（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第17课 曲线的切线 文.doc

第17课 曲线的切线(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2p26习题5改编)曲线y=x-cos x在x=处的切线方程为.【答案】x-y-=0【解析】设f(x)=x-cos x，则f=+sin =1，故切线方程为y-=x-，化简可得x-y-=0.2.(选修2-2p22例3改编)已知曲线f(x)=xsin x+1在点处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，那么实数a=.【答案】-1【解析】f(x)=sin x+xcos x，当x=时， f(x)=1，所以a=-1.3.(选修2-2p20练习7改编)若直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b=.【答案】ln 2-1【解析】设切点为(x0，ln x0)，则切线斜率k=，所以x0=2.又因为切点(2，ln 2)在切线y=x+b上，所以b=ln 2-1.4.(选修2-2p16习题3改编)设函数f(x)=g(x)+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为.【答案】4【解析】因为曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y=2x+1，所以g(1)=2.又f(x)=g(x)+2x，所以f(1)=g(1)+2=4，故切线的斜率为4.1.导数的几何意义导数f(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点p(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k=f(x0)，相应地，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).2.解与曲线的切线有关的问题的一般步骤：第一步：设出切点坐标(x0，y0)；第二步：计算切线的斜率为k=f(x0)；第三步：写出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0)；第四步：将问题转化为函数与方程问题求解.【要点导学】要点导学各个击破过曲线上点的切线方程例1已知曲线s：y=-x3+x2+4x及点p(0，0)，求过点p的曲线s的切线方程.【思维引导】本题考查导数的几何意义和导数的运算，这类题比较常见.本题要注意点与曲线的位置关系.【解答】设过点p的切线与曲线s切于点q(x0，y0)，则过点q的曲线s的切线斜率为k=y=-2+2x0+4，又当x00时，kpq=，所以-2+2x0+4=.因为点q在曲线s上，所以y0=-+4x0.将代入得-2+2x0+4=，化简，得-=0，所以x0=.则k=，过点p的切线方程为y=x.当x0=0时，则k=4，过点p的切线方程为y=4x.所以过点p的曲线s的切线方程为y=4x或y=x.【精要点评】曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点p凑巧在曲线s上，求过点p的切线方程，却并非说切点就是点p.变式已知曲线f(x)=x3+.(1)求曲线在点p(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点p(2，4)的切线方程.【思维引导】曲线y=f(x)“过点p”与“在点p处”的切线是不相同的，在点p处的切线是以p为切点；过点p的切线，点p不一定是切点，需要设出切点的坐标.【解答】(1)因为f(x)=x2，所以在点p(2，4)处的切线的斜率k=f(2)=4，所以曲线在点p(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.(2)设曲线f(x)=x3+与过点p(2，4)的切线相切于点a，则切线的斜率k=f(x0)=，所以切线方程为y-=(x-x0)，即y=x-+.因为点p(2，4)在切线上，所以4=2-+，即-3+4=0，所以(x0+1)(x0-2)2=0，解得x0=2或-1，故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【精要点评】解决此类问题，一定要分清楚是“在某点”还是“过某点”处的切线.在某点处的切线比较好求，过某点处的切线，一般要设出切线坐标，然后通过解方程的方法解出该切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.过某点的曲线的切线方程例2已知函数f(x)=xln x，过点a作函数y=f(x)图象的切线，则切线的方程为.【思维引导】点a不在曲线y=f(x)上，故先设切点，利用切线过点a，建立方程确定切点坐标，最后利用点斜式求出直线方程.【答案】x+y+=0【解析】设切点为t(x0，y0)，则kat=f(x0)，所以=ln x0+1，即e2x0+ln x0+1=0.设h(x)=e2x+ln x+1，则h(x)=e2+，当x0时，h(x)0，所以h(x)在(0，+)上是单调增函数，所以h(x)=0最多只有一个根.又h=e2+ln +1=0，所以x0=.由f(x0)=-1得切线方程是x+y+=0.【精要点评】对于曲线的切线问题，一定要注意题目所给的条件；当已知切点位置时，可以直接求导数，然后将切点的横坐标代入，即可以得到切线的斜率；当已知切线经过某一个点时，应该设出切点，求解出切线方程，再利用切线经过切点求解.变式已知曲线c：f(x)=x3-ax+a，若过曲线c外一点a(1，0)引曲线c的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数a的值为.【答案】 【解析】设切点坐标为(t，t3-at+a).由题意知，f(x)=3x2-a，切线的斜率为k=y|x=t=3t2-a，所以切线方程为y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t)，将点(1，0)代入式，得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t)，解得t=0或t=.分别将t=0和t=代入式，得k=-a和k=-a，由题意得它们互为相反数，故a=.导数几何意义的应用例3在抛物线f(x)=x2上求一点p，使点p到直线 x-y-1=0的距离最短，并求出这个最短距离.【思维引导】设p(x0，y0)，利用数形结合知与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线对应的切点即为所求.【解答】由题知当点p在与直线x-y-1=0平行的抛物线的切线上时，点p到直线的距离最短.因为f(x)=x，设点p(x0，y0)，则f(x0)=x0=1，所以切点为.因为切点离直线最短，所以最短距离d=.【精要点评】本题利用抛物线解题有两种方法，一是设与直线x-y-1=0平行且与抛物线相切的方程为x-y+m=0，将y=x2与x-y+m=0联立方程组，且把方程组转化为关于x的一元二次方程，利用此方程中=0求出m的值.二是设p(x0，y0)，由点到直线的距离得d=求解，但利用二次函数的性质求解较麻烦，所以利用导数求切点比较直观简单.