新人教B版选修22 数学归纳法应用举例作业.docx

数学归纳法应用举例作业一、单选题1平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()a. n1 b. 2nc. d. n2n12某个命题与自然数n有关，若n=k（kn*）时命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（ ）a. 当n=6时，该命题不成立 b. 当n=6时，该命题成立c. 当n=4时，该命题不成立 d. 当n=4时，该命题成立3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3，(nn)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开( )a(k3)3 b(k2)3c(k1)3 d(k1)3(k2)34下列代数式(其中kn*)能被9整除的是()(a)6+67k (b)2+7k-1(c)2(2+7k+1) (d)3(2+7k)5已知n是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k2且为偶数)时命题为真,则还需证明()(a)n=k+1时命题成立(b)n=k+2时命题成立(c)n=2k+2时命题成立(d)n=2(k+2)时命题成立6已知函数f(x)是定义在r上不恒为零的函数,且对于任意实数a,br,满足:f(ab)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=f(2n)n(nn*),bn=f(2n)2n(nn*).考察下列结论:f(0)=f(1);f(x)为偶函数;数列an为等比数列;数列bn为等差数列.其中正确的结论共有()(a)1个 (b)2个 (c)3个 (d)4个7已知数列an满足:a1=1,an0,an+12-an2=1(nn*),那么使an0,an+12-an2=1(nn*)可得an2=n,即an=,要使an5,则n25,故选c.8f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2【解析】f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.95031【解析】由anan1an2an324，可知an1an2an3an424，得an4an，所以数列an是周期为4的数列，再令n1，求得a44，每四个一组可得(a1a2a3a4)(a2 009a2 010a2 011a2 012)a2 0131050315 031.104【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an,an=a1qn-1=()n,()n,得n4.【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最后通过建立的关系求出相关量.112n12【解析】an1an2n，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n.当n1时，a12也适合上式，an2n(nn*)sn2n12.12(1) f(x)=2x+1 (2) bn=32n-2 (3)见解析【解析】(1)2f(x)-f()=4x-+1,2f()-f(x)=-2x+1.联立方程组2+,得3f(x)=6x+3f(x)=2x+1.(2)由题设an+1=2an+2n+1,an+2=2an+1+2n+3 ,-得an+2-an+1=2(an+1-an)+2,即bn+1=2bn+2,bn+1+2=2(bn+2),bn+2为等比数列.q=2,b1=a2-a1=4,bn+2=62n-1,bn=32n-2.(3)由(2),知an+1-an=32n-2,而已知an+1-2an=2n+1,联立解得an=32n-2n-3,2an=62n-4n-6,2an-bn=32n-4(n+1).当n=1时,2a1-b1=-20,2a10,2a3b3;当n=4时,2a4-b4=280,2a4b4.猜想当n3时,2anbn即32n4(n+1).当n=3时,显然成立,假设当n=k(k3)时,命题正确,即32k4(k+1).当n=k+1时,即32k+1=2(32k)8(k+1)=8k+8=4k+8+4k4k+8=4(k+2).不等式也成立,故对一切n3且nn*,2anbn.综上所述,当n=1时,2anbn.13(1) xn=2n-(nn*) (2) sinsn=【解析】【思路点拨】(1)根据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出极小值点.(2)由(1)求出xn的前n项和为sn,再代入sinsn求解.解：(1)f(x)=+sinx,令f(x)=+cosx=0,得x=2k(kz),f(x)02k-x2k+(kz),f(x)02k+x2k+(kz),当x=2k-(kz)时,f(x)取极小值,xn=2n-(nn*).(2)由(1)得:xn=2n-,sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-=n(n+1)-.当n=3k(kn*)时,sinsn=sin(-2k)=0,当n=3k-1(kn*)时,sinsn=sin=,当n=3k-2(kn*)时,sinsn=sin=-.所以sinsn=视频14解：（1）容易求得：，；猜想， 证明：见解析.（2）见解析.【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用，以及运用哦递推关系式来求解数列的前几项，并且能运用数学归纳法加以证明，同时对于构造的新数列也能利用裂项法求和的综合运用。（1）利用递推关系，对于n赋值分别得到前几项，并猜想其通项公式，运用数学归纳法加以证明（2）根据上一问的结论，表示新数列的通项公式，然后利用裂项的思想求和并证明不等式问题。解：（1）容易求得：，-（2分）故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：显然当时，结论成立，-（