福建省福州市10月高中数学学科会议专题讲座 解析几何 新人教版.doc

福建省福州市2012年10月高中数学学科会议专题讲座 解析几何 1、考试内容与要求（考试大纲） （1）直线与方程在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （2）圆与方程 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 初步了解代数方法处理几何问题的思想。 （3）空间直角坐标系 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置。 会推导空间两点间的距离公式。（4）圆锥曲线与方程了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。了解双曲线的定义、几何图形好标准方程，知道它的简单性质。了解圆锥曲线的简单应用（课标与考试说明要求：掌握直线与圆锥曲线的关系；能解决圆锥曲线的简单应用问题）。（课标：进一步体会）理解数形结合的思想。（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系（课标：进一步感受数形结合的基本思想）。2、高考考点分析（1）解析几何问题的重点在于通过对定义、概念、公式、定理等基础知识的学习，逐步感受、体会、理解和掌握数形结合的基本思想；特点是利用代数的方法研究并解决几何问题；难点是数形结合、运算与转化。（2）解析几何是高中数学的主干知识，是高考的重点。从各地和福建近几年高考数学试卷来看，小题要求比较基本，通常作为压轴题的解答题的第一问起点低，后面的难度较大。直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是每年高考必考的知识点；常考的有基本概念、基础知识、基本运算与基本方法，直线与圆以及圆锥曲线的关系，与其他内容的知识交汇等。（3）考情分析、直线的倾斜角和斜率、直线的方程以及两直线的位置关系是高考的热点。高考题主要以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目。直线也常和圆锥曲线结合，以解答题的形式出现，属中高档题。、直线的交点坐标与距离公式重点体现转化与化归的数学思想，这种数学思想是高考的热点之一，在高考中主要以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目。、利用待定系数法求圆的方程和已知圆的方程确定圆心和半径是考查的重点。在高考中常以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。、直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题。在高考试题中多为选择题和填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。、椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题。、双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题目。、抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点。考题以选择、填空题为主，多为中低档题。、直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点，以直线与椭圆、抛物线相交、相切为背景命题，常以解答的形式出现，属中高档题。、曲线与方程一直是高考的热点，多为中低档题。、数形结合思想是解析几何的核心内容，始终贯穿在高考试题当中。3、典型例题分析高考福建卷2009-2012年考题、考点、知识点分析：文科理科2009第4题（双曲线）；第22题（直线与椭圆）第13题（抛物线）；19（直线与圆、椭圆）2010第11题（椭圆）；13（双曲线）；19（直线与抛物线）第2题（抛物线）；7（双曲线）；17（直线与椭圆）2011第11题（离心率：椭圆、双曲线）；18（直线、圆、抛物线）第7题（离心率：椭圆、双曲线）；17（直线圆抛物线）2012第5题（双曲线）；7（圆）；21（直线与抛物线）第8题（双曲线）；19（直线与椭圆）基本题型一：利用几何法、直接（译）法解题解析几何问题首先是几何问题，对于解析几何问题首先要从几何的角度出发寻求解题思路（几何法），其次做为数学问题要从定义、公式、定理等基本概念、基础知识出发寻求解题思路（直译法）。例1、（2012湖北文）过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（）abcd【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线垂直即可。又已知点,则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点,故由点斜式得,所求直线的方程为,即，故选a。例2、（2012四川卷） 椭圆1的左焦点为f，直线xm与椭圆相交于点a、b.当fab的周长最大时，fab的面积是_【解析】 如图，设椭圆右焦点为f，直线xm与x轴相交于c，由椭圆第一定义，|af|af|bf|bf|2a4，而|ab|ac|bc|af|bf|，当且仅当ab过f时，abf周长最大此时，由c1，得a，b，即|ab|3，sabf|ab|ff|3.例3、（2012湖南文）已知双曲线c :-=1的焦距为10 ,点p (2,1)在c 的渐近线上,则c的方程为 a-=1 b-=1 c-=1 d-=1【解析】设双曲线c :-=1的半焦距为,则又c 的渐近线为 ,点p (2,1)在c 的渐近线上,所以 又,c的方程为-=1例4、（2012湖北卷） 如图15所示，双曲线1(a，b0)的两顶点为a1，a2，虚轴两端点为b1，b2，两焦点为f1，f2.