中考数学一轮复习 第22课 平行四边形导学案.doc

第22课 平行四边形【考点梳理】：1正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形abcd记作 abcd，读作“平行四边形abcd”2熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从 边、角、对角线 三个方面的特征进行简述的（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；（4）面积：； （5）平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形3平行四边形的判别方法定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：平行四边形的性质【例题赏析】（2015本溪，第8题3分）如图，abcd的周长为20cm，ae平分bad，若ce=2cm，则ab的长度是（）思考与收获 a 10cm b 8cm c 6cm d 4cm考点： 平行四边形的性质分析： 根据平行四边形的性质得出ab=cd，ad=bc，adbc，推出dae=bae，求出bae=aeb，推出ab=be，设ab=cd=xcm，则ad=bc=（x+2）cm，得出方程x+x+2=10，求出方程的解即可解答： 解：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，ad=bc，adbc，dae=bae，ae平分bad，dae=bae，bae=aeb，ab=be，设ab=cd=xcm，则ad=bc=（x+2）cm，abcd的周长为20cm，x+x+2=10，解得：x=4，即ab=4cm，故选d点评： 本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是能推出ab=be，题目比较好，难度适中【考点二】：平行四边形的判定【例题赏析】（2015乌鲁木齐,第19题10分）如图，abcd中，点e，f在直线ac上（点e在f左侧），bedf（1）求证：四边形bedf是平行四边形；思考与收获（2）若abac，ab=4，bc=2，当四边形bedf为矩形时，求线段ae的长考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）通过全等三角形becdfa的对应边相等推知be=df，则结合已知条件证得结论；（2）根据矩形的性质计算即可解答：（1）证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，ad=bc，daf=bce又bedf，bec=dfa在bec与dfa中，becdfa（aas），be=df又bedf，四边形bedf为平行四边形；（2）连接bd，bd与ac相交于点o，如图：abac，ab=4，bc=2，ac=6，ao=3，思考与收获rtbao中，bo=5，四边形bedf是矩形，oe=ob=5，点e在oa的延长线上，且ae=2点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法【考点三】：三角形的中位线【例题赏析】（2015怀化，第17题8分）已知：如图，在abc中，de、df是abc的中位线，连接ef、ad，其交点为o求证：（1）cdedbf；（2）oa=od考点： 全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理专题： 证明题分析： （1）根据三角形中位线，可得df与ce的关系，db与dc的关系，根据sas，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得df与ae的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案解答： 证明：（1）de、df是abc的中位线，df=ce，dfce，db=dcdfce，c=bdf思考与收获在cde和dbf中，cdedbf （sas）；（2）de、df是abc的中位线，df=ae，dfae，四边形deaf是平行四边形，ef与ad交于o点，ao=od点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质【考点四】：平行四边形的探索题 【例题赏析】（2015山东莱芜,第21题9分）如图，abc是等腰直角三角形，acb=90，分别以ab，ac为直角边向外作等腰直角abd和等腰直角ace，g为bd的中点，连接cg，be，cd，be与cd交于点f（1）判断四边形acgd的形状，并说明理由（2）求证：be=cd，becd考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定.专题： 证明题分析： （1）利用等腰直角三角形的性质易得bd=2bc，因为g为bd的中点，可得bg=bc，由cgb=45，adb=45得adcg，由cbd+acb=180，得acbd，得出四边形acgd为平行四边形；思考与收获（2）利用全等三角形的判定证得dacbae，由全等三角形的性质得be=cd；首先证得四边形abce为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得bcecad，易得cbe=acd，由acb=90，易得cfb=90，得出结论解答： （1）解：abc是等腰直角三角形，acb=90，ab=bc，abd和ace均为等腰直角三角形，bd=bc=2bc，g为bd的中点，bg=bd=bc，cbg为等腰直角三角形，cgb=45，adb=45，adcg，abd=45，abc=45cbd=90，acb=90，cbd+acb=180，acbd，四边形acgd为平行四边形；（2）证明：eab=eac+cab=90+45=135，cad=dab+bac=90+45=135，eab=cad，在dac与bae中，dacbae，be=cd；eac=bca=90，ea=ac=bc，四边形abce为平行四边形，思考与收获ce=ab=ad，在bce与cad中，bcecad，cbe=acd，acd+bcd=90，cbe+bcd=90，cfb=90，即becd点评： 