数学人教版八年级下册矩形判定（1）.doc

18.2.1矩形（1）1.矩形的定义：有一个 叫做矩形.2.矩形是一个 平行四边形.3.矩形的性质：（1）具备的平行四边形的性质有： （2）具有特殊性质： 4.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的 等于 的 . 理解矩形的性质【例1】求证：矩形的对角线互相相等.分析：先写出“已知”和“证明”，如图，可证ABCBAD，可得AC=BD.DABC解：已知：如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD.求证：AC=BD.证明：四边形ABCD是矩形，AD=BC，BAD=ABC=90，又BA=AB，ABCBAD（SAS），AC=BD点评：理解好矩形的性质，对以后学习正方形打下基础. 如图，在矩形ABCD中，ABBC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（ ） A8B6C4D2矩形性质的应用【例2】长方形ABCD中，已知AB=8，AO=5，则矩形ABCD的面积 分析：由矩形的对角线互相平分可得边AC的长，由矩形的四个角都为直角的性质以及勾股定理可求得BC，便能求得面积.解：AO=5，AC=10，在直角ABC中，已知AB=8、AC=10，BC=6，矩形ABCD的面积为68=48.点评：要清楚理解矩形与平行四边形的性质的共同点与不同点. 矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，则它的周长是 cm直角三角形的性质【例3】如图，在ABC中，A、B、C的度数之比为1：2：3，AB边上的中线DC=4，求ABC的面积 分析：根据三角形的内角和定理求出A、B、C的度数，根据直角三角形性质求出AB、BC，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积求出即可 解：A+B+C=180，在ABC中，A、B、C的度数之比为1：2：3，A=30，B=60，C=90，AB边上的中线DC=4，AB=2CD=8，BC=AB=4，由勾股定理得：AC=4，SABC=ACBC=44=8.点评：本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出AC、BC的长是解此题的关键如图所示，RtABC中，ACB=90，A=30，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，求DE长 综合运用【例4】如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，过O作OFAD于点F，OF=2，过A作AEBD于点E，且BE：BD=1：4，求AC的长 分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB，根据比例设BE=x，表示出BD=4x，然后求出BE=OE，从而判断出ABO是等边三角形，然后判断出OE是AOD的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AB，再求解即可 解：四边形ABCD是矩形，OA=OB，BE：BD=1：4，设BE=x，则BD=4x，OE=4x-2x-x=x，BE=OE，又AEBD，ABO是等边三角形，OA=AB，OFAD，OF=2，OF是ABD的中位线，AB=2OF=22=4，AC=2OA=2AB=24=8点评：本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出ABO是等边三角形是解题的关键 如图，已知四边形ABCD和四边形EFGC为全等的矩形，B、C、E在一条直线上，试判断ACF的形状 1.（2013重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（） A6cmB4cmC2cmD1cm 2.（2013茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD=60，AD=2，则AC的长是（） A2 B4C2 D4 3（2013台湾）如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（） A10B11C12D13 4.（2011无锡）如图，在RtABC中，ACB=90，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm 5.（2013扬州）矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 6.（2011遵义）把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG（1）求证：BHEDGF；（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长 用时 分数 一、（每题4分，共32分） 1（2013普洱）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOD=120，AC=8，则ABO的周长为（）A16B12C24D20 2（2012苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=4，则四边形CODE的周长（）A4B6C8D103（2012黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（）A（2，0） B（，0）C（，0） D（，0）4（2011贵港）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（） AB C1 D1.5 5（2008攀枝花）四边形ABCD为矩形，已知点A（1，1），B（3，1），C（3，5），那么D点坐标为（）A（1，3）B（1，5）C（5，3）D（5，1） 6（2005泸州）如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地根据图中数据，计算耕地的面积为（）A600m2 B551m2 C550m2 D500m2 7（2013枣庄）如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（）A20B12C14D13 8（2009聊城）如图，在RtABC中，AB=AC，ADBC，垂足为DE、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF如果AED=62，那么DBF=（）A62B38C28D26二、填空题（每题3分，共18分）9（2009内江）已知RtABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，则SABC= 10（2004盐城）若直角三角形斜边长为6，则这个直角三角形斜边上的中线长为 11（2013遵义）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长= cm 12（2012龙岩）如图，RtABC中，C=90，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EFAC于F，EGBC于G，则矩形CFEG的周长是 13（2012哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 14（2011盘锦）如图，矩形纸片ABCD，AD=2AB=4，将纸片折叠，使点C落在AD上的点E处，折痕为BF，则DE= 三、解答题（共40分） 15.