2011年GCT真题A卷数学基础能力测试及答案详解.pdf

新阳光教育 第二部分第二部分第二部分第二部分数学基础能力测试数学基础能力测试数学基础能力测试数学基础能力测试 25 题 每题 4 分 共 100 分 1 若20 a b 10 b c 则 ab bc 的值为 A 11 21 B 21 11 C 110 21 D 210 11 1 答案 D 解析 特值法 依题意 可取1c 10b 200a 则 200 10210 10 111 ab bc 选 D 2 设 234567 3 333333S 则S被 4 除的余数是 A 0B 1C 2D 3 2 答案 B 解析 法一 2 3 4 3 6 3被 3 除余数均为 1 则 234567246 333333332 32 32 3S 被 4 除余数也为 1 选 B 法二 234567 3 333333S 7 3 1 3 3 12187 1641 1 3 4 则41641 44101S 选 B 3 如图所示 MNP 是正ABC 的内切圆中的一个内接正三角形 已知阴影部分的面积为 1500 平方厘米 则正ABC 的面积等于 平方厘米 A 1900 B 2000 C 2100 D 2200 3 答案 B 解析 如图 做ABC 的高 1 h MNP 的高 2 h 记内切圆的半径为R 依题意 由正 重 心的性质可知 1 3 1 h R 2 2 3 R h 新阳光教育 则 1 2 2 1 h h 22 1 2 24 11 ABC MNP Sh Sh 44 4 13 ABCABC ABCMNP SS SSS 阴影 又 1500S 阴影 4 15002000 3 ABC S 选 B 4 已知数列 1 a 2 a 3 a n a 的通项是 1 21 1 4 n n n a 则该数列前 101 项的和等于 A 2501B 2551C 2601D 2651 4 答案 C 解析 11 21 1 11 1 4424 nn n n an 记数列 n b的通项为 11 42 n bn 前n项和为 n T 易知 n b为等差数列且 1 3 4 b 1 2 d 则 3 1 1 422 n n n Tn 记数列 n c的通项为 1 1 4 n n c 则 n c为单摆数列 1 4 1 4 1 4 1 4 记该 数列前n项和为 n P 则 1 4 0 n n P n 为奇数 为偶数 记数列 n a前n项和为 n S 依题意有 101101101 3101 101 1 11 101 4224 STP 3 101101 10011 4224 3031 25252601 44 选 C 5 三个边长为 1 的正方形拼成如图所示的图形 图中有两条线段相交的锐角为 tan 新阳光教育 A 3 2 B 2 2 C 1 2 D 1 5 答案 D 解析 依题意如图 可知角 为 1 2 所在三角形的外角 则有 tantan 12 tan1tan2 1tan1 tan2 11 23 1 11 1 23 选 D 6 若 53 2 x 则代数式 1 2 3 x xxx 的值为 A 1 B 0C 1D 2 6 答案 A 解析 53535353 1 2 3 1 2 3 2222 x xxx 53515153 2222 4 53 53 51 51 2 4 4 1 16 选 A 7 设 A B 两车分别从甲 乙两地同时出发 沿同一公路相向匀速行驶 两车第一次相遇于 距甲地 20 公里处仍继续前行 当分别到达乙 甲两地后立即按原速原路返回 途中第二 次相遇距乙地 10 公里处 则甲 乙两地相距 公里 A 35B 40C 45D 50 7 答案 D 解析 记 A B 速度分别为 1 v 2 v 甲 乙两地相距S 两车同时出发 时间一定 则 对于第一次相遇 有 11 22 20 20 vS vSS 1 对于第一次相遇 有 11 22 10 10 vSS vSSS 2 新阳光教育 由 1 2 有 2010 2010 S SSS 解得0S 舍去 或50S 即甲 乙两地相距 50 公里选 D 8 设O为坐标轴的原点 a b c的大小关系如图所示 则 111111 abbcca 的值 是 A 0B 2 a C 2 b D 2 c 8 答案 B 解析 特值法 依题意如图 可取3a 1b 2c 则 111111111111 311223abbcca 4352 3263 此时 只有 B 选项 22 3a 复合题意选 B 9 若函数 f x是周期为6的奇函数 则sin 7 1 cos 6 1212 fff 的值等于 A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 3 2 9 答案 A 解析 依题意有 6 f xf x fxf x 0 0f 则sin 7 1 cos 6 1212 fff sin 1 1 cos 0 1212 fff sincos 1212 1 sin 26 111 224 选 A 新阳光教育 10 若复数 1 1 1 i z i 2 2 2 1 1 i z i 则 12 zz A 1B 3C 2D 2 10 答案 C 解析 1 111 111 iii zi iii 2 22 2 2 2 1 1 111 1 1 1 ii z iizi 则 12 1 2zzi 选 C 11 如图 面积为9平方厘米的正方形EFGH在面积为25平方厘米的正方形ABCD所在平 面上移动 始终保持EFAB 记线段CF的中点为M DH的中点为N 则线段MN 的长度是 厘米 A 25 4 B 73 4 C 73 2 D 75 2 11 答案 C 解析 特值法 依题意易知正方形EFGH边长为 3 厘米 正方形ABCD边长为 5 厘米 如图 取点A与点H重合的情况 过M做MPAD 于P 易知 4 2 FECD MP 3 222 EDAD