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键【真题专练】1. （2015营口，第4题3分）abcd中，对角线ac与bd交于点o，dac=42，cbd=23，则cod是（） a 61 b 63 c 65 d 67思考与收获2. （2015四川成都,第14题4分）如图，在abcd中，ab=，ad=4，将abcd沿ae翻折后，点b恰好与点c重合，则折痕ae的长为 3（2015湖北, 第17题3分）在abcd中，ad=bd，be是ad边上的高，ebd=20，则a的度数为 4. （2015江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形abcd沿对角线bd进行折叠，折叠后点c落在点f处，df交ab于点e(1）求证；edb=ebd；(2）判断af与db是否平行，并说明理由5. (2015年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）思考与收获6. （2015通辽,第21题5分）如图，在平行四边形abcd中，若ab=6，ad=10，abc的平分线交ad于点e，交cd的延长线于点f，求df的长7. （2015山东泰安,第28题10分）如图，abc是直角三角形，且abc=90，四边形bcde是平行四边形，e为ac中点，bd平分abc，点f在ab上，且bf=bc求证：（1）df=ae；（2）dfac思考与收获8. （2015四川遂宁第19题9分）如图，abcd中，点e，f在对角线bd上，且be=df，求证：（1）ae=cf；（2）四边形aecf是平行四边形9. （2015桂林）（第21题）如图，在abcd中，e、f分别是ab、cd的中点（1）求证：四边形ebfd为平行四边形；（2）对角线ac分别与de、bf交于点m、n，求证：abncdm10. （2015四川凉山州第24题8分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半如图（1）：在梯形abcd中：adbce、f是ab、cd的中点efadbcef=（ad+bc）材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边如图（2）：在abc中：思考与收获e是ab的中点，efbcf是ac的中点请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题如图（3）在梯形abcd中，adbc，acbd于o，e、f分别为ab、cd的中点，dbc=30（1）求证：ef=ac；（2）若od=3，oc=5，求mn的长【真题演练参考答案】1. （2015营口，第4题3分）abcd中，对角线ac与bd交于点o，dac=42，cbd=23，则cod是（） a 61 b 63 c 65 d 67考点： 平行四边形的性质分析： 由平行四边形的性质可知：adbc，进而可得dac=bca，再根据三角形外角和定理即可求出cod的度数解答： 解：四边形abcd是平行四边形，adbc，dac=bca=42，cod=cbd+bca=65，故选c点评： 本题考查了平行四边形的性质以及三角形的外角和定理，题目比较简单，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，将四边形的问题转化为三角形问题2. （2015四川成都,第14题4分）如图，在abcd中，ab=，ad=4，将abcd沿ae翻折后，点b恰好与点c重合，则折痕ae的长为3考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质.分析：由点b恰好与点c重合，可知ae垂直平分bc，根据勾股定理计算ae的长即可解答：解：翻折后点b恰好与点c重合，aebc，be=ce，bc=ad=4，be=2，ae=3故答案为：3点评：本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现ae垂直平分bc是解决问题的关键3（2015湖北, 第17题3分）在abcd中，ad=bd，be是ad边上的高，ebd=20，则a的度数为55或35考点： 平行四边形的性质分析： 首先求出adb的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出a的度数解答： 解：情形一：当e点在线段ad上时，如图所示，be是ad边上的高，ebd=20，adb=9020=70，ad=bd，a=abd=55情形二：当e点在ad的延长线上时，如图所示，be是ad边上的高，ebd=20，bde=70，ad=bd，a=abd=bde=70=35故答案为：55或35点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出adb的度数是解题关键4. （2015江苏连云港，第22题10分）如图，将平行四边形abcd沿对角线bd进行折叠，折叠后点c落在点f处，df交ab于点e(1）求证；edb=ebd；(2）判断af与db是否平行，并说明理由考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质分析：（1）由折叠和平行线的性质易证edb=ebd；(2）afdb；首先证明ae=ef，得出afe=eaf，然后根据三角形内角和与等式性质可证明bde=afe，所以afbd解答：解：（1）由折叠可知：cdb=edb，四边形abcd是平行四边形，dcab，cdb=ebd，edb=ebd；(2）afdb；edb=ebd，de=be，由折叠可知：dc=df，四边形abcd是平行四边形，dc=ab，df=ab，ae=ef，eaf=efa，在bed中，edb+ebd+deb=180，2edb+deb=180，同理，在aef中，2efa+aef=180，deb=aef，edb=efa，afdb点评：本题主要考查了折叠变换、平行四边形的性质、等腰三角形的性质的综合应用，运用三角形内角和定理和等式性质得出内错角相等是解决问题的关键5. (2015年四川省广元市中考，18,7分)求证：平行四边形的对角线互相平分（要求：根据题意先画出图形并写出已知、求证，再写出证明过程）考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：首先根据题意画出图形，再写出命题的已知和求证，最后通过证明三角形全等即可证明命题是正确的解答：已知：平行四边形abcd的对角线ac，bd相交于点o，求证：oa=oc，ob=od证明：四边形abcd是平行四边形，adbc，ad=bc，1=2，在aod和cob中，aodcob（aas），oa=oc，ob=od点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定的各种方法6. （2015通辽,第21题5分）如图，在平行四边形abcd中，若ab=6，ad=10，abc的平分线交ad于点e，交cd的延长线于点f，求df的长考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质分析： 首先根据平行四边形的性质可得ab=dc=6，ad=bc=10，abdc，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明2=3，根据等角对等边可得bc=cf=10，再用cfcd即可算出df的长解答： 解：四边形abcd为平行四边形，ab=dc=6，ad=bc=10，abdcabdc，1=3，又bf平分abc，1=2，2=3，bc=cf=10，df=bfdc=106=4点评： 此题主要考查了平行线的性质，以及平行线的性质，关键是证明2=3推出bc=cf7. （2015山东泰安,第28题10分）如图，abc是直角三角形，且abc=90，四边形bcde是平行四边形，e为ac中点，bd平分abc，点f在ab上，且bf=bc求证：（1）df=ae；（2）dfac考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.专题：证明题分析：（1）延长de交ab于点g，连接ad构建全等三角形aeddfb（sas），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设ac与fd交于点o利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到eod=90，即dfac解答：证明：（1）延长de交ab于点g，连接ad四边形bcde是平行四边形，edbc，ed=bc点e是ac的中点，abc=90，ag=bg，dgabad=bd，bad=abdbd平分abc，abd=bad=45，即bde=ade=45又bf=bc，bf=de在aed与dfb中，aeddfb（sas），ae=df，即df=ae；（2）设ac与fd交于点o由（1）知，aeddfb，aed=dfb，deo=dfgdfg+fdg=90，do+edo=90，eod=90，即dfac点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件8. （2015四川遂宁第19题9分）如图，abcd中，点e，f在对角线bd上，且be=df，求证：（1）ae=cf；（2）四边形aecf是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.专题：证明题分析：（1）根据平行四边形的性质可得ab=cd，abcd，然后可证明abe=cdf，再利用sas来判定abedcf，从而得出ae=cf（2）首先根据全等三角形的性质可得aeb=cfd，根据等角的补角相等可得aef=cfe，然后证明aecf，从而可得四边形aecf是平行四边形解答：证明：（1）四边形abcd是平行四边形，ab=cd，abcdabe=cdf在abe和cdf中，abedcf（sas）ae=cf（2）abedcf，aeb=cfd，aef=cfe，aecf，ae=cf，四边形aecf是平行四边形点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形9. （2015桂林）（第21题）如图，在abcd中，e、f分别是ab、cd的中点（1）求证：四边形ebfd为平行四边形；（2）对角线ac分别与de、bf交于点m、n，求证：abncdm考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定专题：证明题分析：（1）根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得abcd，ab=cd；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；（2）根据平行四边的性质：平行四边形的对边相等，可得abcd，ab=cd，cdm=cfn；根据全等三角形的判定，可得答案解答：（1）证明：四边形abcd是平行四边形，abcd，ab=cde、f分别是ab、cd的中点，be=df，bedf，四边形ebfd为平行四边形；（2）证明：四边形ebfd为平行四边形，debf，cdm=cfn四边形abcd是平行四边形，abcd，ab=cdbac=dca，abn=cfn，abn=cdm，在abn与cdm中，abncdm （asa）点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形