人教A版必修2 第二章 2.1.1平面 学案.docx

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面学习目标1.了解平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个公理.3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案 没有平行四边形梳理(1)平面的概念平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义几何中的平面的特征：(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来(3)平面的表示方法用希腊字母表示，如平面，平面，平面.用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面abcd.用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面ac，平面bd.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线、平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言a在l上ala在l外ala在内aa在外al在内ll在外ll，m相交于almal，相交于ala，相交于ll知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面有且仅有一个公共点p.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在思考2观察图中的三脚架，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面梳理关于平面基本性质的三个公理公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内al，bl，且a，bl确定直线在平面内的依据判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面a，b，c三点不共线存在唯一的平面使a，b，c确定平面的依据判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线p且pl，且pl判定两平面相交的依据判定点在直线上18个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚()2空间不同三点确定一个平面()3一条直线和一个点确定一个平面()类型一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点a，b.(2)点a，b在平面内，直线a与平面交于点c，点c不在直线ab上考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化解(1)用符号表示：l，aa，ab，如图(2)用符号表示：a，b，ac，cab，如图反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练1(1)用符号表示“点a在直线l上，l在平面外”，正确的是()aal，lbal，lcal，ldal，l(2)如图所示，用符号语言可表述为()am，n，mnabm，n，mnacm，n，am，andm，n，am，an考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案(1)b(2)a类型二共面问题例2如图，已知a，b，aba，pb，pqa，求证：pq.考点平面的基本性质题点线共面问题证明因为pqa，所以pq与a确定一个平面，所以直线a，点p.因为pb，b，所以p.又因为a，pa，所以与重合，所以pq.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内证明已知：abc，laa，lbb，lcc.求证：a，b，c和l共面证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laa，lbb，a，b.又al，bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blb，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面反思与感悟(1)公理2的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面(2)点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2及其推论解决该类问题通常有三种方法纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内辅助平面法(平面重合法)：先由有关的点、线确定平面，再由其余元素确定平面，最后证明平面，重合反证法通常情况下采用第一种方法跟踪训练2如图所示，l1l2a，l2l3b，l1l3c.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内考点平面的基本性质题点线共面问题证明方法一(纳入平面法)l1l2a，l1和l2确定一个平面.l2l3b，bl2.又l2，b.同理可证c.bl3，cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二(辅助平面法)l1l2a，l1和l2确定一个平面.l2l3b，l2，l3确定一个平面.al2，l2，a.al2，l2，a.同理可证b，b，c，c.不共线的三个点a，b，c既在平面内，又在平面内，平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内类型三证明共点、共线问题例3如图所示，已知e，f，g，h分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，bc，cc1，c1d1的中点求证：fe，hg，dc三线共点考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图所示，连接c1b，gf，he，由题意知hc1eb，且hc1eb，四边形hc1be是平行四边形，hec1b.又c1ggc，cfbf，gfc1b，且gfc1b.gfhe，且gfhe，hg与ef相交设交点为k，khg，hg平面d1c1cd，k平面d1c1cd.kef，ef平面abcd，k平面abcd，k(平面d1c1cd平面abcddc)，ef，hg，dc三线共点反思与感悟证明三线共点问题的基本方法先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点跟踪训练3如图所示，a，b，c，d为不共面的四点，e，f，g，h分别在线段ab，bc，cd，da上(1)如果ehfgp，那么点p在直线_上；(2)如果efghq，那么点q在直线_上考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案(1)bd(2)ac解析(1)若ehfgp，则点p平面abd，p平面bcd，而平面abd平面bcdbd，pbd.