高考数学二轮复习 考前专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线讲学案 理.doc

第2讲椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)2以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|)(2)双曲线：|pf1|pf2|2a(2a0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd的面积为2b，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性，得四边形abcd为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选d.(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a，b，交其准线于点c，若|bc|2|bf|，且|af|3，则此抛物线方程为()ay29xby26xcy23xdy2x答案c解析如图分别过点a，b作准线的垂线，分别交准线于点e，d，设a，则由已知得2a，由抛物线定义，得a，故bcd30，在rtace中，|af|3，33a，2，即33a6，从而得a1，3a3.p，因此抛物线方程为y23x，故选c.思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练1(1)已知双曲线过点，其中一条渐近线方程为yx，则双曲线的标准方程是()a.1 b.1cx21 d.1答案c解析根据题意，双曲线的渐近线方程为yx，则可设其方程为x2.又由其过点，则有22，解得1，则双曲线的标准方程为x21，故选c.(2)abc的两个顶点为a(4,0)，b(4,0)，abc的周长为18，则c点轨迹方程为()a.1(y0) b.1(y0)c.1(y0) d.1(y0)答案d解析abc的两顶点a(4,0)，b(4,0)，周长为18，|ab|8，|bc|ac|10.108，点c到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，点c的轨迹是以a，b为焦点的椭圆2a10,2c8，即a5，c4，b3.c点的轨迹方程为1(y0)故选d.热点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e.(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系例2(1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线c1: y21与双曲线c2: y21，给出下列说法，其中错误的是()a它们的焦距相等b它们的焦点在同一个圆上c它们的渐近线方程相同d它们的离心率相等答案d解析由题意知c2：y21，则两双曲线的焦距相等且2c2，焦点都在圆x2y23上，其实为圆与坐标轴的交点渐近线方程都为yx.由于实轴长度不同，故离心率e不同故选d.(2)已知双曲线m：1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，2c.若双曲线m的右支上存在点p，使，则双曲线m的离心率的取值范围为()a.b.c.d.答案a解析根据正弦定理可知，所以，即|pf2|pf1|, 2a，所以2a，解得，而ac，即ac，整理得3e24e10 ，解得e1，所以1eb0)，f1为左焦点，a为右顶点，b1，b2分别为上、下顶点，若f1，a，b1，b2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为()a.b.c.d.答案b解析由题设圆的半径r，则b222，即a2c2ace2e10，解得e，故选b.(2)已知双曲线c: 1(a0, b0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线c的一条渐近线垂直，以双曲线c的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于m, n两点，若c，则双曲线c的渐近线方程为()ayxbyxcy2xdy4x答案b解析由题意可设渐近线方程为yx，则直线l的斜率kl，直线方程为y，整理可得axbya20.焦点到直线的距离d，则弦长为22c，整理可得c49a2c212a3c4a40，即e49e212e40，分解因式得0.又双曲线的离心率e1，则e2，所以，所以双曲线c的渐近线方程为yx.故选b.热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例3如图，已知p为椭圆e：1(ab0)上的点，且a2b25.过点p的动直线与圆f：x2y2a21相交于a，b两点，过点p作直线ab的垂线与椭圆e相交于点q.(1)求椭圆e的离心率；(2)若|ab|2，求|pq|.解(1)由题意知，1，a2b25，ab0，解得a23，b22，所以椭圆e的离心率e.(2)依题知圆f的圆心为原点，半径r2，2，所以原点到直线ab的距离为d1，因为点p的坐标为，所以直线ab的斜率存在，设为k.所以直线ab的方程为y1k，即kxyk10，所以d1，解得k0或k2.当k0时，此时直线pq的方程为x，所以的值为点p的纵坐标的两倍，即212；当k2时，直线pq的方程为y1，将它代入椭圆e的方程1，消去y并整理，得34x210x210，设q点坐标为，所以x1，解得x1，所以.思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解跟踪演练3(2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆c上，过点f1的直线l与椭圆c分别交于m，n两点(1)求椭圆c的方程及离心率；(2)若omn的面积为，o为坐标原点，求直线l的方程解(1)由题意得解得a，b，c1，故所求椭圆的方程为1，离心率为e.