人教A版必修2 第二章　点、直线、平面之间的位置关系 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系3平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab(2)面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abp，a，b，a，b，a结论aba(3)空间中的平行关系的内在联系4垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直的判定与性质图形条件结论判定ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m，n，mnoaab，ab性质a，baba，bab(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l(3)空间中的垂直关系的内在联系5空间角(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：设两异面直线所成角为，则090.(2)直线和平面所成的角平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.(3)二面角的有关概念二面角：从一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.类型一空间中的平行关系例1如图所示，四边形abcd是平行四边形，pb平面abcd，mapb，pb2ma.在线段pb上是否存在一点f，使平面afc平面pmd？若存在，请确定点f的位置；若不存在，请说明理由考点空间中的平行问题题点空间中的共点、共线、共面问题解当点f是pb的中点时，平面afc平面pmd，证明如下：如图连接ac和bd交于点o，连接fo，则pfpb.四边形abcd是平行四边形，o是bd的中点，ofpd.又of平面pmd，pd平面pmd，of平面pmd.又mapb且mapb，pfma且pfma，四边形afpm是平行四边形，afpm.又af平面pmd，pm平面pmd，af平面pmd.又afoff，af平面afc，of平面afc，平面afc平面pmd.反思与感悟(1)判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：利用线面平行的判定定理利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面(2)判断面面平行的常用方法利用面面平行的判定定理面面平行的传递性(，)利用线面垂直的性质(l，l)跟踪训练1如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点g，e，f，h分别是棱pb，ab，cd，pc上共面的四点，平面gefh平面abcd，bc平面gefh.(1)证明：ghef；(2)若eb2，求四边形gefh的面积考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明因为bc平面gefh，bc平面pbc，且平面pbc平面gefhgh，所以ghbc.同理可证efbc，因此ghef.(2)解连接ac，bd交于点o，bd交ef于点k，连接op，gk.因为papc，o是ac的中点，所以poac，同理可得pobd.又bdaco，且ac，bd平面abcd，所以po平面abcd.又因为平面gefh平面abcd，且po平面gefh，所以po平面gefh.又因为平面pbd平面gefhgk，po平面pbd，所以pogk，所以gk平面abcd.又ef平面abcd，所以gkef，所以gk是梯形gefh的高由ab8，eb2得ebabkbdb14，从而kbbdob，即k是ob的中点再由pogk得gkpo，所以g是pb的中点，且ghbc4.由已知可得ob4，po6，所以gk3，故四边形gefh的面积sgk318.类型二空间中的垂直关系例2如图，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点，求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题证明(1)因为平面pad底面abcd，平面pad底面abcdad，pa平面pad，paad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde.所以四边形abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且四边形abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以apcd.又因为apada，ap，ad平面pad，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef.又因为cdbe，efbee，ef，be平面bef，所以cd平面bef.又cd平面pcd，所以平面bef平面pcd.反思与感悟(1)判定线面垂直的方法线面垂直定义(一般不易验证任意性)线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcma)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)面面垂直的性质(，l，a，ala)面面平行的性质(a，a)面面垂直的性质(l，l)(2)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理跟踪训练2如图所示，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中点证明：(1)cdae；(2)pd平面abe.