(2)若efghq，则q平面abc，q平面acd，而平面abc平面acdac，qac.例4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，设线段a1c与平面abc1d1交于点q，求证：b，q，d1三点共线考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题证明如图，连接a1b，cd1，显然b平面a1bcd1，d1平面a1bcd1，bd1平面a1bcd1.同理，bd1平面abc1d1，平面abc1d1平面a1bcd1bd1.a1c平面abc1d1q，q平面abc1d1.又a1c平面a1bcd1，q平面a1bcd1.q在平面a1bcd1与平面abc1d1的交线上，即qbd1，b，q，d1三点共线反思与感悟点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3，解决此类问题常用的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上跟踪训练4如图所示，平面l，a，b，c，且cl，直线ablm，过a，b，c三点的平面记作，则与的交线必通过()a点a b点bc点c但不过点m d点c和点m考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案d解析ab，mab，m.又l，ml，m.根据公理3可知，m在与的交线上同理可知，点c也在与的交线上.1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()a1 b2 c3 d4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案b解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选b.2若一直线a在平面内，则正确的作图是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案a解析b中直线a不应超出平面；c中直线a不在平面内；d中直线a与平面相交3如果点a在直线a上，而直线a在平面内，点b在平面内，则可以表示为()aaa，a，b baa，a，bcaa，a，b daa，a，b考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案b解析点a在直线a上，而直线a在平面内，点b在平面内，表示为aa，a，b.4下面四个条件中，能确定一个平面的条件是()a空间中任意三点 b空间中两条直线c一条直线和一个点 d两条平行直线考点平面的基本性质题点确定平面问题答案d5设平面与平面交于直线l，a，b，且直线ablc，则直线ab_.考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案c1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想一、选择题1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是()考点平面的概念、画法及表示题点自然语言、符号语言与图形语言的互化答案d解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示2下列说法中正确的是()a三点确定一个平面b四边形一定是平面图形c梯形一定是平面图形d两个不同平面和有不在同一条直线上的三个公共点考点平面的基本性质题点确定平面问题答案c解析不共线的三点确定一个平面，故a不正确；四边形有时指空间四边形，故b不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故c正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故d不正确故选c.3如果空间四点a，b，c，d不共面，那么下列判断中正确的是()aa，b，c，d四点中必有三点共线ba，b，c，d四点中不存在三点共线c直线ab与cd相交d直线ab与cd平行考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案b解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面4如果直线a平面，直线b平面，ma，nb，ml，nl，则()al blclm dln考点平面的基本性质题点线共面问题答案a解析ma，a，m，同理，n，又ml，nl，故l.5三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为()a1 b2 c3 d无数考点平面的基本性质题点确定平面问题答案c解析在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：pa，pb，pc相交于一点p，则pa，pb，pc不共面，则pa，pb确定一个平面pab，pb，pc确定一个平面pbc，pa，pc确定一个平面pac.故选c.6设p表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()pa，pa；abp，ba；ab，a，pb，pb；b，p，ppb.a bc d考点平面的基本性质题点确定平面问题答案d7一条直线和直线外的三点所确定的平面有()a1个或3个b1个或4个c1个，3个或4个d1个，2个或4个答案c解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面8空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定平面的个数最多可以是()a4 b5 c6 d7考点平面的基本性质题点确定平面问题答案d解析可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面二、填空题9若直线l上有两个点在平面内，则下列说法中正确的序号为_直线l上至少有一个点在平面外；直线l上有无穷多个点在平面外；直线l上所有点都在平面内；直线l上至多有两个点在平面内考点平面的基本性质题点线共面问题答案10三条平行直线最多能确定的平面的个数为_考点平面的基本性质题点确定平面问题答案3解析当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面综上最多可确定3个平面11已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是_考点平面的基本性质题点确定平面问题答案1或4解析其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面12若直线l与平面相交于点o，a，bl，c，d，且acbd，则o，c，d三点的位置关系是_考点平面的基本性质题点点共线、线共点、点在线上问题答案三点共线解析acbd，ac与bd确定一个平面，记作平面，则直线cd.lo，o.又oab，o直线cd，o，c，d三点共线三、解答题13.如图，在空间四边形abcd中，e，f分别是ab，ad的中点，g，h分别在bc，cd上，且bggcdhhc12.(1)求证：e