(2)当直线mn与x轴垂直时，此时smon不符合题意，舍去；当直线mn与x轴不垂直时，设直线mn的方程为yk，由消去y得x26k2x3k260.设m，n，则x1x2，x1x2，所以，原点o到直线mn的距离为d，所以三角形的面积somnd，由somn，得k23，故k，所以直线l的方程为y或y.真题体验1(2017全国改编)若双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则双曲线c的离心率为_答案2解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为.由点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以双曲线c的离心率e2.2(2017全国改编)过抛物线c：y24x的焦点f，且斜率为的直线交c于点m(m在x轴上方)，l为c的准线，点n在l上且mnl，则m到直线nf的距离为_答案2解析抛物线y24x的焦点为f(1,0)，准线方程为x1.由直线方程的点斜式可得直线mf的方程为y(x1)联立方程组解得或点m在x轴的上方，m(3,2)mnl，n(1,2)|nf|4，|mf|mn|3(1)4.mnf是边长为4的等边三角形点m到直线nf的距离为2.3(2017北京)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.4(2017山东)在平面直角坐标系xoy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为f的抛物线x22py (p0)交于a，b两点，若|af|bf|4|of|，则该双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|af|bf|4|of|，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.押题预测1(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过f2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点a，交另一条渐近线于点b，且，则该双曲线的离心率为()a.b.c.d2押题依据圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案a解析由f2到渐近线yx的距离为db，即b，则3b.在af2o中，c，tanf2oa， tanaob，化简可得a22b2，即c2a2b2a2，即e，故选a.2已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，且点在该椭圆上(1)求椭圆c的方程；(2)过椭圆c的左焦点f1的直线l与椭圆c相交于a，b两点，若aob的面积为，求圆心在原点o且与直线l相切的圆的方程押题依据椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解(1)由题意可得e，又a2b2c2，所以b2a2.因为椭圆c经过点，所以1，解得a2，所以b23，故椭圆c的方程为1.(2)由(1)知f1(1,0)，设直线l的方程为xty1，由消去x，得(43t2)y26ty90，显然0恒成立，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，所以|y1y2|，所以saob|f1o|y1y2|，化简得18t4t2170，即(18t217)(t21)0，解得t1，t(舍去)又圆o的半径r，所以r，故圆o的方程为x2y2.a组专题通关1(2017全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以c的方程为1.故选b.2(2017届汕头模拟)若椭圆1上一点p与椭圆的两个焦点f1，f2的连线互相垂直，则pf1f2的面积为()a36 b16c20 d24答案b解析设n，则m2n2480，即22mn80.又mn2612，mn32，spf1f2mn16，故选b.3. (2017届常德一模)已知抛物线c: y24x的焦点为f，过f的直线l交抛物线c于a，b两点，弦ab的中点m到抛物线c的准线的距离为5，则直线l的斜率为()ab1cd答案c解析由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为yk，点a，b，线段ab的中点为m.由得k2x2xk20，所以x1x2.又因为弦ab的中点m到抛物线c的准线的距离为5，所以15，所以x1x28，解得k2，所以k，故选c.4.(2017河南省豫北重点中学联考)如图，f1，f2是双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点，过f2的直线与双曲线c交于a，b两点，若|bf1|af1|345，则双曲线的离心率为()a.b3c.d2答案a解析设3x，5x，所以abf1是直角三角形因为2a，所以2a4x2a, x2a.又2a，即5xx2a2a，解得xa，又224c2，即224c2，即224c2，解得13，即e，故选a.5(2017全国)已知f是抛物线c：y28x的焦点，m是c上一点，fm的延长线交y轴于点n.若m为fn的中点，则|fn|_.答案6解析如图，不妨设点m位于第一象限内，抛物线c的准线交x轴于点a，过点m作准线的垂线，垂足为点b，交y轴于点p，pmof.由题意知，f(2,0)，|fo|ao|2.点m为fn的中点，pmof，|mp|fo|1.