高考数学一轮复习 考点一篇过 专题41 直线与圆锥曲线的位置关系 理.doc

考点41直线与圆锥曲线的位置关系（1）了解圆锥曲线的简单应用.（2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系1曲线的交点在平面直角坐标系xoy中，给定两条曲线，已知它们的方程为，求曲线的交点坐标，即求方程组的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.2直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线，圆锥曲线，把二者方程联立得到方程组，消去得到一个关于的方程.（1）当时，方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a=0时，方程为一次方程，若b0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b=0,c0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点相交；直线与椭圆有一个交点相切；直线与椭圆没有交点相离.（2）直线与双曲线有两个交点相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点相离.（3）直线与抛物线有两个交点相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线没有交点相离.二、圆锥曲线中弦的相关问题1弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线c相交于两个不同的点，则弦长.（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.2中点弦问题（1）ab为椭圆的弦，弦中点m(x0，y0)，则ab所在直线的斜率为，弦ab的斜率与弦中点m和椭圆中心o的连线的斜率之积为定值.（2）ab为双曲线的弦，弦中点m(x0，y0)，则ab所在直线的斜率为，弦ab的斜率与弦中点m和双曲线中心o的连线的斜率之积为定值.（3）在抛物线中，以m(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率.考向一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1已知椭圆x2+4y2=4，直线l:yxm(1)若l与椭圆有一个公共点，求m的值；(2)若l与椭圆相交于p,q两点，且|pq|等于椭圆的短轴长，求m的值则|pq|=2.解得：m=304.典例2已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为（1）若过点的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积【解析】（1）由题意知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，所以，则抛物线的方程为，抛物线的方程为.若直线的斜率不存在，则易知直线的方程为；若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，联立，可得，当时，满足题意，此时直线的方程为；当时，解得，此时直线的方程为.综上，直线的方程为，或，或.1已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.(1)若直线与双曲线没有公共点,求实数k的取值范围;(2)若直线与双曲线有两个公共点,求实数k的取值范围;(3)若直线与双曲线只有一个公共点,求实数k的取值范围.考向二直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3已知抛物线c：y2=2px（p0），焦点为f，直线l交抛物线c于a(x1,y1)，b(x2,y2)两点，d(x0,y0)为ab的中点，且|af|+|bf|=1+2x0（1）求抛物线c的方程；（2）若x1x2+y1y2=-1，求的最小值（2）设直线l的方程为x=my+b，代入抛物线方程，得y2-2my-2b=0，x1x2+y1y2=-1，即，y1y2=-2，即y1y2=-2b=-2，b=1，y1+y2=2m，y1y2=-2，|ab|=1+m2|y1-y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=21+m2m2+2，令t=m2+1，t1,+)，则，当且仅当时等号成立故的最小值为.典例4已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为,过右焦点f且垂直于x轴的直线与椭圆c相交于m,n两点,且|mn|=3.(1)求椭圆c的方程;(2)设直线l经过点f且斜率为k,l与椭圆c相交于a,b两点,与以椭圆c的右顶点e为圆心的圆相交于p,q两点(a,p,b,q自下至上排列),o为坐标原点，,且|ap|=|bq|,求直线l和圆e的方程.【解析】(1)设f(c,0),则由题意得c2=a2-b2,ca=12,解得a=2,b=3,c=1,椭圆c的方程为.oaob=x1x2+y1y2=.oaob=-95,解得k2=3.由题意可得,|ap|=|bq|等价于|ab|=|pq|.设圆e的半径为r,.将k2=3代入|ab|=|pq|，解得.故所求直线l的方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0与3x+y-3=0;圆e的方程为.2已知椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,且满足e1e2=1.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l恒过点(0,1),且直线l与椭圆交于a、b两点,求|ab|的最大值,并求此时直线l的方程.考向三圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5在直角坐标系中，已知一动圆经过点且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作互相垂直的两条直线，与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，线段，的中点分别为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标【解析】（1）设圆心，依题意有，即得，曲线的方程为，同理得当或时，直线的方程为；当且时，直线的斜率为，直线的方程为，即，直线过定点，其坐标为综上所述，直线过定点，其坐标为典例6已知椭圆e: 与y轴的正半轴相交于点m,点f1,f2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+23与椭圆e交于不同的两点a,b.