2013年全国高考文科数学试题及答案-辽宁卷.pdf

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷 年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷 数数 学 供文科考生使用 学 供文科考生使用 第第 I 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已知集合 1 2 3 4 2 ABx xAB 的等差数列 n a的四个命题 1 n pa数列是递增数列 2 n pna数列是递增数列 3 n a p n 数列是递增数列 4 3 n pand 数列是递增数列 其中的真命题为 A 12 p p B 34 pp C 23 pp D 14 p p 答案 答案 D 解析 因为 解析 因为 且 且所以函数所以函数是增函数 所以是增函数 所以 1 P正正 确 确 增区间是增区间是 当当 不是递增不是递增 所以所以 2 P 错 错 如果如果是递减数列 是递减数列 是常数列 是常数列 是递增数列 所以是递增数列 所以 3 P 错 错 是递增数列 是递增数列 4 P正确正确 选选 D 5 某学校组织学生参加英语测试 成绩的频率分布直方图如图 数据的分组一次为 20 40 40 60 60 80 8 20 100 若低于 60 分的人数是 15 人 则该班的学生人数是 A 45 B 50 C 55 D 60 答案 B 解析 第一 第二小组的频率分别是 0 005 20 0 1 0 01 20 0 2 所以低于 60 分 的频率是 0 3 设班级人数为 x 则 选 B 6 在ABC 内角 A B C所对的边长分别为 a b c 1 sincossincos 2 aBCcBAb abB 且则 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案 答案 A 1 sincossincos 2 aBCcBAb 因为因为 0 Bb 所以所以 B 为锐角为锐角 所以所以 B 选 选 A 7 已知函数 2 1 ln1 931 lg2lg 2 f xxxff 则 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 答案 D 解析 解析 2 ln 193 1fxxx 所以所以 2f xfx 因为 因为lg2 1 lg 2 0 所以所以 选选 D 8 执行如图所示的程序框图 若输入8 nS 则输出的 A 4 9 B 6 7 C 8 9 D 10 11 答案 答案 A 解析 解析 2 1 1 ss i 是对是对 2 1 1i 求和 因为求和 因为 2 1111 2111iii 同时同时2ii 所以所求和为 所以所求和为 1111111 2 133579 L 4 9 9 已知点 3 0 0 0 ABC OAbB a a 若为直角三角形 则必有 A 3 ba B 3 1 ba a C 33 1 0baba a D 33 1 0baba a 答案 C 解析 若 A 为直角 则根据 A B 纵坐标相等 所以 3 0ba 若 B 为直角 则利用 1 OBAB KK 或得 3 1 0ba a 所以选 C 10 已知三棱柱 111 6 34ABCABCOABAC 的 个顶点都在球 的球面上若 ABAC 1 12AAO 则球 的半径为 A 3 17 2 B 2 10 C 13 2 D 3 10 答案答案 C 解析 如图 因为 解析 如图 因为 ABAC 所以所以 BC 是小圆是小圆的直径 的直径 是小圆是小圆的直径 的直径 所以球心在所以球心在的中点的中点 R 11 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左焦点为 F C与过原点的直线相交于 A B两点 连接 AF BF 若 则 C 的离心率为 A 3 5 B 5 7 C 4 5 D 6 7 答案 答案 B 解析 设 解析 设为椭圆的右焦点 由椭圆的对称性知 四边形为椭圆的右焦点 由椭圆的对称性知 四边形 AFB是平行四边形 由是平行四边形 由 得得 AF 6 即有即有 所以 所以 c FO 2a AF A 所以 所以 e 选选 B 12 已知函数 2222 22 228 f xxaxag xxaxa 设 12 max min max Hxf xg xHxf xg xp q 表示 p q中的较 大值 min p q表示 p q中的较小值 记 1 Hx得最小值为 A 2 Hx得最小值为B 则 AB A 2 216aa B 2 216aa C 16 D 16 答案 C 解析 解析 解得 解得 两曲线交 点为 两曲线交 点为 M N AB 16 选 选 C 第第 II 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 22 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分分 13 某几何体某几何体的的三视三视图如图所图如图所示示 则该几何体则该几何体的的体积体积是是 答案 答案 1616 解析 直 解析 直观观图是圆图是圆柱柱中中去除去除正四正四棱柱棱柱 V 22 2424 1616 14 已知等 已知等比比数列数列 13nnn aSanaa是递增数列 是的前 项和 若 是方程 