广东省揭阳市登岗中学高三数学上学期第三次月考试卷 文（含解析）.doc

广东省揭阳市登岗中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a，br，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（）a34ib3+4ic43id4+3i2（5分）设集合a=x|x22x0，b=x|1x4，则ab=（）a（0，2b（1，2）c（a0）上是单调函数，且f（0）f（a）0，则方程f（x）=0在区间内根的个数是（）a3b2c1d05（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x）的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位6（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a2b4c6d87（5分）数列an是等差数列，首项为a1，公差为1的等差数列，sn为前n项和若s1，s2，s3成等比数列，则a1=（）a2b2cd8（5分）已知直线l丄平面，直线m平面，则“lm”是“”的（）a充要条件b必要条件c充分条件d既不充分又不必要条件9（5分）双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则c的焦距等于（）a2b2c4d410（5分）下列命题中是假命题的个数是（），r，使cos（+）=cos+sin；a0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点若，是两个非零向量，则“|+|=|”是“”的充要条件；若函数f（x）=|2x1|，则x1， x2且x1x2，使得f（x1）f（x2）a0b1c2d3二、填空题：本大题共3小题考生作答4小题每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）若曲线y=xlnx上点p处的切线平行于直线xy+1=0，则点p的坐标是12（5分）在abc中，a=60，ac=2，bc=，则ab等于13（5分）已知函数在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围为（坐标系与参数方程选做题）14（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知圆c极坐标方程是=4cos直线l（t参数），圆心c到直线l的距离等于（几何证明选做题）15（5分）如图，abc中，bc=6，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，若ac=2ae，则ef=三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=a（sincos+cossin）（a0，0）的最大值是2，且f（0）=2（1）求的值；（2）已知锐角abc的三个内角分别为a，b，c，若f（2a）=，f（2b+）=，求f（2c）的值17（12分）某校为了解2015届高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究全年级共有630名学生，男女生人数之比为11：10，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22列联表：否定肯定总计男生10女生30总计完成列联表；能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度，一人持否定态度的概率解答时可参考下面公式及临界值表：k0=ad0.100.050.0250.0100.005o2.7063.8415.0246.6357.87918（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，点o是对角线ac与bd的交点，m是pd的中点，ab=2，bad=60（1）求证：om平面pab；（2）求证：平面pbd平面pac；（3）当四棱锥pabcd的体积等于时，求pb的长19（14分）已知数列an的前n项和为sn，满足sn+2n=2an（1）证明：数列an+2是等比数列并求数列an的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），设tn是数列的前n项和求证：20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax23x，且在x=1时函数f（x）取得极值（）求a的值及f（x）的极值；（）若g（x）=x22x1（x0），证明：当x1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方21（14分）已知函数f（x）=x2x+2alnx（1）求f（x）的单调区间；（2）0a时，判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；（3）f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，证明：f（x2）广东省揭阳市登岗中学2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知a，br，i是虚数单位，若a+i=2bi，则（a+bi）2=（）a34ib3+4ic43id4+3i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值解答：解：a+i=2bi，a=2、b=1，则（a+bi）2=（2i）2=34i，故选：a点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题2（5分）设集合a=x|x22x0，b=x|1x4，则ab=（）a（0，2b（1，2）c（a0）上是单调函数，且f（0）f（a）0，则方程f（x）=0在区间内根的个数是（）a3b2c1d0考点：根的存在性及根的个数判断；偶函数 