(1)直线ma,mb的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;(2)求的面积的最大值.【解析】(1)因为是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=3c,a=2,所以a=2,b=3,所以椭圆e:x24+y23=1,点m(0,3).将直线l:y=kx+23代入椭圆e的方程,整理得(3+4k2)x2+163kx+36=0.(*)设a(x1,y1),b(x2,y2),则由(*)式可得=(163k)2-4(3+4k2)36=48(4k2-9)0,所以k(-,-32)(32,+),x1+x2=,x1x2=.所以直线ma,mb的斜率之积是定值.(2)记直线l:y=kx+23与y轴的交点为n(0,23)，则sabm=|sanm-sbnm|=12|mn|x2-x1|=,当且仅当4k2-9=12,即k=(-,-32)(32,+)时等号成立,所以的面积的最大值为.3已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线与双曲线相交于两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.4已知椭圆c:的左顶点a和上顶点b(0,1)的连线的斜率为12,左、右焦点分别为f1、f2,过点a的直线l与椭圆c交于点m,与y轴交于点n,点p在椭圆上,且am=op,an=op(o为坐标原点).(1)求椭圆c的标准方程;(2)若an=52am,求的面积;(3)证明:是定值,并求出该定值.1若直线mx+ny=4和o:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点有a至多1个b2个c1个d0个2已知直线y=kx-k(k为实数)及抛物线y2=2px(p0),则a直线与抛物线有一个公共点b直线与抛物线有两个公共点c直线与抛物线有一个或两个公共点d直线与抛物线没有公共点3若直线与椭圆有两个公共点,则实数k的取值范围是ak或kdk0)的直线与椭圆c相交于a,b两点,若af=3fb,则k=_.12已知点在双曲线（，）上，且双曲线的一条渐近线的方程是（1）求双曲线的方程；（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同的点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值13如图,f1,f2分别为椭圆c:的左、右焦点,a,b为两个顶点.已知顶点b(0,3)到f1,f2两点的距离之和为4.(1)求椭圆c的方程;(2)证明:椭圆c上任意一点m(x0,y0)到右焦点f2的距离的最小值为1;(3)作ab的平行线交椭圆c于p,q两点,求弦长|pq|的最大值,并求|pq|取最大值时的面积.14已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上（1）求抛物线和椭圆的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，交轴于点，已知，求证：为定值15已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆c的方程；（2）设m是椭圆的上顶点，过点m分别作直线ma、mb交椭圆于a、b两点，设两直线的斜率分别为k1、k2，且，证明：直线ab过定点1（2017北京理科）已知抛物线c：过点p(1，1)过点(0，)作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点（1）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：a为线段bm的中点2（2017新课标全国iii理科）已知抛物线c：y2=2x，过点（2，0）的直线l交c于a，b两点，圆m是以线段ab为直径的圆（1）证明：坐标原点o在圆m上；（2）设圆m过点，求直线l与圆m的方程3（2017天津理科）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程4（2017新课标全国i理科）已知椭圆c：，四点p1（1,1），p2（0,1），p3（1，），p4（1，）中恰有三点在椭圆c上（1）求c的方程；（2）设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点5（2017山东理科）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.6（2016上海理科）双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，直线过且与双曲线交于两点（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率变式拓展1【解析】(1)由,得(1-k2)x2+2kx-5=0(*).若直线与双曲线没有公共点,则(*)式无解.所以,解得k52,于是实数k的取值范围为(-,)(,+). (3)若直线与双曲线只有一个公共点,则(*)式只有一解或有两个相等的实数根.当1-k2=0,即k=1时,(*)式只有一解;当1-k20时,应满足=4k2+20(1-k2)=0,解得k=.于是实数k的取值范围为1,.2【解析】(1)双曲线x2-y2=1的焦点为(-2,0),(2,0),离心率e2=2,故椭圆中c2=a2-b2=2,e1=ca=22,解得a2=4,b2=2,故椭圆的标准方程为.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,这时|ab|=22.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,a(x1,y1),b(x2,y2),由得(1+2k2)x2+4kx-2=0,故=16k2+8(1+2k2)0(*),x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-21+2k2,=.当k=0时,|ab|=22.当k0时,|ab|=8(1+18)=3,当且仅当4k2=,即k4=,k=时等号成立.即|ab|max=3,这时l:y=x+1.【名师点睛】解决本题的关键有以下几点:(1)熟练掌握双曲线和椭圆中的基础知识;(2)注意讨论特殊情况,本题中讨论了直线斜率不存在的情况,以及斜率为0的情况;(3)正确利用题目给定的条件得到|ab|的函数关系式;(4)灵活运用基本不等式的知识求所得函数的最值.3【解析】（1）设双曲线的标准方程为，由已知得又，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）设，由得，则，以为直径的圆过双曲线的左顶点，即，解得或.