【高频考点题组强化】1.(2016苏州期中)已知函数f(x)=ax+(a，br，b0)的图象在点p(1，f(1)处的切线与直线x+2y-1=0垂直，且函数f(x)在区间上单调递增，那么b的最大值为.【答案】【解析】函数f(x)的定义域为x|x0，f(x)=a-，由题意知f(1)=-1，所以a-b=2，所以a=b+2.又f(x)=a-0在上恒成立，所以a4b，所以b+24b，解得b，即b的最大值为.2.(2015全国卷改编)已知函数f(x)=x3+ax+，问：当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线?【解答】设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0，0)，则f(x0)=0，f(x0)=0，即解得x0=，a=-.所以当a=-时，x轴为曲线y=f(x)的切线.3.(2015汇龙中学)已知函数f(x)=，且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若p(x0，y0)为函数f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于点p，求直线l的斜率k的取值范围.【解答】(1)对函数f(x)求导，得 f(x)=.因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切，所以即所以a=4，b=1，所以f(x)=.(2)由(1)知f(x)=，所以直线l的斜率k=f(x0)=4，令t=，t(0，1，则k=4(2t2-t)=8-，所以k.4.设函数f(x)=ax-，曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3，当x=2时，y=，又f(x)=a+，于是解得所以f(x)=x-.(2)设点p(x0，y0)为曲线上任意一点，由f(x)=1+知，曲线在点p(x0，y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0)，即y-=(x-x0).令x=0，得y=-，从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0，2x0).所以点p(x0，y0)处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形的面积s=|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.5.设函数f(x)=ax+(a，bz)，曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y=3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)求证：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.【解答】(1)f(x)=a-，由题知解得或因为a，bz，所以f(x)=x+.(2)已知函数y1=x，y2=都是奇函数，所以函数g(x)=x+也是奇函数，其图象是以原点为对称中心的中心对称图形.而f(x)=x-1+1，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为对称中心的中心对称图形.(3)在曲线上任取一点，由f(x0)=1-知，过此点的切线方程为y-=(x-x0).令x=1，得y=，切线与直线x=1的交点为.令y=x，得y=2x0-1，切线与直线y=x的交点为(2x0-1，2x0-1)；直线x=1与直线y=x的交点为(1，1)，从而所围成的三角形的面积s=|2x0-1-1|=|2x0-2|=2，所以所围成的三角形的面积为定值2.1.(2015南通二调)在平面直角坐标系xoy中，若曲线y=ln x 在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0互相垂直，则实数a的值为.【答案】-e【解析】因为y=ln x，所以y=，则曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为y|x=e=.又因为曲线y=ln x在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直，所以a=-1，解得a=-e.2.(2014江苏卷)在平面直角坐标系xoy中，若曲线y=ax2+(a，b为常数)过点p(2，-5)，且该曲线在点p处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值为.【答案】-3【解析】y=2ax-，由题意得解得故a+b=-3.3.若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是.【答案】(-，0)【解析】f(x)=3ax2+，因为存在垂直于y轴的切线，则f(x)=0在(0，+)上有解，即3ax2+=0有正解，则3a=-.因为-0，所以3a0，即a0)和点p(1，0)，过点p作曲线y=f(x)的两条切线pm，pn，切点分别为m(x1，y1)，n(x2，y2).(1)求证：x1，x2为关于x的方程x2+2tx-t=0的两根；(2)设mn=g(t)，求函数g(t)的表达式.11.已知曲线y=(x0).(1)求曲线在x=2处的切线方程；(2)求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.设曲线y=(ax-1)ex在点a(x0，y1)处的切线为l1，曲线y=(1-x)e-x在点b(x0，y2)处的切线为l2.若存在x0，使得l1l2，求实数a的取值范围.【检测与评估答案】第17课曲线的切线1.1【解析】因为f(x)=2ax+3，由题意知2a2+3=7，解得a=1.2.5x+y+2=0【解析】因为y=-5ex，所以所求切线的斜率k=-5e0=-5，所以切线方程是y-(-2)=-5(x-0)，即5x+y+2=0.3.【解析】由题意得f(x)=6ax2，所以6ax2|x=1=2，所以a=.4.y=-3x【解析】因为f(x)=3x2+2ax+(a-3)，又f(x)为偶函数，所以a=0，所以f(x)=x3-3x，f(x)=3x2-3，所以f(0)=-3，所以f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.5.y=-x+1+【解析】因为f(x)=-f(0)sin x+cos x，则f(0)=-f(0)sin 0+cos 0，所以f(0)=1，所以f(x)=cos x+sin x，所以f=-1，f=1，所以切线方程为y=-x+1+.6. 64【解析】由题知x0，y=-，所以k=-，切线方程为y-=-(x-a).令x=0，得y=；令y=0，得x=3a.所以三角形的面积s=3a=18，解得a=64.7.【解析】由题意得tan =y=，当且仅当x=时，取等号，所以.8.y=0或y=4x-4【解析】设两个切点的坐标依次为(x1，)，(x2，-(x2-2)2)，由题意得解得或从而可求直线方程为y=0或y=4x-4.9. 由题意知f(x)=3x2+2ax-9=3-9-，即当x=-时，函数f