分析：由条件f（0）f（a）0可知，f（x）在（0，a）上有至少一个零点，又根据函数在（0，a）上单调，说明函数在（0，a）有且只有一个零点，再根据函数为偶函数，图象关于y轴对称，即可知函数在区间（a，0）也有唯一零点，因此可以得出答案解答：解：由二分法和函数的单调性可知：函数在区间上有且只有一个零点，设为x=x0函数是偶函数，f（x0）=f（x0）=0故其在对称区间上也有唯一零点，即函数在区间上存在两个零点，故选b点评：本题主要考查了函数零点的判定定理，属于基础题灵活运用单调性和奇偶性以及函数的图象，有助于这类问题的解题5（5分）为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin（2x）的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：常规题型分析：先将2提出来，再由左加右减的原则进行平移即可解答：解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x）=sin2（x），所以将y=sin（2x）的图象向左平移 个长度单位得到y=sin（2x+）的图象，故选a点评：本试题主要考查三角函数图象的平移平移都是对单个的x来说的注意平移的方向6（5分）已知圆x2+y2+2x2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）a2b4c6d8考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值解答：解：圆x2+y2+2x2y+a=0 即 （x+1）2+（y1）2=2a，故弦心距d=再由弦长公式可得 2a=2+4，a=4，故选：b点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题7（5分）数列an是等差数列，首项为a1，公差为1的等差数列，sn为前n项和若s1，s2，s3成等比数列，则a1=（）a2b2cd考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和求出s1，s2，s4，然后再由s1，s2，s4成等比数列列式求解a1解答：解：an是首项为a1，公差为1的等差数列，sn为其前n项和，s1=a1，s2=2a11，s4=4a16，由s1，s2，s4成等比数列，得：s22=s1s4，即（2a11）=a1（a16）解得：a1=故选：d点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题8（5分）已知直线l丄平面，直线m平面，则“lm”是“”的（）a充要条件b必要条件c充分条件d既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：规律型分析：利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断解答：解：直线l丄平面，lm，m丄平面，直线m平面，成立若，当直线l丄平面时，则l或l，但lm，不一定成立，“lm”是“”的充分条件故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用线面垂直和面面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键9（5分）双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则c的焦距等于（）a2b2c4d4考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论解答：解：=1（a0，b0）的离心率为2，e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bxay=0，则c=2a，b=，焦点f（c，0）到渐近线bxay=0的距离为，d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：c点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础10（5分）下列命题中是假命题的个数是（），r，使cos（+）=cos+sin；a0，函数f（x）=ln2x+lnxa有零点若，是两个非零向量，则“|+|=|”是“”的充要条件；若函数f（x）=|2x1|，则x1，x2且x1x2，使得f（x1）f（x2）a0b1c2d3考点：命题的真假判断与应用 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：可举=0，即可判断；令f（x）=0，由a0，通过判别式为1+4a0即可判断；将|+|=|两边平方，化简，再由向量垂直的条件得，由充分必要条件的定义即可判断；若函数f（x）=|2x1|，当0x1时，f（x）=2x1，函数为增函数，由函数的单调性的定义，即可判断解答：解：可举=0，则cos（+）=cos+sin成立，故对；令f（x）=0，则ln2x+lnxa=0，判别式为1+4a，a0，即判别式大于0，故方程有实根，故对；若，是两个非零向量，则“|+|=|”“”，故对；若函数f（x）=|2x1|，当0x1时，f（x）=2x1，函数为增函数，故错故假命题的个数为1故选b点评：本题考查简易逻辑的基础知识，考查存在性命题和全称性命题的真假，注意运用举反例，同时考查函数的单调性，属于基础题二、填空题：本大题共3小题考生作答4小题每小题5分，满分15分（一）必做题（1113题）11（5分）若曲线y=xlnx上点p处的切线平行于直线xy+1=0，则点p的坐标是（1，0）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得解答：解：切线与直线xy+1=0平行，斜率为1，y=xlnx，y=1lnx+x=1+lnxy（x0）=1 