安徽省芜湖市高三数学下学期第三次模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年安徽省芜湖市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1复数z=的共轭复数是（） a 2+i b 2i c 1+i d 1i2设a=log2，b=，c=ln，则（） a cab b acb c abc d bac3在等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的（） a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是（） a 6 b 12 c 22 d 245在等差数列an中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（） a 12 b 72 c 132 d 1926如图，在正方体abcda1b1c1d1中，下面结论不正确的是（） a bd平面cb1d1 b ac1bd c 平面acc1a1cb1d1 d 异面直线ad与cb1所成的角为607已知（+）5的二次展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致形状为（） a b c d 8在平面直角坐标系中，若，则（x+1）2+y2的取值范围是（） a ，5 b ，5 c ，25 d 9，259口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（） a 14 b 16 c 18 d 2010定义在实数集r上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，对任意实数x，若存在实常数t使得f（t+x）=tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“t型函数”在下列关于“t型函数”的四个命题中，其中真命题是（） a f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数” b f（x）=x2是一个“t型函数” c f（x）=|x|是一个“t型函数” d “型函数”至少有一个零点二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为12如图，在矩形abcd中，ab=2，ad=1，o为ab中点，抛物线的一部分在矩形内，点o为抛物线顶点，点c，d在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为13已知离心率为的双曲线y2=1的两个焦点为f1，f2，点p在此双曲线上，且=0，则点p到x轴的距离等于14如图，矩形ortm内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中a、b、c、d都在矩形的边上，则=15设函数f（x）=sin（x+）（，是常数，0），若f（x）在区间，1上具有单调性，且f（0）=f（）=f（1），则下列有关f（x）的命题正确的有（把所有正确的命题序号都写上）f（x）的最小正周期为2；f（x）在1，上具有单调性；当x=时，函数f（x）取得最值；y=f（x+）为奇函数；（，）是y=f（x）+x图象的一个对称中心三、解答题（共6小题，满分75分）16如图，在abc中，ab=ac，d在线段ac上，且ac=ad，bd=1（）若a=，求sindbc的值；（）求abc面积的最大值17某中学校本课程开设了a，b，c，d共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生（）求在d课程没有被选中的条件下，a课程被甲选中的概率；（）记“这3名学生选择a课程的人数”为x，求x的分布列和数学期望18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac=2，pa=2，=2（）证明：pc平面bed；（）若直线pd与平面pbc所成角为，求二面角apbc的大小19已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，对任意nn，都有1，an成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn+1+（1）nbn=an（nn），求数列bn的前60项和20如图，曲线c1：+=1（y0）；曲线c2：x2=4y，自曲线c1上一点a作c2的两条切线，切点分别为b，c（）当abac时，求点a的纵坐标；（）当abc面积最大值时，求直线bc的概率k21已知函数f（x）=（）试判断函数y=f（x）在（1，+）上的单调性；（）令an+1=f（an）（nn），若a1=，求证2nlnan12015年安徽省芜湖市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1复数z=的共轭复数是（） a 2+i b 2i c 1+i d 1i考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题： 计算题分析： 利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可解答： 解：复数z=1+i所以复数的共轭复数为：1i故选d点评： 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力2设a=log2，b=，c=ln，则（） a cab b acb c abc d bac考点： 对数值大小的比较专题： 函数的性质及应用分析： 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出解答： 解：a=log20，0b=1，c=ln1，abc故选：c点评： 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题3在等比数列an中，a10，则“a1a4”是“a3a5”的（） a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可解答： 