2 6 540 xxS 的两个根 则 答案 答案 63 解析 解方 解析 解方程程得得 13 1 4aa 所以 所以 23 1 4 a q a 2q 代入代入等等比比求和求和 公式得公式得 6 63S 15 已知 已知F为双曲线 22 1 916 xy CP QCPQ 的左焦点 为 上的点 若的长等于 虚轴长的2倍 点 A在线段 PQ 上 则 PQF 的周长为 答案 答案 44 解析 解析 6 6 FPPAFQQA 8 28FPFQ P y 44FPFQPQ 16 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数 在全校随机抽取 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数 在全校随机抽取 5 个班级 把每个班 级参加该小组的认为作为样本数据 个班级 把每个班 级参加该小组的认为作为样本数据 已知样本平均数为已知样本平均数为 7 样本方差为 样本方差为 4 且样本数据互相 不相同 则样本数据中的最大值为 且样本数据互相 不相同 则样本数据中的最大值为 答案 10 解析 方法一 设五个班级的数据分别为 解析 方法一 设五个班级的数据分别为 0 7 在 在中最大的不能是中最大的不能是 假 设当最大值是 假 设当最大值是时 时 由于由于 所以所以或两个为或两个为 1 一个 为 一个 为 2 一个为 一个为 0 都不符合数据不等和整数的条件 因此最大值只能是 都不符合数据不等和整数的条件 因此最大值只能是 又 又 20 所以数据为所以数据为 4 6 7 8 10 方法二 设五个班级的数据分别为方法二 设五个班级的数据分别为 00 对对恒成立 所以恒成立 所以 4 4点在抛物线上 1 MC过作 0 12A B MOA BOx 的切线 切点为为原点 时 重合于当时 1 2 MA切线的斜率为 I P求 的值 II 2 MCABN当在上运动时 求线段中点 的轨迹方程 A BOO重合于 时中点为 解析解析 I 因为 因为抛物线抛物线 4 上任意上任意一点一点的的切线斜率切线斜率为为 且且切线切线 MA 的的斜率斜率 为为 所以 所以 A 点的点的坐标坐标为为 故故切线切线 MA 的方的方程程为为 因为因为 M在在切线切线 MA 与与抛物线抛物线上上 于于是是 所以所以 P 2 II 设设 N A B 由由 N 为为线线段段 AB 中点知中点知 切线切线 MA MB 的方程为 的方程为 MA MB 的交点的交点 M的坐标为 的坐标为 又又 M在在上 即上 即 所以所以 所以所以 当当时也满足所以时也满足所以 AB 中点轨迹方程为中点轨迹方程为 21 本小题满分 12 分 I 证明 当 2 0 1sin 2 xxxx 时 II 若不等式 3 2 22 cosx40 1 2 x axxxxa 对恒成立 求实数 的取 值范围 解析 解析 I 记 记 F 则则当当 时 时 F在在上上是增函数 当是增函数 当 时 时 F在在上上是减函数 是减函数 又又 F F 所以当所以当 时时F 即即 记记H 则则当当 时 时 2 时 时 0 对对 不恒成立 综上 实数 不恒成立 综上 实数 a 的取值范围是 的取值范围是 2 解法二 记 解法二 记 则 则 记 记 G 则则 2 3 当 当时 时 因此因此0 6 时 时 所以当 所以当 时 时 因此 因此 在在上是增函数 故上是增函数 故 当 当0 故存在 故存在使 使 0 则当则当 0 x 0 所以所以在在上是增函数 所 以当 上是增函数 所 以当时 时 所以当 所以当时 不等式时 不等式对对 不恒成立 综上 实数 不恒成立 综上 实数 a 的取值范围是 的取值范围是 2 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一 题计分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 ABOCDOE ADCDD 为直径 直线与相切于垂直于于 BC垂直于 CDCEFFAE BE于 垂直于 连接证明 I FEBCEB II 2 EFAD BC 解析 解析 I 由直线 由直线 CD 与圆与圆 O 相切 得 相切 得 CEB EAB 由由 AB 为圆为圆 O 的直径 得的直径 得 AE EB 从而 从而 EAB EBF 又又 EF AB 得 得 FEB EBF 从而 从而 EAB FEB 故 故 FEB CEB II 由 由 BC CE EF AB FEB CEB BE 是公共边 得是公共边 得 Rt BCE Rt AFE 得得 AD AF 又在又在 Rt AEB 中 中 EF AB 故故 所以所以 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点 x轴正半轴为极轴建立坐标系 圆 1 C 直线 2 C的极 坐标方程分别为4sin cos2 2 4 I 12 CC求与交点的极坐标 II 112 PCQCCPQ设 为 的圆心 为与交点连线的中点已知直线的参数方程为 3 3 1 2 xta tRa b b yt 为参数求的值 解析解析 I 圆 圆的直角的直角坐标坐标方方程程为为 直直线线的直角的直角坐标坐标方方程程为为 解解得得 所以所以交交点的点的极极坐标坐标为为 注注不不唯唯一一 II P Q 的直角的直角坐标坐标为为 PQ 的直角方的直角方程