若以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2，切点分别为a，b，c，d.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值_.图15【解析】 (1)(2)解析 (1)由图可知，点o到直线f1b2的距离d与圆o的半径oa1相等，又直线f1b2的方程为1，即bxcybc0.所以da，整理得b2(c2a2)a2c2，即(c2a2)2a2c2，得c2a2ac.所以e2e10，解得e(负值舍去)(2)连结ob，设bc与x轴的交点为e，由勾股定理可求得|bf1|.由等面积法可求得|be|，所以|oe|.所以s22|oe|2|eb|.而s1|f1f2|b1b2|2bc, 所以e3.图15（2）解法二：连结ob，设bc与x轴的交点为e，在rtobf1中，cosf1ob=,sinf1ob=.在rtobf1中，be=ob sinf1ob=,oe=ob cosf1ob=s2=4oebe=,而s1=2bc, 基本题型二：利用解析几何的通性通法解题解析几何的特点是用代数的方法解决几何问题，做为数学问题其解题思路有特点也有常规的思路（通性通法）例5：（2012年大纲理）椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为（）abcd【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案c 例6、（2012福建理）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）abc3d5【解析】抛物线的焦点是,双曲线的半焦距,故双曲线的渐近线的方程为 双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，选a例7、（2012四川卷）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)，若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|()a2 b2 c4 d2【解析】由于抛物线关于x轴对称，且经过的点m的横坐标20，可知抛物线开口向右，设方程为y22px，准线为x，而m点到准线距离为3，可知1，即p2，故抛物线方程为y24x.当x2时，可得y02，|om|2.选b例8、（2012安徽卷理）如图15，点f1(c,0)，f2(c,0)分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，过点f1作x轴的垂线交椭圆c的上半部分于点p，过点f2作直线pf2的垂线交直线x于点q.(1)如果点q的坐标是(4,4)，求此时椭圆c的方程；(2)证明：直线pq与椭圆c只有一个交点图15 【解析】解：(1)(方法一)由条件知，p，故直线pf2的斜率为kpf2.因为pf2f2q，所以直线f2q的方程为yx，故q.由题设知，4,2a4，解得a2，c1.故椭圆方程为1.(方法二)设直线x与x轴交于点m，由条件知，p.因为pf1f2f2mq，所以. 即，解得2a.所以a2，c1，故椭圆方程为1.(方法三)点代入得: 又 由得: 既椭圆的方程为 （1）（方法四）由上述求得p（-c, ）,q（4,4），f2（c,0）,=(4-c,4)，由fpfq得=2c(c-4)+ =0；又由已知得b2=4c-c2，代入2c(c-4)+ =0得2ac(c-4)+4(4c-c2)=0，消去（4-c）得a=2，c=1.故椭圆方程为1. (2)证明：直线pq的方程为，即yxa.将上式代入椭圆方程得，x22cxc20.解得xc，y，所以直线pq与椭圆c只有一个交点（2）将椭圆变成双曲线：，命题也成立。证明如下：，易求得q（）。pq的直线方程为：即：，而双曲线中，整理得，pq的直线方程为：，代入双曲线得：，解得xc，y，所以直线pq与双曲线只有一个交点基本题型三：直线与圆锥曲线的位置关系此类试题一般是高考的中难题甚至是压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系。处理此类问题，主要是在“算”上下工夫，是典型的用代数的方法解决几何问题，涉及运算求解能力、推理论证能力、函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想等数学思想方法。有时借助二次方程根与系数的关系，用“设而不求”的方法解决问题。解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理。例9、（2012年高考上海）已知双曲线(1)求与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程;(2)直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时,求实数的值.【解析】(1)双曲线的焦点坐标为,设双曲线的标准方程为,则,所以双曲线的标准方程为. (2)双曲线的渐近线方程为,设 由,由 又因为,而 所以. 例10、（2012高考广东文20）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.【解析】（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，所以，所以椭圆的方程为.（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，消去并整理得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得 ，消去并整理得。因为直线与抛物线相切，所以，整理得 综合，解得或。所以直线的方程为或。