1+lnx0=1，x0=1，切点为（1，0）故答案为：（1，0）点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题12（5分）在abc中，a=60，ac=2，bc=，则ab等于1考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：利用余弦定理列出关系式，将ac，bc，以及cosa的值代入即可求出ab的长解答：解：在abc中，a=60，ac=b=2，bc=a=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，即3=4+c22c，解得：c=1，则ab=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键13（5分）已知函数在（0，1）上不是单调函数，则实数a的取值范围为（，2）考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质 专题：计算题分析：求出函数的导数，由题意得函数的导数在（0，1）上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数a的取值范围解答：解：函数，f（x）=x2+2ax+3由题意可得 f（x）在（0，1）上至少有一个零点当f（x）在（0，1）上只有一个零点时，f（0）f（1）0，解得a2当f（x）在（0，1）上有2个零点时，有，解得a综上，实数a的取值范围为（，2）点评：本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题（坐标系与参数方程选做题）14（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知圆c极坐标方程是=4cos直线l（t参数），圆心c到直线l的距离等于考点：简单曲线的极坐标方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程 专题：计算题分析：将直线的参数方程：与圆的极坐标方程=4cos都化为普通方程，求出圆心坐标，再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得解答：解：直线l的参数方程为，（t为参数）消去参数t得：x+y1=0圆c的极坐标方程为=4cos化成直角坐标方程得：x2+y24x=0，圆心c（2，0）圆心到直线的距离为：d，故答案为：点评：考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化属于中等题（几何证明选做题）15（5分）如图，abc中，bc=6，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，若ac=2ae，则ef=3考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：证明aefacb，可得，即可得出结论解答：解：由题意，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，aef=c，eaf=cab，aefacb，bc=6，ac=2ae，ef=3故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=a（sincos+cossin）（a0，0）的最大值是2，且f（0）=2（1）求的值；（2）已知锐角abc的三个内角分别为a，b，c，若f（2a）=，f（2b+）=，求f（2c）的值考点：三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数f（x）=a（sincos+cossin）（a0）的最大值是2，可得a值，进而根据f（0）=2，0，可得的值；（2）由（1）可知，进而根据f（2a）=，f（2b+）=，可得a，b的正弦值和余弦值，进而根据f（2c）=2cosc=2cos=cos（a+b）展开代入可得答案解答：解：（1）函数f（x）的最大值是2，a0a=2（2分）f（0）=2sin=2，sin=1，又0（4分）（2）由（1）可知（6分），（8分），（10分）f（2c）=2cosc=2cos=cos（a+b）=2（cosacosbsinasinb）=（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质及变换公式是解答的关键17（12分）某校为了解2015届高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究全年级共有630名学生，男女生人数之比为11：10，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为（1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22列联表：否定肯定总计男生10女生30总计完成列联表；能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度，一人持否定态度的概率解答时可参考下面公式及临界值表：k0=ad0.100.050.0250.0100.005o2.7063.8415.0246.6357.879考点：独立性检验的应用 专题：综合题；概率与统计分析：（1）根据全年级共有630名学生，每人被抽到的概率均为，可得共抽取105人，旅游男女生人数之比为11：10，可得抽取的男学生人数和女学生人数；（2）利用所给数据，可以完成列联表；求出k0，与临界值比较，即可得出能否有97.5%的把握认为态度与性别有关；（3）利用列举法确定基本事件的个数，根据概率公式，可得结论解答：解：（1）全年级共有630名学生，每人被抽到的概率均为，共抽取105人，（1分）男女生人数之比为11：10，男生105=55 