解：在等比数列中，若a1a4，即a1a1q3，a10，1q3，即q1，则1，即a3a5成立，若等比数列1，2，4，8，16，满足a3a5，但a1a4不成立，故“a1a4”是“a3a5”的充分不必要条件，故选：a点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键4执行如图所示的程序框图，若输出i的值为2，则输入x的最大值是（） a 6 b 12 c 22 d 24考点： 循环结构专题： 计算题；算法和程序框图分析： 根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出i=2时确定输出x的式子，根据满足的条件求x的最大值解答： 解：由程序框图知：第一次循环i=1，x=0.5x1；第二次循环i=2，x=0.5（0.5x1）2；输出的i=2，跳出循环的i值为2，此时0.5（0.5x1）13x22输出x的最大值为22故选：c点评： 本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程确定输出x的式子是关键5在等差数列an中，a9=a12+6，则该数列的前11项和为（） a 12 b 72 c 132 d 192考点： 等差数列的前n项和专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知求得a6，再由s11=11a6求得答案解答： 解：由a9=a12+6，得2a9a12=12，即2a1+16da111d=12，a1+5d=12，a6=12则s11=11a6=1112=132故选：c点评： 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题6如图，在正方体abcda1b1c1d1中，下面结论不正确的是（） a bd平面cb1d1 b ac1bd c 平面acc1a1cb1d1 d 异面直线ad与cb1所成的角为60考点： 棱柱的结构特征专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑分析： 利用正方体侧棱垂直于底面的性质，结合线面平行、线面垂直、面面垂直的判定逐一核对四个选项得答案解答： 解：对于a，abcda1b1c1d1为正方体，bdb1d1，由线面平行的判定可得bd面cb1d1，a正确；对于b，连接ac，abcda1b1c1d1为正方体，bdac，且cc1bd，由线面垂直的判定可得bd面acc1，bdac1，b正确；对于c，由上可知bd面acc1，又bdb1d1，b1d1面acc1，则平面acc1a1cb1d1，c正确；对于d，异面直线ad与cb1所成的角即为直线bc与cb1所成的角，为45，d错误故选：d点评： 本题考查命题的真假判断与应用，考查学生的空间想象能力和思维能力，是中档题7已知（+）5的二次展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象大致形状为（） a b c d 考点： 函数的图象；二项式系数的性质专题： 函数的性质及应用分析： 先由二项式定理展开式的通项公式，求出展开式中的第三项，从而得到y关于x的函数，再根据此函数的图象性质作出判断即可解答： 解：（+）5的展开式的第r+1项tr+1=c5r （x0）展开式的第三项为c52yx=10xy=10，xy=1，即y=（x0），则y关于x的函数为y=（x0），其图象为双曲线y=的一支，位于第一象限，故选：d点评： 本题综合考察了二项式定理及函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质8在平面直角坐标系中，若，则（x+1）2+y2的取值范围是（） a ，5 b ，5 c ，25 d 9，25考点： 简单线性规划专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用分析： 由题意作出其平面区域，（x+1）2+y2可看成阴影内的点到点a（1，0）的距离的平方，求阴影内的点到点a（1，0）的距离的范围可得解答： 解：由题意作出其平面区域，（x+1）2+y2可看成阴影内的点到点a（1，0）的距离的平方，由图象可得，ab=3=，ac=5；故（）2（x+1）2+y225，即（x+1）2+y225；故选c点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题9口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（） a 14 b 16 c 18 d 20考点： 计数原理的应用专题： 排列组合分析： 设取出的红球x个，黑球为y个，白球z个，则取出小球的情况可以用（x，y，z）的形式表示出来，如（2，1，7）表示取出红球2个，黑球1个，白球7个；按红球的情况分4类分别将所有可能的情况列举出来，再由分类计数原理计算可得答案解答： 解：设取出的红球x个，黑球为y个，白球z个，有x+y+z=10，则用（x，y，z）的形式表示取出小球的情况；根据题意，可得x2、3、4、5，y0、1、2、3，z2，3、4、5、6、7，8，则当取出2个红球，即x=2时，有（2，1，7），（2，2，6），（2，3， 5）（2，0，8）四种情况；当取出3个红球，即x=3时，有（3，0，7），（3，1，6），（3，2，5），（3，3，4）四种情况；当取出4个红球，即x=4时，有（4，0，6），（4，1，5），（4，2，4），（4，3，3）四种情况；当取出5个红球，即x=5时，有（5，0，5），（5，1，4），（5，3，2），（5，2，3），四种情况；由分步计数原理，可得共有4+4+4+4=16种情况故选：b点评： 本题考查分类计数原理的运用，注意分类列举时，按一定的顺序，做到不重不漏10定义在实数集r上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，对任意实数x，若存在实常数t使得f（t+x）=tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“t型函数”在下列关于“t型函数”的四个命题中，其中真命题是（） a