PNPDND 22 MNMPNP 22 373 4 22 选 C 12 有长为 1cm 2cm 3cm 4cm 5cm 6cm 的六根细木条 任取其中 3 根为边能构成 新阳光教育 一个三角形的概率为 A 1 5 B 1 4 C 3 10 D 7 20 12 答案 D 解析 此题属古典概型 3 6 20nC 能构成三角形的只有 1 2cm 3cm 4cm 2 2cm 4cm 5cm 3 2cm 5cm 6cm 4 3cm 4cm 5cm 5 3cm 4cm 6cm 6 3cm 5cm 6cm 7 4cm 5cm 6cm 共 7 种情况 记A 任取其中 3 根为边能构成一个三角形 则 7 20 P A 选 D 13 某股民用 30000 元买进甲乙两种股票 在甲股票下跌 10 乙股票升值 8 时全部卖出 赚得 1500 元 则该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数的比例为 A 2 3B 3 2C 1 5D 5 1 13 答案 C 解析 依题意 设该股民原来购买的甲乙两种股票所用钱数分别为x元 y元 则有 30000 1 10 8 1500 2 xy xy 1 2 20 得20 10 8 0 xyxy 30 60 xy 1 5x y 选 C 14 参数方程 sincos 2 6 cossin 3 6 xtt ytt 在xOy平面上表示的曲线是 A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 14 答案 A 解析 由参数方程 sincos 2 6 cossin 3 6 xtt ytt 有 1 2sincos 6 3cossin 2 6 xtt ytt 22 1 2 得 2222 2 3 sincos cossin 66 xytttt 新阳光教育 2222 sin2sin cos cos cos2cossin sin 6666 tttttttt 22 sin cos cossin 66 tttt 22sin 6 1 223 2 即原参数方程可整理为 22 2 3 3xy 表示的曲线为圆心在 2 3 半径为3的圆选 A 15 一个盛满水的圆柱形容器 其底面半径为 1 母线长为 3 将该容器在水平的桌面上平稳 地倾斜使水缓慢流出 当容器中剩下的水为原来的 2 3 时 圆柱的母线与水平面所成的角等 于 A 30 B 45 C 60 D 75 15 答案 B 解析 容器中的水的体积为 22 133VR h 流出水的体积为 1 21 1 33 VVV 如图 1 V恰好是用一个平面平分了虚线椭圆以上的这个短圆柱 易知 该短圆柱的高 1 2h 该短圆柱底面直径22dR 设圆柱的母线与水平面所成的角为 则 1 2 tan1 2 d h 45o 选 B 16 当3x 时 下述选项中为无穷小量的是 A 2 3 9 x x B ln 3 x C 1 sin 3x D 1 3x e 16 答案 D 解析 当3x 时 对 A 2 311 936 x xx 不合题意排除 对 B ln 3 x 不合题意排除 新阳光教育 对 C 1 sin 3x 极限不存在 不合题意排除 对 D 1 3x 则 1 3 0 x e 为无穷小量 满足题意 综上 选 D 17 若 f x在 0 x处可导 且 0 f xa 0 fxb 而 f x在 0 x处不可导 则 A 0a 0b B 0a 0b C 0a 0b D 0a 0b 17 答案 B 解析 特值法 取 f xx 则 f x在 0 0 x 处可导 但 f x在 0 0 x 处不可导 此时 0 0f xa 0 0fxb 选 B 18 若方程ln0 xexk 在 0 1 上有解 则k的最小取值为 A 1 B 1 e C 1D e 18 答案 C 解析 记 lnf xxexk 则 10 e fx x 0 1 x 又 0 lim x f x 1 1fk 只要 1 10fk 即1k 方程就有解 k的最小取值为 1选 C 19 若函数 2 2 x t y xedt 则 2 2 1 x d y x dx A 0B 1C 1 4e D 4e 19 答案 A 解析 当0 x g x是 f x的反函数 2 1 Pg x dx 则 A 01P B 12P C 23P D 34P f x在 0 2 上为凸函数 依题意 如图 为 f x在 0 2 上的示意图 又 g x是 f x的反函数 则 2 1 Pg x dx 为图中阴影部分曲边三角形的面积 观察图像 显然01P 选 A 22 在 1 1232 3 102 241 035 x xxxx x 的展开式中 23 x x项的系数是 A 4 B 2 C 2D 3 22 答案 A 解析 1 1232 3 102 241 035 x xxxx x 新阳光教育 1 12231232 3 2 4325 x xxxxxxxx x 222 11222313233 24325xx xxx xx xx xx 222 123122313 45242xxxx xx xx x 23 x x的系数为4 选 A 23 对任意的n阶矩阵A B C 若ABCE E是单位矩阵 则下列 5 式中 i ACBE ii BCAE iii BACE iv CBAE v CABE 恒成立的有 个 A 1B 2C 3D 4 23 答案 B 解析 ABCEAB CEA BCE AB与C为逆矩阵 A与BC互为逆矩阵 即有CABE BCAE 选 B 24 若方程组 123 2 123 23 0 4 xxax xaxxa xx 有解 则其中a A 2 B 1 C 1D 2 24 答案 A 解析 依题意 记方程组系数矩阵为A 记方程组的增广矩阵为A 则有 22 2 110110110 110110114 011401140004 1 aaa Aa