人，女生人，（3分）（2）否定肯定总计男生451055女生302050总计7530105（4分）假设h0：学生对体育课改上自习课的态度与性别无关6.1105.024，p（k25.024）=0.025有97.5%的把握认为态度与性别有关（8分）（3）记一班被抽到的男生为a1，a2，a3，a4，aa1，a2，a3，a4持否定态度，a持肯定态度；二班被抽到的女生为b1，b2，b1，b2，b1，b2持否定态度，b1，b2持肯定态度则所有抽取可能共有20种：（a1，b1），（a1，b2），（a1，b1），（a1，b2）；（a2，b1），（a2，b2），（a2，b1），（a2，b2）；（a3，b1），（a3，b2），（a3，b1），（a3，b2）；（a4，b1），（a4，b2），（a4，b1），（a4，b2）；（a，b1），（a，b2），（a，b1），（a，b2）（10分）其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种（11分）记“从这人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为m，则（12分）答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关；（3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为（13分）点评：本题考查概率知识的运用，考查独立性检验知识，列举法确定基本事件是关键18（14分）如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，底面abcd是菱形，点o是对角线ac与bd的交点，m是pd的中点，ab=2，bad=60（1）求证：om平面pab；（2）求证：平面pbd平面pac；（3）当四棱锥pabcd的体积等于时，求pb的长考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明bd平面pac，即可证明平面pbd平面pac；（3）利用四棱锥pabcd的体积等于时，求出四棱锥pabcd的高为pa，利用paab，即可求pb的长解答：（1）证明：在pbd中，o、m分别是bd、pd的中点，om是pbd的中位线，ompb，（1分）om平面pab，pb平面pab，（3分）om平面pab（4分）（2）证明：底面abcd是菱形，bdac，（5分）pa平面abcd，bd平面abcd，bdpa（6分）ac平面pac，pa平面pac，acpa=a，bd平面pac，（8分）bd平面pbd，平面pbd平面pac（10分）（3）解：底面abcd是菱形，ab=2，bad=60，菱形abcd的面积为，（11分）四棱锥pabcd的高为pa，得（12分）pa平面abcd，ab平面abcd，paab（13分）在rtpab中，（14分）点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力19（14分）已知数列an的前n项和为sn，满足sn+2n=2an（1）证明：数列an+2是等比数列并求数列an的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），设tn是数列的前n项和求证：考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和 专题：证明题分析：（1）由sn+2n=2an，知sn=2an2n当n=1 时，s1=2a12，则a1=2，当n2时，sn1=2an12（n1），故an=2an1+2，由此能够证明数列an+2是等比数列并能求出数列an的通项公式an（ 2）由bn=log2（an+2）=n+1，得，故，由此利用错位相减法能够求出tn，并证明解答：证明：（1）由sn+2n=2an得 sn=2an2n当nn*时，sn=2an2n，当n=1 时，s1=2a12，则a1=2，则当n2，nn*时，sn1=2an12（n1），得an=2an2an12，即an=2an1+2，an+2=2（an1+2），an+2是以a1+2为首项，以2为公比的等比数列an+2=42n1，an=2n+12（2）证明：由bn=log2（an+2）=n+1，得，则， ，得=，所以 点评：本题考查等比数列的证明和求数列an的通项公式an，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用20（14分）已知函数f（x）=lnx+ax23x，且在x=1时函数f（x）取得极值（）求a的值及f（x）的极值；（）若g（x）=x22x1（x0），证明：当x1时，g（x）的图象恒在f（x）的上方考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值 专题：综合题；导数的综合应用分析：（i）先求函数的定义域，然后根据在x=1时函数f（x）取得极值求出a的值，最后根据f（x）0可求出函数的减区间，f（x）0可求出函数的增区间；（ii）设f（x）=f（x）g（x），利用导数研究函数f（x）的最大值，从而可判定f（x）的符号，即可证得g（x）的图象恒在f（x）图象的上方解答：解：（i）由题可知，函数的定义域为x|x0，f（x）=+2ax3=，x=1处函数f（x）取得极值f（1）=0，即2a3+1=0，解得a=1即f（x）=当x（0，）时，f（x）0，当x（，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0函数f（x）的单调增区间为（0，），（1，+），函数f（x）的单调减区间为（，1）（ii）证明：设f（x）=f（x）g（x）=lnxx+1，f（x）=当x（0，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0f（x）f（1）=0即f（x）g（x）恒成立，从而g（x）的图象恒在f（x）图象的上方点评：本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题以及不等式的证明，同时考查了计算能力，属于中档题21（14分）已知函数f（x）=x2x+2alnx（1）求f（x）的单调区间；（2）0a时，判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；（3）f（x）有两个极值点x1，x2且x1x2，证明：f（x2）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（1）函数f（x）=x2x+2alnx的定义域为（0，+），且f（x）=x1+=，当=18a0，即a时