f（x）=0是常值函数中唯一一个“t型函数”b f（x）=x2是一个“t型函数” c f（x）=|x|是一个“t型函数” d “型函数”至少有一个零点考点： 函数恒成立问题专题： 新定义；函数的性质及应用分析： 举例说明a不正确；把f（x）=x2代入定义求得的矛盾的值说明b错误；把f（x）=|x|代入定义求得的矛盾的值说明c错误；由函数零点存在性定理结合新定义说明d正确解答： 解：由题意得，a不正确，如f（x）=c0，取t=1，则f（x1）f（x）=cc=0，即f（x）=c0是一个“t函数”；若f（x）=x2是一个“关于t函数”，则（x+）2+x2=0，求得=0且=1，矛盾b不正确；若f（x）=|x|是一个“关于t函数”，则|x+|+|x|=0，求得=0且=，矛盾，c不正确；d正确，若f（x）是“是关于函数”，则f（x+）+f（x）=0，取x=0，则f（）+f（0）=0，若f（0）、f （）任意一个为0，则函数f（x）有零点；若f（0）、f （）均不为0，则f（0）、f （）异号，由零点存在性定理知，在（0，）区间内存在零点；故选：d点评： 本题是新定义题，考查了函数的性质，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11在极坐标系中，直线sin（+）=2被圆=4截得的弦长为4考点： 简单曲线的极坐标方程专题： 常规题型；转化思想分析： 先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，最后利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可解答： 解：sin（+）=2，sin+cos=2，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，圆心到直线的距离为：截得的弦长为：2=故答案为：点评： 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化12如图，在矩形abcd中，ab=2，ad=1，o为ab中点，抛物线的一部分在矩形内，点o为抛物线顶点，点c，d在抛物线上，在矩形内随机地投放一点，则此点落在阴影部分的概率为考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 本题符合几何概型，只要求出阴影部分的面积，利用面积比得到所求解答： 解：由题意，如图建立坐标系，则矩形的面积为21=2，阴影部分的面积为2=2=，由几何概型公式得此点落在阴影部分的概率为：；故答案为：点评： 本题考查了几何概型公式的阴影以及利用定积分求曲边梯形的面积13已知离心率为的双曲线y2=1的两个焦点为f1，f2，点p在此双曲线上，且=0，则点p到x轴的距离等于考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设出点p坐标（x，y），由=0，得到一个方程，将此方程代入双曲线的方程，消去x，求出|y|的值解答： 解：设点p（x，y），离心率为的双曲线y2=1，可得a=2，f1（，0）、f2（，0），=0，pf1pf2，x2+y2=5，代入双曲线方程y2=1，y2=1，|y|=，p到x轴的距离是故答案为：点评： 本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的运用，属于基础题14如图，矩形ortm内放置5个大小相同且边长为1的正方形，其中a、b、c、d都在矩形的边上，则=3考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 如图，设，然后用这两个向量来表示，并且，这样便能求出解答： 解：如图，设向量=，则：，且；=6+3=3故答案为：3点评： 本题考查向量的加法运算，共线向量基本定理，向量的数量积的运算分别用表示是求解本题的关键15设函数f（x）=sin（x+）（，是常数，0），若f（x）在区间，1上具有单调性，且f（0）=f（）=f（1），则下列有关f（x）的命题正确的有（把所有正确的命题序号都写上）f（x）的最小正周期为2；f（x）在1，上具有单调性；当x=时，函数f（x）取得最值；y=f（x+）为奇函数；（，）是y=f（x）+x图象的一个对称中心考点： 命题的真假判断与应用专题： 三角函数的图像与性质；简易逻辑分析： 根据三角函数的单调性，和取得情况，求出函数的对称性和对称中心，结合函数奇偶性和单调性之间的关系分别进行判断即可解答： 解：f（0）=f（），x=是函数的一个对称轴，故当x=时，函数f（x）取得最值，故正确，f（0）=f（）=f（1），函数的一个对称中心为（，0），f（x）在区间，1上具有单调性，函数的周期t=4（）=4，故正确，由知函数的周期是2，x=是函数的一个对称轴，则函数在，上单调函数，在，上单调函数，故在1，上不具有单调性，故错误，函数的一个对称中心为（，0），将函数f（x）向左平移个单位得到y=f（x+），此时函数关于原点对称，即y=f（x+）是奇函数，故正确，f（）=sin（）+=sin（+）=0，则当x=时，y=f（）+（）=0=，即（，）是y=f（x）+x图象的一个对称中心故正确，故正确的是，故答案为：点评： 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据条件求出函数的对称轴和对称中心是解决本题的关键要求熟练掌握三角函数的图象和性质三、解答题（共6小题，满分75分）16如图，在abc中，ab=ac，d在线段ac上，且ac=ad，bd=1（）若a=，求sindbc的值；（）求abc面积的最大值考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （）设出ad，利用勾股定理求得ad，进而求得sinabd和cosabd，利用sindbc=sin（abd）求得sindbc的值（）设出ad，利用余弦定理表示出cosbad，进而表示出sinbac，最后利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用二次函数的性质求得面积最大值解答： 