高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示例题与探究 新人教A版必修4.doc

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示典题精讲例1如图2-3-2，在平行四边形abcd中，m、n分别为、的中点，已知=c， =d，试用c、d表示和.图2-3-2思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，则由m、n分别为dc、bc的中点,得=b,=a.从abn和adm中可得解得即=(2d-c)，=(2c-d).绿色通道：从解答本题的过程来看，策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组的知识解得和.变式训练如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，那么下列叙述中错误的有（ ）e1+ e2（、r）可以表示平面内的所有向量对于平面中的任一向量a，使a=e1+ e2的实数、有无数多对 若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线，则有且只有一个实数，使1e1+1e2=（2e1+2e2） 若实数、使e1+ e2=0，则=0a. b. c. d.思路解析：由平面向量基本定理可知命题为真命题，而命题是假命题.当1e1+1e2=（2e1+2e2），当1=2=1=2时，对任意实数，均有1e1+1e2=（2e1+2e2）.因此，命题也是假命题.答案：b例2已知平面内三个点a(1,-2),b(7,0),c(-5,6),求,+,2+.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：a(1,-2),b(7,0),c(-5,6),=(7-1,0+2)=(6,2),=(-5-1,6+2)=(-6,8),+=(6-6,2+8)=(0,10).2+=2(6,2)+(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8).绿色通道：本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.变式训练 已知abcd中，a(-1，0)，b(3，0)，c(1，-5)，则d的坐标为( )a.(-3，-5) b.(-3，5) c.(5，-5) d.(-2，5)思路解析：设d(x,y)，四边形abcd是平行四边形，=.又=(4,0)，=(1-x,-5-y)，1-x=4且-5-y=0.x=-3,y=-5.答案：a例3用坐标法证明+=0.思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算.证明：设a(a1,a2)、b(b1,b2)、c(c1,c2),则=(b1-a1,b2-a2),=(c1-b1,c2-b2),=(a1-c1,a2-c2).+=(b1-a1,b2-a2)+(c1-b1,c2-b2)+(a1-c1,a2-c2)=（b1-a1+c1-b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2-c2）=(0，0)=0.+=0.绿色通道：这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点a、b、c是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0.变式训练求证：=0.思路分析：这个证明过程完全是n个点坐标的计算，无需考虑点a1、a2、an是共线还是不共线的位置关系. 证明：设a1(x1,y1),a2(x2,y2),a3(x3,y3),an(xn,yn)，则=(x2-x1,y2-y1)，=(x3-x2,y3-y2),，=(x1-xn,y1-yn),=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)+(x1-xn,y1-yn)=(x2-x1+x3-x2+x1-xn,y2-y1+y3-y2+y1-yn)=(0,0).=0.例4（2006湖南高考卷，文10）如图2-3-3，omab，点p在由射线om、线段ob及ab的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且=x+y，则实数对（x,y）可以是（ ）图2-3-3a.(,) b.(-,) c.(-,) d.()思路分析：据平面向量基本定理和平行四边形法则对各选项进行验证。选项a，p在ob下；选项b，p在om上；选项d，p在ab延长线上方，均不符合p在阴影部分的要求.答案：c黑色陷阱：解题中应注意避免忽略点p的位置范围而引发错误.向量是近几年高考的热点，复习过程中要注意正确理解向量的相关知识及其应用.变式训练一船以每小时8千米的速度向东航行，船上人测得风自北方来，若船速加倍，则测得风自东南方来，求风速.思路分析：船上人测得的风速是风对船的相对速度，明白了这个道理解决这个问题就很简单了.解：分别取正东、正北方向为x、y轴建立直角坐标系，令x、y轴正方向上的单位向量为i、j，则风速可表示为x i+yj，第一次船速为8i，船上人测得的风速为-pj(p0).xi+yj+8i=-pj.x=-8.第二次船速为16i，船上人测得的风速为-q(i+j)(q0).xi+yj+16i=-q(i+j).x+16=-q=y.y=-8.风速为8i-8j，即风的方向为东南方向，大小为8千米/时.问题探究问题试探究命题“如果a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则a1b2-a2b1=0ab”成立.导思： 若a、b其中一个为零向量，则零向量与任何向量共线，显然成立.若a、b均不为零向量，可借助平面向量基本定理证明，结合向量的直角坐标运算来证之.探究：（1）若a1b2-a2b1=0.1o若b1=b2=0,即b=0，此时ab成立；2o若b1=0，b20，则a1=0，此时a=(0,a2)，b=(0,b2)，ab成立；3o若b10且b20，则由a1b2-a2b1=0,得.令=，即a1=b1,a2=b2，a=(a1,a2)= (b1,b2)=(b1,b2)=b.ab.因此，若a1b2-a2b1=0，则ab.（2）若ab.1o若a、b其中一个为零向量，不妨设b=(0,0)，则a1b2-a2b1=0成立；2o若a、b均不为零向量，因为ab，则存在唯一实数使