2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用讲义新人教A版选修2.doc

1.7.1定积分在几何中的应用1利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限2常见图形的面积与定积分的关系(1)如图，当f(x)0时，f(x)dx0，所以S；(2)如图，当f(x)0时，f(x)dx0，所以Sf(x)dxf(x)dx；(3)如图，当axc时，f(x)0，f(x)dx0，f(x)dx0，所以Sf(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx；(4)如图，在公共积分区间a，b上，当f1(x)f2(x)时，曲边梯形的面积为Sf1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置第四步，写出平面图形面积的定积分表达式第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积答案(1)(2)(3)2做一做(1)由曲线yex，x2，x4，y0所围成的图形的面积等于_(2)曲线yx3与直线yx所围成图形的面积为_(3)抛物线yx21与x轴围成图形的面积是_答案(1)e4e 2(2)(3)探究1不可分割图形面积的求解例1求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积解由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3，5)和(2,0)设所求图形的面积为S，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤：(1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；(4)计算得所求面积【跟踪训练1】计算由曲线y2x，yx3所围成图形的面积S.解作出曲线y2x，yx3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得交点横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为探究2可分割图形面积的求解例2求由曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解解法一：画出草图，如图所示解方程组拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限【跟踪训练2】求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积探究3综合问题例3在曲线yx2(x0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程解如右图，设切点A(x0，y0)，由y2x，过点A的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx，令y0，得x，即C.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决【跟踪训练3】已知抛物线y2x(a0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1由y，x1，x2，y0所围成的平面图形的面积为()Aln 2 Bln 21 C1ln 2 D2ln 2答案A解析画出曲线y(x0)及直线x1，x2，y0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积所以Sdxln x|ln 2ln 1ln 2.2由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.答案A解析作出曲线yx2，yx3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积解方程组得曲线yx2，yx3交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S(x2x3)dx|.3由曲线y2x2，及x0，x3，y0所围成图形的面积为_答案18解析图形面积为S2x2