人教A版选修22 1.1.1变化率问题 教案.doc

教学设计11变化率与导数11.1变化率问题教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰课时分配1课时教学目标1知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念2过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础3情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神重点难点重点：函数的变化率、平均变化率难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率教具准备10只气球多媒体视频文件引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚教师提示：由球的体积公式v(r)r3可得，r(v).随着球内气体体积的增加，球半径也在增加学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师 提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 l时，气球的半径增加_ dm，此时气球的平均膨胀率为_ dm/l.问题2：当气球内空气的体积从1 l增加到2 l时，气球的半径增加_ dm，此时气球的平均膨胀率为_ dm/l.问题3：当气球内空气的体积从v1 l增加到v2 l时，气球的半径增加_ dm，此时气球的平均膨胀率为_ dm/l.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)活动成果：问题1：r(1)r(0)0.62(dm)；0.62(dm/l)问题2：r(2)r(1)0.16(dm)；0.16(dm/l)问题3：r(v2)r(v1)；.提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0t0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0t1这段时间里的平均速度是多少？在1t2这段时间里的平均速度是多少？在2t3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0t这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索活动成果：问题1：4.05(m/s)问题2：1.6(m/s)；8.2(m/s)；18(m/s)问题3：h()10h(0)，0.但是，这段时间运动员不是静止的问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)x1，求x取从1到2时的平均变化率问题2：已知函数f(x)，求x取从1到2时的平均变化率问题3：已知函数f(x)lnx，求x取从1到2时的平均变化率问题4：已知函数f(x)sinx，求x取从1到2时的平均变化率通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结活动成果：问题1：1；问题2：；问题3：ln2；问题4：sin2sin1.不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同对于任意函数f(x)，从x1到x2的平均变化率可以表示为.习惯上用x表示x2x1，即xx2x1；用y表示y2y1，即yy2y1.于是，平均变化率可以表示为.如下图所示：结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫 例1已知某质点运动规律满足st23，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ()a6t b3t c9t d6t思路分析：平均速度是指，即.解：因为6t，所以答案选a.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形例2过曲线f(x)x3上两点p(1,1)、q(1x,1y)作曲线的割线，求当x0.1时割线的斜率思路分析：两点连线的斜率公式为，即.解：因为y(1x)3113x3x2x313x3x2x3，所以33xx2.当x0.1时，330.10.123.31.巩固练习1在曲线yx21的图象上取一点(1,2)及附近一点(1x,2y)，则为()ax2 bx2 cx2 d2x2将半径为r的球加热，若球的半径增量为r，则球的表面积增量s等于()a8rr b8rr4(r)2c4rr4(r)2 d4(r)23函数y3x22x8在x13处有增量x0.5，则f(x)在x1到x1x上的平均变化率是_答案：1.c2.b3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)x2在xx0附近的平均变化率变式2：物体按照s(t)3t2t4的规律作直线运动，求物体在t4附近的平均速度变式3：物体按照s(t)3t2t4的规律作直线运动，在时间段(t，t3)内的平均速度为20，试确定t的值变式4：已知函数f(x)x2x的图象上的一点a(1，2)，以及临近一点b(1x，2y)，则ab两点连线的斜率是多少？当x0.1时，求ab的斜率；当x0.01时，求ab的斜率；当x0.001时，求ab的斜率；试结合图形，分析这些结论答案：变式1.2x0x；变式2.253t；变式3.；变式4.3x；2.9；2.99；2.999；随着x取值的变小，直线ab的斜率逐渐稳定在3.0附近达标检测1在平均变化率的定义中，自变量的增量是()ax0 bx0 cx0 dx02已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于 ()a4 b42xc4x d4x(x)23某日中午12时整，甲车自a处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自a处以60 km/h的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率答案：1.d2.b3.100 km/h.阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1平均变化率的概念2函数在某点附近的平均变化率3通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质课本习题1.1a1；补充练习13.1设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()af(x0x) bf(x0)xcf(x0)x df(x0x)f(x0)2一质点运动的方程为s12t2，则在一段时间1,2内的平均速度为()a4 b8 c6 d63正弦函数ysinx在区间0，和，的平均变化率哪一个较大？答案：1.d2.d3正弦函数ysinx在区间0，的平均变化率比在区间，的平均变化率大本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述比如我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣”这些都是朴素的、也很典型的极限概念到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的