考点空间中的垂直问题题点空间中的垂直问题证明(1)在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，pacd.accd，paaca，pa，ac平面pac，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)由paabbc，abc60，可得acpa.e是pc的中点，aepc.由(1)知aecd，且pccdc，pc，cd平面pcd，ae平面pcd.而pd平面pcd，aepd.pa底面abcd，paab.又abad且paada，pa，ad平面pad，ab平面pad，而pd平面pad，abpd.又abaea，ab，ae平面abe，pd平面abe.类型三空间角的求解例3如图所示，四棱锥pabcd的底面abcd是平行四边形，babd，ad2，papd，e，f分别是棱ad，pc的中点(1)证明：ef平面pab；(2)若二面角padb为60.证明：平面pbc平面abcd；求直线ef与平面pbc所成角的正弦值考点空间角题点空间角的综合运用(1)证明如图所示，取pb的中点m，连接mf，am.因为f为pc的中点，所以mfbc，且mfbc.由已知得bcad，bcad，又由于e为ad的中点，因而mfae且mfae，故四边形amfe为平行四边形，所以efam.又am平面pab，ef平面pab，所以ef平面pab.(2)证明连接pe，be.因为papd，babd，而e为ad的中点，所以pead，bead，所以peb为二面角padb的平面角在pad中，由papd，ad2，可解得pe2.在abd中，由babd，ad2，可解得be1.在peb中，pe2，be1，peb60，故可得pbe90，即bepb.又bcad，bead，从而bebc，又bcpbb，bc，pb平面pbc，因此be平面pbc.又be平面abcd，所以平面pbc平面abcd.解连接bf，由知，be平面pbc，所以efb为直线ef与平面pbc所成的角由pb及已知，得abp为直角，而mbpb，可得am，又由(1)可知efam，故ef.又be1，故在rtebf中，sinefb.所以直线ef与平面pbc所成角的正弦值为.反思与感悟(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)(3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法跟踪训练3如图，正方体的棱长为1，bcbco，求：(1)ao与ac所成角的大小；(2)ao与平面abcd所成角的正切值；(3)平面aob与平面aoc所成角的大小考点空间角题点求空间角或其三角函数值解(1)acac，ao与ac所成的角就是oac.ab平面bc，oc平面bc，ocab，又ocbo，abbob，ab，bo平面abo，oc平面abo.又oa平面abo，ocoa.在rtaoc中，oc，ac，sinoac，oac30.即ao与ac所成角为30.(2)如图，作oebc于e，连接ae.平面bc平面abcd，平面bc平面abcdbc，oe平面bc，oe平面abcd，oae为oa与平面abcd所成的角在rtoae中，oe，ae，tanoae.即ao与平面abcd所成角的正切值为.(3)由(1)可知oc平面aob.又oc平面aoc，平面aob平面aoc.即平面aob与平面aoc所成的角为90.1在空间中，下列命题正确的是()a若平面内有无数条直线与直线l平行，则lb若平面内有无数条直线与平面平行，则c若平面内有无数条直线与直线l垂直，则ld若平面内有无数条直线与平面垂直，则考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案d解析对于a，若平面内有无数条直线与直线l平行，则l可能在平面内，故错；对于b，若平面内有无数条直线与平面平行，则与可能相交，故错；对于c，若平面内有无数条直线与直线l垂直，则l与可能斜交，故错；对于d，若平面内有无数条直线与平面垂直，则平面经过平面的垂线，则，故正确故选d.2在空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da上分别取e，f，g，h四点，如果ef，hg交于一点p，则()a点p一定在直线bd上b点p一定在直线ac上c点p一定在直线ac或bd上d点p既不在直线ac上，也不在直线bd上考点平面的基本性质题点点共线、线共点，点在线上问题答案b解析如图，phg，hg平面acd，p平面acd.同理，p平面bac.平面bac平面acdac，pac.故选b.3在如图所示的正四棱柱abcda1b1c1d1中，e，f分别是棱b1b，ad的中点，直线bf与平面ad1e的位置关系是()a平行 b相交但不垂直 c垂直 d异面考点空间中的平行问题题点空间中的平行问题答案a解析取ad1的中点o，连接oe，of，则of平行且等于be，四边形bfoe是平行四边形，bfoe，bf平面ad1e，oe平面ad1e，bf平面ad1e，故选a.4空间四边形abcd中，平面abd平面bcd，bad90，bcd90，且abad，则ac与平面bcd所成的角是_考点空间角题点求空间角或其三角函数值答案45解析如图所示，取bd的中点o，连接ao，co.因为abad，所以aobd，又平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，ao平面abd，所以ao平面bcd.因此，aco即为ac与平面bcd所成的角由于bad90bcd，所以aoocbd，又aooc，所以aco45.5如图，在棱锥pabc中，d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点已知paac，pa6，bc8，df5.