一定要相交于一点）例5. 已知函数，则当x取何值时，取得最小值？分析：本题尽管不是计数问题，但也与计数相关.从简单情形入手，先考虑如下函数的最小值：（1）求（）的最小值：显然，当时，函数值最小，最小值为b-a；（2）求（）的最小值：显然，当x=b时，函数值最小，最小值为c-a；（3）求（）的最小值：显然，当时，函数值最小，最小值为（d-a）+(c-b)；进一步可以得到：对于函数，其中.当n为奇数时，不妨设n=2k+1，则时函数取得最小值；当n为偶数时，不妨设n=2k，则时函数取得最小值.这样，本题中函数关系式可转化为：设则当，即时，函数取得最小值.在一些排列组合问题中，如果涉及数据较大，也可以先从简单的情形入手思考问题.例6. 在平面上任给100个点，其中任何3点都不共线，考察以这些点为顶点的所有可能的三角形.证明：其中至多只有70%的三角形是锐角三角形.分析：从简单情形入手，先考虑平面上符合条件的5个点的情形.设5个点为,它们在平面上的分布可分为三种不同类型：(1)5个点其中三点连成一个三角形，另两点在三角形内部.(如图1）连接,可得以为顶点的三个三角形，显然以为顶点的三个三角形中至少有二个为非锐角三角形.同理以为顶点的三个三角形中至少有三个为非锐角三角形.可见在此情况下，至少存在三个以此五点为顶点的非锐角三角形.(2)5个点其中四点连成一个四边形，另一点在四边形内部.(如图2）显然以为顶点的四个三角形中至少存在一个非锐角三角形；在以为顶点的6个三角形中至少有三个非锐角三角形. 可见在此情况下，至少存在三个以此五点为顶点的非锐角三角形.(5)5个点连成一个五边形.(如图3）以五边形相邻两边构成的五个三角形中至少有2个为非锐角三角形.若五个三角形中有三个为非锐角三角形，则命题显然成立.现设仅两个为非锐角三角形，不妨设为与.则有.若与皆为锐角，则，因而.在四边形中，由于,因而有,这与矛盾.可见与不都为锐角.这就说明了以为顶点的三角形中至少有三个为非锐角三角形.以5点情形为基础，可以考虑100个点的情形:100个点中共有个不同的五点组，每个五点组中都至少有3个非锐角三角形，但每个非锐角三角形的三个顶点都可归属于个不同的五点组，因此个非锐角三角形最多可能被重复计算了次.所以，以此1002上点为顶点的三角形中，至少有个非锐角三角形.而,所以有锐角三角形所占比例不超过所有三角形的70%.3.抽取基本图形分析问题在与几何图形相关的数学问题中，当图形比较复杂时，可以将其中的基本图形抽取出来单独研究，以便排除不相干“线条”的干扰.例7.（2003年复旦大学自主招生试题）一个圆锥的底面半径为12，高为16，球内切于圆锥，球内切于圆锥侧面，与球外切，,依次类推.（1）求所有这些球的半径的通项公式；（2）所有这些球的体积分别为，求.分析：显然，问题的关键是求的通项公式.不必画出立体图形，只须画出其轴截面图形（如图4）:要求的通项公式，首先应研究相邻两项之间的关系，为此研究其中的基本图形（图5）.由基本图形5不难得到：这样的通项公式易求，其他问题也迎刃而解.本题中，由于涉及到一个圆锥，无数个内切球，即使是轴截面图也是十分复杂的，然而从其中的基本图形入手，由于排除了其他线条的干扰，问题就显然十分简单明了.4.简单情形能激发思维的灵感有些数学问题看上去似无从下手，但如果先从简单情形（特殊情形）入手，往往可以激发起思维的灵感.例8.（2009年上海交大自主招生考试题）求方程(n重根式）的解.分析：本题乍一看确实无从下手.但如果研究一下最简单的情形，则解题思路就因此而被打开.n=2时，方程变为：，解之得：x=0或x=3.思考：解方程的本质就是将方程进行同解变形，如果能找到一个已知解的方程，该方程与原方程同解，那么问题就得到解决.现在从n=2的情形得到方程的解为x=0与x=3,显然与方程是同解的.即n=2时，原方程与同解.（产生灵感）我们自然会问：n2时，原方程也与方程同解吗？或者问：已知，当n2时，也成立吗？（如果成立则原方程与同解，否则即有,此时必有）因此，只要证明当与时原方程不成立即可.若，则；同理若，则.皆与已知条件相矛盾.可见在已知条件下只有.即原方程与方程同解.原方程的解只有x=0或x=3.5.简化思维是成功解题的法宝在很多情况下，解题者面对陌生的问题很容易将问题想得很复杂，不善于运用所学知识采取平常的手段解决问题.我们将运用常见的数学知识解决看似无从下手的问题称为“简化思维”.例9. （2003年复旦大学自主招生考试题）是各不相同的正整数，.求证：.分析：面对本题大多数学生感到无从下手.其思维的落脚点往往在某种特殊知识或特殊方法上.如果回到常规思路上来看本题，你会发现“看似坚不可摧，其实不