人教A版必修2 2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系 学案.DOC

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标：1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线.2.理解平行公理(公理4)和等角定理(重点)3.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角(难点、易错点) 自 主 预 习探 新 知1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线 (2)异面直线的画法图2115思考：分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？提示不一定分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点3公理4文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言直线a，b，c，ab，bcac作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性4等角定理文字语言空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言符号语言oaoa，obobaobaob或aobaob180作用证明两个角相等或互补5异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点o作直线aa，bb，则异面直线a与b所成的角就是直线a与b所成的锐角(或直角)(2)范围：090.特别地，当90时，a与b互相垂直，记作ab.基础自测1思考辨析(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线()提示(1)也可能异面(2)(3)平面内的直线需不过该点，才可以是异面直线 (4)也可能是相交直线2一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()a平行或异面b相交或异面c异面d相交b一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条相交或异面3已知abpq，bcqr，若abc30，则pqr等于()a30b30或150c150d以上结论都不对b由等角定理可知pqr30或pqr150，选b.4如图2116，正方体abcdabcd中异面直线ab与bc所成的角为_异面直线ad与bc所成的角为_ 图21169045bcbc，abc即异面直线ab与bc所成的角，abc90，又bcad，dad是异面直线ad与bc所成的角，dad45.合 作 探 究攻 重 难空间两条直线的位置关系的判定如图2117为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面的对数为 ()图2117a1b2c3d4 (2)如图2118所示，g，h，m，n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形有_(填序号). 【导学号：07742099】图2118(1)c(2)(1)把平面展开图折合成正方体，观察相对位置的变化，可知ab与cd、ef与gh、ab与gh是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故异面直线有且仅有3对(2)如图中，直线ghmn；图中，g，h，n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg(图略)，gmhn，因此，gh与mn共面；图中，g，m，n三点共面，但h平面gmn，所以gh与mn异面所以图，中gh与mn异面规律方法 1判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系特别关注异面直线(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 2判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线用符号语言可表示为a，b，bl，l，则ab与l是异面直线(如图2119)图2119提醒：要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测跟踪训练1(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()aacba、c是异面直线ca、c相交da、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足ab，a、c异面，则b与c()a一定是异面直线b一定是相交直线c不可能是平行直线d不可能是相交直线 (1)d(2)c(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面(2)若ab，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知ac.公理4及等角定理的应用如图2120，在正方体abcda1b1c1d1中，m，m1分别是棱ad和a1d1的中点图2120(1)求证：四边形bb1m1m为平行四边形；(2)求证：bmcb1m1c1. 【导学号：07742100】 思路探究：(1)欲证四边形bb1m1m是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明解(1)abcda1b1c1d1为正方体ada1d1，且ada1d1，又m、m1分别为棱ad、a1d1的中点，ama1m1且ama1m1，四边形amm1a1为平行四边形，m1maa1且m1maa1.又aa1bb1且aa1bb1，mm1bb1且mm1bb1，四边形bb1m1m为平行四边形(2)法一：由(1)知四边形bb1m1m为平行四边形，b1m1bm.同理可得四边形cc1m1m为平行四边形，c1m1cm.由平面几何知识可知，bmc和b1m1c1都是锐角bmcb1m1c1.法二：由(1)知四边形bb1m1m为平行四边形，b1m1bm.同理可得四边形cc1m1m为平行四边形，c1m1cm.又b1c1bc，bcmb1c1m1，bmcb1m1c1.规律方法1证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点(3)公理4用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得ab，同时bc，由公理4即可得到ac.2证明两个角相等的方法(1)利用等角定理(2)利用三角形全等或相似跟踪训练2在正方体abcda1b1c1d1中，e，f，g分别为棱cc1，bb1，dd1的中点，试证明：bgcfd1e.证明因为f为bb1的中点，所以bfbb1，因为g为dd1的中点，所以d1gdd1.又bb1綊dd1，所以bf綊d1g.所以四边形d1gbf为平行四边形所以d1fgb，同理d1egc.所以bgc与fd1e的对应边平行且方向相同，所以bgcfd1e.异面直线所成的角探究问题1.已知直线a，b是两条异面直线，如图2121，如何作出这两条异面直线所成的角？图2121 提示如图，在空间中任取一点o，作直线aa，bb，则两条相交直线a，b所成的锐角(或直角)，即两条异面直线a，b所成的角 2异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点o的位置有关吗？通常点o取在什么位置？提示异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点o的位置选择无关，一般情况下为了简便，点o常选取在两条异面直线中的一条上如图2122所示，在正方体abcdefgh中，o为侧面adhe的中心，求： 图2122(1)be与cg所成的角；(2)fo与bd所成的角. 【导学号：07742101】解(1)如图，因为cgbf，所以ebf(或其补角)为异面直线be与cg所成的角，又在bef中，ebf45，所以be与cg所成的角为45.(2)连接fh，因为hdea，eafb，所以hdfb，又hdfb，所以四边形hfbd为平行四边形所以hfbd，所以hfo(或其补角)为异面直线fo与bd所成的角连接ha，af，易得fhhaaf，所以afh为等边三角形，又知o为ah的中点所以hfo30，即fo与bd所成的角为30.母题探究：1.在本例中，若p是平面efgh的中心，其他条件不变，求op和cd所成的角解连接eg，hf，则p为hf的中点，连接af，ah，opaf，又cdab，所以baf(或其补角)为异面直线op与cd所成的角，由于abf是等腰直角三角形，所以baf45，故op与cd所成的角为45.2在本例正方体中，若m、n分别是bf、cg的中点，且ag和bn所成的角约为39.2，求am和bn所成的角解连接mg.因为bcgf是正方形，所以bf綊cg，因为m，n分别是bf，cg的中点，所以bm綊ng，所以bngm是平行四边形，所以bnmg，所以agm(或其补角)是ag和bn所成的角，amg(或其补角)是am和bn所成的角，因为ammg，所以agmmag39.2，所以amg101.6，所以am和bn所成的角为78.4.规律方法求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线(2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设由(2)所求得的角的大小为.若090，则为所求；若90180，则180为所求提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角的范围是090.当 堂 达 标固 双 基1在正方体abcda1b1c1d1中，棱所在直线与直线ba1是异面直线的条数为()a4b5c6d7c在右边的正方体abcda1b1c1d1中，直线cd，c1d1，c1c，d1d，b1c1，ad，共有6条直线与直线ba1是异面直线，故选c.2下列命题中，正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行. 【导学号：07742102】a1个b2个c3个d4个b由公理4及等角定理知，只有正确选b.3设p是直线l外一定点，过点p且与l成30角的异面直线()a有无数条b有两条c至多有两条d有一条a如图，过点p作直线ll，以l为轴，与l成30角的圆锥面的所有母线都与l成30角因此，这样的异面直线有无数条4在正方体abcda1b1c1d1中，e为c1d1的中点，则异面直线ae与a1b1所成角的余弦值为_连接ad1(图略)，a1b1c1d1，aed1是异面直线ae与a