求证：(1)直线pa平面def；(2)平面bde平面abc.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明证明(1)因为d，e分别为棱pc，ac的中点，所以depa.又因为pa平面def，de平面def，所以直线pa平面def.(2)因为d，e，f分别为棱pc，ac，ab的中点，pa6，bc8，所以depa，depa3，efbc4.又因为df5，故df2de2ef2，所以def90，即deef.又paac，depa，所以deac.因为acefe，ac平面abc，ef平面abc，所以de平面abc.又de平面bde，所以平面bde平面abc.1平行关系(1)平行问题的转化关系(2)直线与平面平行的主要判定方法定义法；判定定理；面与面平行的性质(3)平面与平面平行的主要判定方法定义法；判定定理；推论；a，a.2垂直关系(1)空间中垂直关系的相互转化(2)判定线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”利用面面垂直的性质(3)判定线线垂直的方法平面几何中证明线线垂直的方法线面垂直的性质：a，bab.线面垂直的性质：a，bab.(4)判断面面垂直的方法利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角判定定理：a，a.3空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法利用图中已有的平行线平移利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移补形平移(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形一、选择题1下列说法正确的是()a经过空间内的三个点有且只有一个平面b如果直线l上有一个点不在平面内，那么直线上所有点都不在平面内c四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形d用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案c解析在a中，经过空间内的不共线的三个点有且只有一个平面，故a错误；在b中，如果直线l上有一个点不在平面内，那么直线与平面相交或平行，则直线上最多有一个点在平面内，故b错误；在c中，如图的四棱锥，底面是矩形，一条侧棱垂直底面，那么它的四个侧面都是直角三角形，故c正确；在d中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台，故d错误故选c.2是一个平面，m，n是两条直线，a是一个点，若m，n，且am，a，则m，n的位置关系不可能是()a垂直 b相交c异面 d平行考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案d解析是一个平面，m，n是两条直线，a是一个点，m，n，n在平面内，m与平面相交，am，a，a是m和平面相交的点，m和n异面或相交，一定不平行3在空间中，表示平面，m，n表示两条直线，则下列命题中错误的是()a若m，m，n不平行，则n与不平行b若m，m，n不垂直，则n与不垂直c若m，m，n不平行，则n与不垂直d若m，m，n不垂直，则n与不平行考点空间中直线与平面之间的位置关系题点空间中直线与平面之间的位置关系的判定答案a解析对于a，若m，m，n不平行，则n与可能平行、相交或n，故不正确故选a.4(2018届温州“十五校联合体”期中联考)已知m，n是互不垂直的异面直线，平面，分别经过直线m，n，则下列关系中不可能成立的是()am bcm d考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案c解析若m，则m垂直于平面内的任意一条直线，则mn，与已知条件矛盾，故选c.5在正四面体abcd中，e，f分别为棱ad，bc的中点，则异面直线ef与cd所成的角为()a. b. c. d.答案b解析取cd的中点p，连接ap，bp，可证得cd平面pab，从而可得cdab.取ac的中点m，连接me，mf，则mecd，mecd，mfab，mfab，mef即为异面直线ef与cd所成的角(或其补角)在mef中，emf，memf.mef.异面直线ef与cd所成的角为.6如图，四边形abcd是圆柱的轴截面，e是底面圆周上异于a，b的一点，则下面结论中错误的是()aaece bbedecde平面ceb d平面ade平面bce考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案c解析由ab是底面圆的直径，则aeb90，即aeeb.四边形abcd是圆柱的轴截面，ad底面aeb，bc底面aeb.bead，又adaea，ad，ae平面ade，be平面ade.同理可得：aece，平面bce平面ade.可得a，b，d正确而de平面ceb不正确故选c.7如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，dab60，侧面pad为正三角形，且平面pad平面abcd，则下列说法错误的是()a在棱ad上存在点m，使ad平面pmbb异面直线ad与pb所成的角为90c二面角pbca的大小为45dbd平面pac考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案d解析对于a，取ad的中点m，连pm，bm，侧面pad为正三角形，pmad，又底面abcd是菱形，dab60，abd是等边三角形，adbm，又pmbmm，pm，bm平面pmb，ad平面pbm，故a正确对于b，ad平面pbm，adpb，即异面直线ad与pb所成的角为90，故b正确对于c，平面pbc平面abcdbc，bcad，bc平面pbm，bcpb，bcbm，pbm是二面角pbca的平面角，设ab1，则bm，pm，在rtpbm中，tanpbm1，即pbm45，故二面角pbca的大小为45，故c正确故选d.