高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 4.2 复数的四则运算 赏析复数中的数学思想素材 北师大版选修1-2.doc

赏析复数中的数学思想数学思想方法是数学科的灵魂，它反映在数学教学内容里面，体现在解决问题的过程之中，它是将知识转化为能力的桥梁。只有运用数学思想方法，才能把数学知识和技能转化为分析问题和解决问题的能力.复数在过去几年里一直是代数的重要内容之一，涉及的知识面广，对能力要求较高，是高考热点之一而随着新教材对复数知识的淡化，高考试题比例下降，但由于复数问题的自身特点，它又是运用数学思想方法较多的题型本文通过实例介绍几种常用的数学思想方法在复数中的应用1.整体思想整体处理，就是在处理问题时，利用问题中的整体与部分的关系，通过整体代入、整体运算、整体消元、整本合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美.例1.设复数z和它的共轭复数满足，求复数的值分析：充分利用共轭复数性质，复数的模的意义，复数相等的充要条件即可解出.在求解过程中，整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法.解：设，将化为由，整体代入，得，根据复数相等的充要条件，解得解得故2.化归思想将复数问题化归为实数，或将其转化为平面直角坐标系下的轨迹问题，就可降低解题难度，简化解题过程反过来，有时将实数、几何问题、三角题化归为复数问题，也可使问题迎刃而解例2.已知复数z满足|z-3-5i|=1, 复数u满足|u-1|+|u-5|=4，求|z-u|的最值.解: 椭圆|u-1|+|u-5|=4的中心坐标是(3,0).a=2,c=2,b=4.故椭圆的直角坐标方程为对此进行参数化,令 (为参数)点(,)到圆心(3,5)的距离为:= =.当sin1及sin1时分别得出d的最大值与最小值：dmax9，dmin1所以|zu|的最大值为9110，最小值为110 3. 分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法，在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法例3. 设a0,在复数集c中，解方程：z2|z|a . 分析:由已知z2|z|a和|z|r可以得到zr，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。解: |z|r，由z2|z|a得：zr； z为实数或纯虚数当zr时，|z|2|z|a,解得：|z|1 z(1)；当z为纯虚数时，设zy (y0)， y2ya 解得：y1 （0a1）由上可得，z(1)或(1)点评:本题用标准解法（设zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题。4. 利用复数的几何意义例4.向量表示的复数为32i，将向量向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量为，分别写出：向量对应的复数，点o对应的复数，向量对应的复数分析: 根据复数向量表示的意义及平移知识，一个复数对应的向量在平面内平移，只要不改变方向和模的长，它们表示同一个复数，而模长不变，方向与原来相反，则对应的复数是原向量对应的复数的相反数要善于用复数的几何意义去解题，应在深刻理解复数运算式|z-z1|,|z-z2|等的几何意义的基础上，学会运用它解: 如图所示，o为原点，点a的坐标为（3,2），向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点o的坐标为（-2,3)点a的坐标为(1,5)，坐标平移不改变的方向和模 5 . 数形结合思想由于复数的多种表示形式都有确定的几何意义，对于复数问题，如能剖析问题中的几何背景，将抽象的数学语言和直观的图形结合起来，就能借助几何图形，活跃解题思路，使解题过程简化 例5. 求a的取值范围分析:利用数形结合法解题解: 集合a, b在复平面内对应的点集是两个圆面， 点评:利用复数的几何意义，结合几何图形的性质和曲线的性质能解决复数与几何方面的问题综上所述，在