高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程学案 新人教A版选修21.doc

2.1.2求曲线的方程学习目标1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念. 知识点一坐标法的思想思考1怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.思考2依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？答案不惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.梳理(1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法.(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程.通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质.知识点二求曲线的方程的步骤类型一直接法求曲线的方程例1一个动点p到直线x8的距离是它到点a(2，0)的距离的2倍.求动点p的轨迹方程.解设p(x，y)，则|8x|2|pa|.则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点p的轨迹方程为3x24y248.引申探究若本例中的直线改为“y8”，求动点p的轨迹方程.解据题设p(x，y)，则p到直线y8的距离d|y8|，又|pa|，故|y8|2，化简，得4x23y216x16y480.故动点p的轨迹方程为4x23y216x16y480.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件.(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明.特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.跟踪训练1已知两点m(1，0)，n(1，0)，且点p使，成公差小于零的等差数列.求点p的轨迹方程.解设点p(x，y)，由m(1，0)，n(1，0)，得(1x，y)，(1x，y)，(2，0).2(x1)，x2y21，2(1x).于是，成公差小于零的等差数列等价于即点p的轨迹方程为x2y23(x0).类型二代入法求解曲线的方程例2动点m在曲线x2y21上移动，m和定点b(3，0)连线的中点为p，求p点的轨迹方程.解设p(x，y)，m(x0，y0)，因为p为mb的中点，所以即又因为m在曲线x2y21上，所以(2x3)24y21.所以p点的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟代入法求解轨迹方程的步骤(1)设动点p(x，y)，相关动点m(x0，y0).(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程.(4)化简、整理，得所求轨迹方程.跟踪训练2abc的顶点a固定，点a的对边bc的长是2a，边bc上的高的长是b，边bc沿一条定直线移动，求abc外心的轨迹方程.解如图所示，以bc所在的定直线为x轴，以过a点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则a点的坐标为(0，b).设abc的外心为m(x，y)，作mnbc于n，则mn是bc的垂直平分线.|bc|2a，|bn|a，|mn|y|.又m是abc的外心，mm|ma|mb|.而|ma|，|mb|，化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.类型三根据曲线的方程求两曲线的交点例3过点m(1，2)的直线与曲线y(a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.解当过m点的直线斜率为零或斜率不存在时，不可能与曲线有两个公共点.设直线方程为y2k(x1)(k0)，联立曲线方程，得消去x，得y2(2k)yka0.当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.(2k)24ka0.设方程的两根分别为y1，y2，由根与系数的关系，得y1y22k.又y1y2a，k2a，代入0中，得a24a(2a)0，解得0a.又k0，2a0，即a2.a的取值范围是(0，2)(2，).反思与感悟结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线c1和c2的方程分别为f(x，y)0和g(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.跟踪训练3直线l：yk(x5)(k0)与圆o：x2y216相交于a，b两点，o为圆心，当k变化时，求弦ab的中点m的轨迹方程.解设m(x，y)，易知直线恒过定点p(5，0)，再由ommp，得|op|2|om|2|mp|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点m应在圆内，所求的轨迹为圆内的部分.解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故所求轨迹方程为(x)2y2(0x).1.曲线y与xy2的交点是()a.(1，1)b.(2，2)c.直角坐标系内的任意一点d.不存在答案d解析联立方程组无解.2.方程x2y21(xy0)表示的曲线是()答案d解析xy0时，y0，曲线应在第四象限；当x0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.3.直线1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_.答案xy10(x0，x1)解析设直线1与x，y轴交点为a(a，0)，b(0，2a)，a，b中点为m(x，y)，则x，y1，消去a，得xy1.a0，a2，x0，x1.4.已知o的方程是x2y220，o的方程是x2y28x100，由动点p向o和o所引的切线长相等，则动点p的轨迹方程是_.答案x解析设动点p(x，y)，则，化简整理得x.5.m为直线l：2xy30上的一动点，a(4，2)为一定点，又点p在直线am上运动，且appm3，求动点p的轨迹方程.解设点m，p的坐标分别为m(x0，y0)，p(x，y)，由题设及向量共线条件可得所以因为点m(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y30，从而点p的轨迹方程为8x4y30.求解轨迹方程常用方法(1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程.(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程.(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.(5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.40分钟课时作业一、选择题1.下列各组方程中表示相同曲线的是()a.yx，1b.yx，yc.|y|x|，d.|y|x|，y2x2答案d解析a中yx表示一条直线，而1表示直线yx，除去点(0，0)；b中yx表示一条直线，而y表示一条折线；c中|y|x|表示两条直线，而表示一条射线；d中|y|x|和y2x2均表示两条相交直线.故选d.2.如图所示的图象对应的方程是()a.|x|y0b.10c.x|y|0d.10答案c解析据图，当x0，y0时，yx；当x0，y0时，yx，只有选项c符合要求，故选c.3.已知02，点p(cos ，sin )在曲线(x2)2y23上，则的值为()a. b. c.或 d.或答案c解析由(cos 2)2sin23，得cos .又因为02，所以或.4.已知点a(1，0)，b(1，0)，且0，则动点m的轨迹方程是()a.x2y21 b.x2y22c.x2y21(x1) d.x2y22(x)答案a解析设动点m(x，y)，则(1x，y)，(1x，y). 由0，得(1x)(1x)(y)(y)0， 即x2y21.5.过三点a(1，3)，b(4，2)，c(1，7)的圆交y轴于m、n两点，则|mn|等于()a.2 b.8 c.4 d.10答案c解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以，即abbc，故过三点a、b、c的圆以ac为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|mn|y1y2|4，选c.6.已知两点a(，0)，b(，0)，点p为平面内一动点，过点p作y轴的垂线，垂足为q，且22，则动点p的轨迹方程为()a.x2y22 b.y2x22c.x22y21 d.2x2y21答案b解析设动点p的坐标为(x，y)，则点q的坐标为(0，y)，(x，0)，(x，y)，(x，y)，x22y2.由22，得x22y22x2，所以所求动点p的轨迹方程为y2x22.二、填空题7.已知定点a(0，1)，直线l1：y1，记过点a且与直线l1相切的圆的圆心为点c.则动点c的轨迹e的方程为_.答案x24y解析设动点c(x，y)，根据题意可知，点c到点a的距离与到直线l1：y1的距离相等，所以|y1|，两边平方整理得x24y.8.点a(1，2)在曲线x22xyay50上，则a_.答案5解析由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.9.过点p(0，1)的直线与曲线|x|1相交于a，b两点，则线段ab长度的取值范围是_.答案2，4解析曲线|x|1可化为x1，(x1)2(y1)21，或x0.过点m作mbx轴，垂足是点b，则|mf|mb|2，即y2，整理得x2(y2)2(y2)2，化简得yx2，所以所求曲线的方程是yx2(x0).12.已知线段ab，b点的坐标为(6，0)，a点在曲线yx23上运动，求线段ab的中点m的轨迹方程.解设线段ab的中点m的坐标为(x，y)，点a(x1，y1)，则得由题知点a(x1，y1)在曲线yx23上，所以2y(2x6)23，所以线段ab的中点m的轨迹方程为y2(x3)2.13.已知直角坐标平面上点q(2，0)和圆o：x2y21，m为直角