二、填空题8已知，是三个不同的平面，命题“若，且，则”是真命题若把，中的任意两个平面换成直线，另一个保持不变，则在所得到的所有新命题中，真命题的个数是_考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案2解析若，换为直线a，b，则命题化为“若ab，且a”，则b，此命题为真命题；若，换为直线a，b，则命题化为“若a，且ab，则b”，此命题为假命题；若，换为直线a，b，则命题化为“若a，且b，则ab”，此命题为真命题故真命题有2个9如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cos cos _.考点平面与平面垂直的性质题点有关面面垂直性质的计算答案2解析由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos ，cos ，所以cos cos 2.10如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是abc为直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中点，点f在线段aa1上，当af_时，cf平面b1df.考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题答案a或2a解析由已知得b1d平面ac1，又cf平面ac1，b1dcf，故若cf平面b1df，则必有cfdf.设afx(0x3a)，则cf2x24a2，df2a2(3ax)2，又cd2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或2a.故答案为a或2a.11如图，在正方体abcda1b1c1d1中，有下面结论：ac平面cb1d1；ac1平面cb1d1；ac1与底面abcd所成角的正切值是；ad1与bd为异面直线其中正确的结论的序号是_考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的判定答案解析因为ac平面cb1d1c，所以ac平面cb1d1错误，所以错误连接bc1，a1c1，则ac1b1d1，ac1b1c，因为b1d1b1cb1，所以ac1平面cb1d1，所以正确因为ac1在底面abcd的射影为ac，所以c1ac是ac1与底面abcd所成的角，所以tanc1ac，所以正确由异面直线的定义可知，ad1与bd为异面直线，所以正确故答案为.三、解答题12一个空间几何体的直观图如图(1)所示，三视图及部分数据如图(2)所示(1)求它的体积；(2)证明：a1c平面ab1c1；(3)若d是棱cc1的中点，在棱ab上取中点e，判断de是否平行于平面ab1c1，并证明你的结论考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行、垂直综合问题的证明(1)解由三视图可知，四边形bcc1b1是矩形，bb1cc1，bc1，且aa1c1c是边长为的正方形，垂直于底面bb1c1c，所以该几何体的体积为v1.(2)证明因为acb90，所以bcac，又因为三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，所以bccc1，又因为accc1c，ac，cc1平面acc1a1，所以bc平面acc1a1，所以bca1c.又因为b1c1bc，所以b1c1a1c，又因为四边形acc1a1为正方形，所以a1cac1，又b1c1ac1c1，b1c1，ac1平面ab1c1，所以a1c平面ab1c1.(3)解当e为棱ab的中点时，de平面ab1c1，证明：如图所示，取bb1的中点f，连接ef，fd，de.因为d，e，f分别是棱cc1，ab和bb1的中点，所以efab1，又ab1平面ab1c1，ef平面ab1c1，所以ef平面ab1c1.又fdb1c1，b1c1平面ab1c1，fd平面ab1c1，所以fd平面ab1c1，又effdf，ef，fd平面def，所以平面def平面ab1c1，而de平面def，所以de平面ab1c1.13如图，在三棱锥pabc中，pa平面abc，abac2，bc2，m，n分别为bc，ab的中点(1)求证：mn平面pac；(2)求证：平面pbc平面pam；(3)在ac上是否存在点e，使得me平面pac？若存在，求出me的长，若不存在，请说明理由考点线、面平行、垂直的综合应用题点平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明因为m，n分别为bc，ab的中点，所以mnac.因为mn平面pac，ac平面pac，所以mn平面pac.(2)证明因为pa平面abc，bc平面abc，所以pabc，因为abac2，m为bc的中点，所以ambc.因为ampaa，am，pa平面pam，所以bc平面pam.因为bc平面pbc，所以平面pbc平面pam.(3)解存在过点m作meac交ac于点e，因为pa平面abc，me平面abc，所以pame.因为meac，acpaa，ac，pa平面pac，所以me平面pac.因为在abc中，abac2，bc2，m为bc的中点，所以me.四、探究与拓展14如图所示，在直角梯形bcef中，cbfbce90，a，d分别是bf，ce上的点，adbc，且abde2bc2af(如图)将四边形adef沿ad折起，连接be，bf，ce(如图)在折起的过程中，下列说法中错误的个数是()ac平面bef；b，c，e，f四点不可能共面；若efcf