（新课标）高考数学 题型全归纳 正余弦定理在解决三角形问题中的应用典例分析.doc

正余弦定理在解决三角形问题中的应用典型例题分析：一、判定三角形的形状例1 根据下列条件判断三角形abc的形状：(1)若a2tanb=b2tana；解：由已知及正弦定理得(2rsina)2 = (2rsinb)2 2sinacosa=2sinbcosbsin2a=sin2b2cos(a + b)sin(a b)=0 a + b=90o 或 a b=0所以abc是等腰三角形或直角三角形.(2)b2sin2c + c2sin2b=2bccosbcosc;解: 由正弦定理得sin2bsin2c=sinbsinccosbcosc sinbsinc0, sinbsinc=cosbcosc,即 cos(b + c)=0, b + c=90o, a=90o,故abc是直角三角形.(3)(sina + sinb + sinc) (cosa + cosb + cosc)=1.解：(sina + sinb + sinc) (cosa + cosb + cosc)=12sincos+ sin(a + b) 2coscos+ 2cos2- 1=02sincos+ sin(a + b) 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0abc是rt。二、三角形中的求角或求边长问题例2、abc中，已知：ab=2，bc=1，ca=，分别在边ab、bc、ca上取点d、e、f，使def是等边三角形（如图1）。设fec=，问sin为何值时，def的边长最短？并求出最短边的长。图 1分析：要求最短边的长，需建立边长关于角的目标函数。解：设def的边长为x，显然c=90，b=60，故ec=xcos。因为dec=def+=edb+b，所以edb=。在bde中，由正弦定理得，所以 ，因为be+ec=bc，所以，所以 当，。注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。例2 在abc中，已知sinb=, cosa=, 试求cosc的值。解：由cosa=，得sina=, sinbsina, b中能是锐角 cosb=,又 cosc= - cos(a + b)=sinasinb cosacosb=.例3 (98年高考题)已知abc中, a、b、c为角a、b、c的对边，且a + c=2b, a b=60o, 求sinb的值.解：由a + c=2b, 得sina + sinc=2sinb即 2sincos=2sinb由 a + b + c=180o 得 sin=cos.又 a c= 60o, 得=sinb所以 =2sincos又 0o90o, cos0，所以 sin=.从而 cos=.所以 sinb=.例4（2005年湖北卷第18题）在abc中，已知边上的中线bd=，求sina的值.分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1：设e为bc的中点，连接de，则de/ab，且de=在bde中利用余弦定理可得：bd2=be2+ed22beedcosbed，解法2：以b为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点a位于第一象限.解法3：过a作ahbc交bc于h，延长bd到p使bd=dp，连接ap、pc，过p作pnbc交bc的延长线于n，则hb=abcosb=例5、(2005年天津卷第17题)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.解法一：由余弦定理，因此， 在abc中，c=180ab=120b.由已知条件，应用正弦定理解得从而解法二：由余弦定理，因此，由，得所以 由正弦定理.由式知故ba，因此b为锐角，于是，从而例6、（2005年全国高考数学试卷三（四川理）中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且（）求的值（）设，求的值。解：（）由得 由及正弦定理得于是 （）由得，由可得，即由余弦定理 得 例7（2004年浙江高考数学理工第17题，文史第18题，） 在abc中，角a、b、c所对的边分别为、b、c，且. （）求的值；（）若，求bc的最大值. 解: () = = = = () ,又 当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.三、解平面几何问题例8（2002年全国高考题）已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab=2，bc=6，cd=da=4，求四边形abcd的面积。分析：如图2，连结对角线bd，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出a、c，这可由余弦定理列方程求得。解：因为四边形abcd是圆内接四边形，所以a+c=180，所以sina=sinc。连结bd，则四边形abcd的面积。由余弦定理，在abd中，。在cdb中，。所以2016cosa=5248cosc, 又因为cosc = cosa，所以64cosa= 32，cosa=, 所以a=120。所以s=16sin120=.注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运用。四、解实际应用问题例9 某观测站c在a城的南偏西20方向，由a城出发有一条公路定向是南偏东40，由c处测得距c为31km的公路上b处有1人沿公路向a城以v=5km/h的速度走了4h后到达d处，此时测得c、d间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达a城。解：如图6，由已知得cd=21，bd=20，cb=31，cad=60。设ad=x，ac=y。在acb和acd中，分别由余弦定理得，（1）（2）得2xy=6，将y=2x6代入（2）得，所以x=15，x= 9（舍去）。所以。故此人以v的速度至少还要走3h才能到达a城。五、证明三角恒等式例10 在abc中， 求证： + +=0.解：因为 =4r2(cosb cosa),同理 =4r2(cosc cosb)=4r2(cosa cosc).所以左边=4r2(cosb cosa) + 4r2(cosc cosb) + 4r2(cosa cosc)=0 得证.例11（2000年北京春季高考题）在abc中，角a，b