例11、（2012高考山东文21） (本小题满分13分)如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形abcd的面积为8. ()求椭圆m的标准方程；() 设直线与椭圆m有两个不同的交点与矩形abcd有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.【解析】(21)(i) 矩形abcd面积为8，即由解得：，椭圆m的标准方程是.(ii)，设，则，由得.当过点时，当过点时，.当时，有，其中，由此知当，即时，取得最大值.由对称性，可知若，则当时，取得最大值.当时，由此知，当时，取得最大值.综上可知，当和0时，取得最大值.例12、（2012年高考福建理）如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且的周长为8.()求椭圆的方程.()设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相较于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.【解析】 (1)因为|ab|af2|bf2|8， 即|af1|f1b|af2|bf2|8，又|af1|af2|bf1|bf2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆e的方程是1.(2) （解法一）：由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以p.由得q(4,4km)假设平面内存在定点m满足条件，由图形对称性知，点m必在x轴上设m(x1,0)，则0对满足(*)式的m、k恒成立因为，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点m(1,0)，使得以pq为直径的圆恒过点m. (解法二：)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆e有且只有一个公共点p(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以p.由得q(4,4km)假设平面内存在定点m满足条件，由图形对称性知，点m必在x轴上取k0，m，此时p(0，)，q(4，)，以pq为直径的圆为(x2)2(y)24，交x轴于点m1(1,0)，m2(3,0)；取k，m2，此时p，q(4,0)，以pq为直径的圆为22，交x轴于点m3(1,0)，m4(4,0)所以若符合条件的点m存在，则m的坐标必为(1,0)以下证明m(1,0)就是满足条件的点：因为m的坐标为(1,0)，所以，(3,4km)，从而330，故恒有，即存在定点m(1,0)，使得以pq为直径的圆恒过点m.基本题型四：圆锥曲线的综合问题例13、（2012年高考天津理）设,若直线与圆相切,则的取值范围是（）ab cd【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离为,所以,设, 则,解得. 选d例14、（2012陕西卷理） 图14是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米图14 【解析】 本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：x22py(p0)，由题意知抛物线过点(2，2)，代入方程得p1，则抛物线的方程为：x22y，当水面下降1米时，为y3，代入抛物线方程得x，所以此时水面宽为2米例15、（2012福建文） 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线：（）上。（i）求抛物线的方程；（ii）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点，证明以为直径的圆恒过轴上某定点。【解析】 （i）依题意，|ob|=8，boy=30，设b（x，y），则x=|ob|sin30=4，y=|ob|cos30=12 b（4，12）在x2=2py（p0）上， p=2，抛物线e的方程为x2=4y；（ii）由（i）知， 设p（x0，y0），则x00l：即 由得，取x0=2，此时p（2，1），q（0，1），以pq为直径的圆为（x1）2+y2=2，交y轴于点m1（0，1）或m2（0，1），取x0=1，此时p（1，），q（，1），以pq为直径的圆为（x）2+（y+）2=2，交y轴于点m3（0，1）或m4（0，）故若满足条件的点m存在，只能是m（0，1），证明如下 =2y022y0+2=0，故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m（0，1）（）解法二：设q（0，y1），则，由得，而，对任意恒成立。即且解得，故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m（0，1）4、复习建议和要求近几年福建高考解析几何试题情况：每年的试题相对比较稳定，一般是一小（选择或填空）一大（解答题），选择题、填空题主要考查有关直线、圆、圆锥曲线的概念及直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等；解答题考查的主要内容有：求曲线（轨迹）方程，坐标法及运用曲线方程研究曲线性质，直线与圆锥曲线的位置关系等。命题的着眼点看上去是考查知识，关注与其他知识的交汇，但主要是检测在一定数学思想和方法下学生综合学习的能力。因此在复习时要注意不能简单地反复练习，而应该多从例题解法的探索、思路的总结、规律的应用等方面入手，从例题的典型性中体会到数学思想、数学方法，从而达到知识系统化、网络化。并通过模拟习题学会举一反三、触类旁通，做到以例题辐射整体，实现由课本内到课本外的突破。2、2、（1）、夯实基础，掌握通性通法、熟练掌握以下知识点：直线的斜率、方程、位置关系的判定、点到直线