解：（）设ad=x，ab=x，x2+2x2=1，x=，即ad=，ab=sinabd=，cosabd=，sindbc=sin（abd）=（）设ad=x，ab=x，在abd中，由余弦定理得cosbad=，sinbac=，sabc=2x2=，当x=时，三角形面积有最大值1点评： 本题主要考查了两角和公式的运用，余弦定理的运用考查了学生的转化与化归的思想17某中学校本课程开设了a，b，c，d共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生（）求在d课程没有被选中的条件下，a课程被甲选中的概率；（）记“这3名学生选择a课程的人数”为x，求x的分布列和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （1）利用条件概率的概念求出n（e）=333=27，n（ef）=33=9，继而得出结论（2）两种方法处理此题，一种是常规的方法，一种是独立重复试验利用二项分布解题解答： 解：（1）设“d课程没有被选中”为事件e，“甲选择了a课程”为事件f，则n（e）=333=27，n（ef）=33=9，则p（e|f）=，（2）解法一：x的所有可能取值为0，1，2，3，且p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2），p（x=3）=所以x的分布列为 x 0 1 2 3 p 所以x的数学期望ex=解法二：因为a选修课被每位同学选中的概率均为，没被选中的概率均为，所以x的所有可能取值为0，1，2，3，且xb（3，）p（x=0）=（）3=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=（）3=所以x的分布列为 x 0 1 2 3 p 所以x的数学期望ex=3点评： 本题主要考查了条件概率的求解方法和独立重复试验的思路，属常考题型18如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，pa底面abcd，ac=2，pa=2，=2（）证明：pc平面bed；（）若直线pd与平面pbc所成角为，求二面角apbc的大小考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （i）先由已知建立空间直角坐标系，利用向量法即可证明；（ii）求出两个平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角解答： 证明：（）设acbd=0，以o为原点，oc为x轴，od为y轴，建立空间直角坐标系如图：则a（，0，0），c（，0，0），p（，0，2），设b（0，a，0），d（0，a，0），由=2得e（，0，），则=（2，0，2），=（，a，），=（0，2a，0），=0，=0，即pc平面bed；（）设平面pab的法向量为=（x，y，z），=（0，0，2），=（，a，0），由，解得=（1，0），设平面pbc的法向量为=（x，y，z），=（，a，0），=（2，0，2），由=0，=0，得=（1，），直线pd与平面pbc所成角为，sin=，解得a=，于是，即，则平面apb平面pbc；即二面角apbc的大小为点评： 本题主要考查用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系19已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，对任意nn，都有1，an成等差数列（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn+1+（1）nbn=an（nn），求数列bn的前60项和考点： 数列的求和；等差数列的性质；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： 通过1，an成等差数列可知4sn=+2an+1（）当n=1时，可得首项a1=1，当n2时，利用4an=4sn4sn1计算即得结论；（）通过bn+1+（1）nbn=2n1计算可得bn+2+bn=（1）n（2n1）+2n+1、bn+3+bn+1=（1）n（2n+1）+2n+3，进而有b4k+1+b4k+2+b4k+3+b4k+4=16k+10，计算即可解答： 解：由题可知：2=an+1，即4sn=+2an+1（）当n=1时，4a1=，解得a1=1，当n2时，4an=4sn4sn1=（+2an+1）（+2an1+1），化简得：=2（an+an1），又an0，anan1=2，数列an的通项：an=2n1；（）由bn+1+（1）nbn=2n1得bn+2=（1）nbn+1+2n+1=（1）n（1）n1bn+2n1+2n+1=bn+（1）n（2n1）+2n+1，即bn+2+bn=（1）n（2n1）+2n+1，也有bn+3+bn+1=（1）n（2n+1）+2n+3，两式相加得：bn+bn+1+bn+2+bn+3=（1）n（2n1）+2n+1（1）n（2n+1）+2n+3，设k为整数，整理得：b4k+1+b4k+2+b4k+3+b4k+4=2（1）4k+1+4（4k+1）+4=16k+10，于是s60=1830点评： 本题考查求数列的通项、前60项的和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题20如图，曲线c1：+=1（y0）；曲线c2：x2=4y，自曲线c1上一点a作c2的两条切线，切点分别为b，c（）当abac时，求点a的纵坐标；（）当abc面积最大值时，求直线bc的概率k考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）通过设b（x1，），c（x2，），对y=求导函数，计算可得a（，），利用=0计算即得结论；（）通过设lbc：y=kx+b，并与曲线c2联立，利用韦达定理可得|x1x2|=，a（2k，b），k2+b2=4（0b2），根据三角形面积公式计算即得结论解答： 解：（）设b（x1，），c（x2，），由y=可知y=x，过b点的切线为：y=，过c点的切线为：y=，则a（，），从