又|bp|ao|2，|mb|mp|bp|3.由抛物线的定义知|mf|mb|3，故|fn|2|mf|6.6(2017全国)已知双曲线c：1(a0，b0)的右顶点为a，以a为圆心，b为半径作圆a，圆a与双曲线c的一条渐近线交于m，n两点若man60，则c的离心率为_答案解析如图，由题意知点a(a,0)，双曲线的一条渐近线l的方程为yx，即bxay0，点a到直线l的距离d .又man60，|ma|na|b，man为等边三角形，d|ma|b，即b，a23b2，e.7(2017泉州质检)椭圆c：y21(a1)的离心率为，f1，f2是c的两个焦点，过f1的直线l与c交于a，b两点，则的最大值为_答案7解析因为离心率为，所以a2，由椭圆定义得4a8，即8.而由焦点弦性质知，当abx轴时，取最小值21，因此的最大值为817.8一动圆与圆o1：(x3)2y21外切，与圆o2：(x3)2y281内切，则动圆圆心的轨迹方程为_答案1解析两定圆的圆心和半径分别是o1(3,0)，r11；o2(3,0)，r29.设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，则由题设条件，可得|mo1|r1，|o2m|9r.|mo1|mo2|10|o1o2|6.由椭圆的定义知，点m在以o1，o2为焦点的椭圆上，且2a10,2c6，b216.动圆圆心的轨迹方程为1.9(2017届唐山模拟)已知椭圆：1(ab0)经过点m，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点m在x轴上的射影为点n，过点n的直线l与椭圆相交于a, b两点，且30，求直线l的方程解(1)由已知可得1, ，解得a2, b1，所以椭圆的方程为y21.(2)由已知n的坐标为，当直线l斜率为0时，直线l为x轴，易知30不成立当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为xmy，代入y21，整理得y22my10，设a，b，则y1y2，y1y2，由30，得y23y1，由解得m.所以直线l的方程为xy，即y.10.如图所示，抛物线y24x的焦点为f，动点t(1，m)，过f作tf的垂线交抛物线于p，q两点，弦pq的中点为n.(1)证明：线段nt平行于x轴(或在x轴上)；(2)若m0且|nf|tf|，求m的值及点n的坐标(1)证明易知抛物线的焦点为f(1,0)，准线方程为x1，动点t(1，m)在准线上，则ktf.当m0时，t为抛物线准线与x轴的交点，这时pq为抛物线的通径，点n与焦点f重合，显然线段nt在x轴上当m0时，由条件知kpq，所以直线pq的方程为y(x1)，联立得x2(2m2)x10，(2m2)24m2(4m2)0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，可知x1x22m2，y1y2(x1x22)2m.所以弦pq的中点n，又t(1，m)，所以knt0，则nt平行于x轴综上可知，线段nt平行于x轴(或在x轴上)(2)解已知|nf|tf|，在tfn中，tanntf1ntf45，设a是准线与x轴的交点，则tfa是等腰直角三角形，所以|ta|af|2，又动点t(1，m)，其中m0，则m2.因为ntf45，所以kpqtan 451，又焦点f(1,0)，可得直线pq的方程为yx1.由m2，得t(1,2)，由(1)知线段nt平行于x轴，设n(x0，y0)，则y02，代入yx1，得x03，所以n(3,2)b组能力提高11.(2017长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线已知圆锥的高为ph, ab为地面直径，顶角为2，那么不过顶点p的平面与ph夹角a时，截口曲线为椭圆；与ph夹角a时，截口曲线为抛物线；与ph夹角a0时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线amab，过am的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与pb的交点为c，可知ac为长轴那么当c在线段pb上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为()a圆的部分b椭圆的部分c双曲线的部分d抛物线的部分答案d解析如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点q到焦点f的距离等于半长轴a，但短轴的端点q到直线am的距离也是a，即说明短轴的端点q到定点f的距离等于到定直线am的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选d.12已知椭圆m：1(ab0)的一个焦点为f，离心率为，过点f的动直线交m于a, b两点，若x轴上的点p使得apobpo总成立(o为坐标原点)，则t等于()a2 b2cd.答案b解析在椭圆中c1, e，得a，b1，故椭圆的方程为y21.设a，b，由题意可知，当直线斜率不存在时，t可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为yk，联立方程组得x24k2x2k220，x1x2，x1x2，使得apobpo总成立，即使得pf为apb的角平分线，即直线pa和pb的斜率之和为0，即0，由y1k(x11), y2k，代入整理得2x1x22t0，由根与系数的关系，可得2t0，化简可得t2，故选b.13(2017武汉调研)已知直线mn过椭圆y21的左焦点f，与椭圆交于m，n两点，直线pq过原点o与mn平行，且与椭圆交于p，q两点，则_.答案2解析方法一特殊化，设mnx轴，则，24, 2.方法二由题意知f(1,0)，当直线mn的斜率不存在时，|mn|，|pq|2b2，则2；当直线mn的斜率