当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件，所以直线过定点，定点坐标为. (3)由题意可知,直线l的斜率一定存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则n(0,2k).设m(x1,y1),由可得(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,则,故x1=2-8k24k2+1,代入直线l的方程得y1=k(x1+2)=4k1+4k2,则|am|=.又|an|=21+k2,所以|am|an|=8(1+k2)4k2+1.由题意可得直线op的斜率也是k,则直线op的方程为y=kx,由可得(4k2+1)x2-4=0,解得,则|op|2=.又aman=|am|an|=|op|2,所以=2,是定值.考点冲关1【答案】b【解析】由直线mx+ny=4和o:x2+y2=4没有交点,得,即m2+n24,故点(m,n)在椭圆x29+y24=1的内部,所以过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点有2个.2【答案】c【解析】因为直线y=kx-k恒过点(1,0),点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点,当k0时,直线与抛物线有两个公共点.3【答案】c4【答案】c【解析】由题意知直线过点a(a,0),且斜率k=tan 135=-1,则直线的方程为x+y-a=0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得b(a2a+b,aba+b),c(a2a-b,-aba-b),则有bc=(2a2ba2-b2,),ab=(,aba+b).因为ab=22bc,则,化简得ba=2+1,则双曲线的渐近线方程为(2+1)xy=0.故选c.5【答案】b【解析】由题意,a2=4,b2=3,故c=a2-b2=4-3=1.不妨设m(1,y0),n(1,-y0),所以124+y023=1,解得y0=,所以|mn|=3,|om|=|on|=132.由余弦定理知cosmon=|om|2+|on|2-|mn|22|om|on|=,故选b.6【答案】c程为y=k(x-).联立方程,消去y得k2x2-p(k2+2)x+k2p24=0,则x1+x2=p(k2+2)k2,x1x2=p24.又由抛物线的定义知|af|=x1+,|bf|=x2+,则可得1|af|+1|bf|=2p,于是有13+32p=2p,解得2p=3,所以此抛物线的方程是,选c.7【答案】c【解析】由题意可得,直线l的斜率存在且不为0,不妨设直线l:y=k(x-1),则由消去y化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=.因为am=2mb,所以x1+2x2=3,所以x2=,x1=2k2-31+2k2,所以x1x2=2k2-31+2k23+2k21+2k2=2k2-81+2k2,化简得k2=114,解得k=1414,故选c.8【答案】-1或0【解析】当k=0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;当k0时,将直线方程与抛物线方程联立得,得y2-4ky-4k=0,因而=16k2+16k=0,即k=-1.从而k=-1或0.9【答案】ca=,所以e=.10【答案】(2,-1)【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设ap:y-1=k(x-1),与抛物线c:y2=x联立,消去x,得ky2-y+1-k=0,由根与系数的关系可得, ,即p(1-kk)2,1-kk),同理可得q(k+1)2, -k-1),所以直线pq的斜率kpq=,所以直线pq:(1-k2-2k)y=kx+k2-1.通过对比可知,x=2,y=-1满足条件,即直线pq恒过定点(2,-1).11【答案】1【解析】设ax1,y1,bx2,y2,因为af=3fb,所以y1=-3y2,因为e=22,设a=2t,c=2t,b=2t,所以x2+2y2-4t2=0 ,设直线ab的方程为x=sy+2t,将其代入式,可得s2+2y2+22sty-2t2=0,所以y1+y2=，所以所以s2=1,k=1.故答案为1.12【解析】（1）由题意知，解得因此，所求双曲线的方程是，即（3）设直线与双曲线的交点为，由（2）可得，又以线段为直径的圆经过坐标原点，因此，为坐标原点），于是，即，即，即，解得又满足，且，所以，所求实数的值为13【解析】(1)由已知得a=2,b=3,故椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)m(x0,y0),f2(1,0)且x0-2,2,则|mf2|=(x0-1)2+(y0-0)2=(12x0-2)2=|12x0-2|1,3,当且仅当m(x0,y0)为右顶点时,|mf2|min=1.(3)设p(x1,y1),q(x2,y2),由kab=,可设直线pq:y=x+m,代入x24+y23=1,得3x2+23mx+2m2-6=0,由根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.则|pq|=.当且仅当m=0时,|pq|max=14,此时点f1(-1,0)到直线pq:3x-2y=0的距离h=,故sf1pq=12|pq|h=. 上，可解得，则，故椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，则由消去，得，则，.由，得，整理得，故.故为定值.15【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，又直线与以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆相切，则，即，由，解得.故椭圆c的方程为若直线的斜率存在，设直线的方程为，易知设，由得，则，.（1），即，即.把（1）代入得，则，故.则直线的方程为，即，故直线ab过定点直通高考由，得则，因为点p的坐标为（1，1），所以直线op的方程为，点a的坐标为直线on的方程为，点b的坐标为因为，所以，故a为线段bm的中点【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量2【解析】（1）设，由可得，则又，故因此的斜率与的斜率之积为，所以故坐标原点在圆上由（1）可得所以，解得或当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.3【解析】（1）设的坐标为依题意，解得，于是所以椭圆的方程为，抛物线的方程为（2）设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故将与联立，消去整理得，解得或由点异于点，可得点由，可得直线的方程为，令，解得，故，所以又的面积为，故，整理得，解得，所以所以，直线的方程为或【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列