（6分）（2011乐山）如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE=DF求证：BE=CF 16.（6分）（2012广东模拟）已知，如图，E、F分别是AB、AC的中点，ACD是ABC的外角，延长EF交ACD的平分线于G点，求证：AGCG 17.（6分）已知：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC=2AD，过点B作BEAC交DA的延长线于点E，试判断BDE的形状 18.如图，点P是矩形ABCD内一点，已知PBC的面积为5，PCD的面积为2，求PAC的面积 19.（2013重庆）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长20.（2013烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明参考答案基础为本、掌握新知1.直角的平行四边形2.特殊的3.（1）对边互相平行；两组对边相等；两组对角相等；对角线互相平分（2）四个角都为直角；对角线相等.4.中线 斜边 一半一例一练、活用数学1.C 【解析】四边形ABCD是矩形，AO=BO=CO=DO，ABO，BCO，DCO，ADO都是等腰三角形，故选：C2.28 【解析】根据矩形的性质得到ABC是直角三角形，因为对角线AC=10cm，AB：BC=3：4，根据勾股定理得到，解得BC=8，AB=6，故它的周长=28+26=28cm3.解：RtABC中，ACB=90，A=30，AB=8，CD是斜边AB上的高，CE是中线，BC=BE=CE=4，BCE是等边三角形，CD是斜边AB上的高，CD也是BE边上的中线，ED=EB=24.解：ACF是等腰直角三角形，理由如下：四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，AB=CE，B=E=90，BC=EF，ABCCEF，ACB=CFE，AC=CF，点B、C、E共线，ABC+ACF+FCE=180，ACF=180-（ECF+EFC）=90，ACF是等腰直角三角形1、C；2、B；3、C；4、5；5、6；6.（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，A=C=90，ABD=BDC，BEH是BAH翻折而成，ABH=EBH，A=HEB=90，AB=BE，DGF是DGC翻折而成，FDG=CDG，C=DFG=90，CD=DF，DBH=ABD，BDG=BDC，DBH=BDG，BEH与DFG中，HEB=DFG，BE=DF，DBH=BDG，BEHDFG，（2）解：四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，BD=10，由（1）知，FD=CD，CG=FG，BF=10-6=4cm，设FG=x，则BG=8-x，在RtBGF中，BG2=BF2+FG2，即(8-x)2=42+x2，解得x=3，即FG=3cm课时自测、认清自我1.B 【解析】四边形ABCD是矩形，AC=8，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，AO=BO=4，AOD=120，AOB=60，AOB是等边三角形，AB=AO=4，ABO的周长是4+4+4=12，2.C 【解析】CEBD，DEAC，四边形CODE是平行四边形，四边形ABCD是矩形，AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，OD=OC=AC=2，四边形CODE是菱形，四边形CODE的周长为：4OC=42=83. C 【解析】由题意得，AC=，故可得AM=，BM=AMAB=3，又点B的坐标为（2，0），点M的坐标为（1，0）4.D 【解析】连接CE，由矩形ABCD可知O是AC的中点，又因为EOAC，所以EO是AC的垂直平分线，则AE=CE.在RtCDE中，设AE=CE=x，则DE=2 - x，由勾股定理，得CE2=CD2+DE2，则x2=2+(2-x)2，解得AE=x=1.5.5.B 【解析】矩形ABCD中，A（1，1），B（3，1），C（3，5），ABx轴CD，ADBCy轴，D的横坐标和A的横坐标相同，都是1，D的纵坐标和C的纵坐标相同，都是5，即D的坐标是（1，5）.6.B 【解析】3020301201+11=6003020+1=551（平方米）7.C 【解析】AB=AC，AD平分BAC，BC=8，ADBC，CD=BD=BC=4，点E为AC的中点，DE=CE=AC=5，CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=148.C 【解析】AB=AC，ADBC，BD=CD又BAC=90，BD=AD=CD又CE=AF，DF=DERtBDFRtADE（HL）DBF=DAE=9062=289.4 【解析】RtABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，斜边长为4，设两个直角边的长为x，y，则x+y=4，x2+y2=16，解得：xy=8，SABC=xy=410.3 【解析】直角三角形斜边长为6，这个直角三角形斜边上的中线长为311.9; 12.12; 13. 14.15.证明：矩形ABCD的对角线为AC和BD，AO=CO=BO=DO，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，AE=DF，EO=FO，在BOE和COF中，BOECOF（SAS），BE=CF16.证明：E、F分别是AB、AC的中点，EF是ABC的中位线，AF=CF，EFBC，FGC=GCDCG平分ACD，FCG=GCD，FCG=FGC，FG=FC又AF=CF，FG是ACG中AC边上的中线，且，AGC是直角三角形，AGCG17.解：BDE是等边三角形理由：四边形ABCD是矩形，BD=AC，ADBC，AC=2OA，BD=2OD，AC=2AD，