浙江省深化课程改革协作校联考高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

浙江省深化课程改革协作 校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）设集合a=x|x23x40，b=x|2x3，则（ra）b=（）arb2，1c1，3d2，42（5分）已知函数f（x）=acos（x+）（a0，r），则“f（x）是偶函数”是“=”的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件3（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）a16b16+c162d16+24（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）a向左平行移动2个单位长度b向右平行移动2个单位长度c向左平行移动1个单位长度d向右平行移动1个单位长度5（5分）设等差数列an的公差为d，若数列a1an为递增数列，则（）ad0bd0ca1d0da1d06（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，和是两个不同的平面，且a，b，=c下列命题中正确的是（）a若a与b是异面直线，则c与a，b都相交b若a不垂直于c，则a与b一定不垂直c若ab，则acd若ab，ac则7（5分）已知a，b，c是圆o：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）a（0，2）b（1，4）c（2，4）d（3，4）8（5分）过双曲线=1（a0，b0）的右焦点f作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b，c若=2，则双曲线的离心率是（）abc5d9（5分）在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，pa底面abcd，m是棱pc上一点若pa=ac=a，则当mbd的面积为最小值时，直线ac与平面mbd所成的角为（）abcd10（5分）已知非空集合a，b，c，若a=y|y=x2，xb，b=y|y=，xc，c=y|y=x3，xa，则a，b，c的关系为（）aa=b=cba=bccab=cdabc二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11（4分）已知角终边经过点p（12，5），则sin=12（4分）设f（x）=，则ff（）=13（4分）已知数列an的前n项和为sn，若2sn=3an2n（nn*），则数列an的通项公式为14（4分）已知实数x，y满足约束条件，若ymx2恒成立，则实数m的取值范围为15（4分）若函数f（x）=x|2xa|（a0）在区间2，4上单调递增，则实数a的取值范围是16（4分）已知抛物线y2=2px过点m（，），a，b是抛物线上的点，直线oa，om，ob的斜率成等比数列，则直线ab恒过定点17（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）在锐角abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sinb=2sin（+b）sin（b）（）求角b的大小；（）若b=1，求abc的面积的最大值19（14分）已知等差数列an的公差为1，首项为正数，将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，（）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且sm，sn，sp成等比数列20（14分）在多面体abcde中，bc=ba，debc，ae平面bcde，bc=2de，f为ab的中点（）求证：ef平面acd；（）若ea=eb=cd，求二面角bade的正切值的大小21（15分）若椭圆c1：=1（ab0），过点q（1，）作圆c2：x2+y2=1的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点（）求椭圆的标准方程；（）若直线l与圆c2相切于点p，且交椭圆c1于点m，n，求证：mon是钝角22（15分）设函数f（x）=x2+px+q，p，qr（）若p+q=3，当x2，2时，f（x）0恒成立，求p的取值范围；（）若不等式|f（x）|2在区间1，5上无解，试求所有的实数对（p，q）浙江省深化课程改革协作校联考2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1（5分）设集合a=x|x23x40，b=x|2x3，则（ra）b=（）arb2，1c1，3d2，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题；集合分析：化简集合a=x|x4或x1，从而求ra=x|1x4再求（ra）b=x|1x3解答：解：a=x|x23x40=x|x4或x1，b=x|2x3，ra=x|1x4，则（ra）b=x|1x3，故选c点评：本题考查了集合的化简与集合的运算，属于基础题2（5分）已知函数f（x）=acos（x+）（a0，r），则“f（x）是偶函数”是“=”的（）a必要不充分条件b充分不必要条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据三角公式可得），acos（x+）=acos（x+），=k，kz，再由充分必要条件的定义可判断解答：解：函数f（x）=acos（x+）（a0，r），f（x）是偶函数f（x）=f（x），acos（x+）=acos（x+）sin=0，即=k，kz，根据充分必要条件的定义可判断：“f（x）是偶函数”是“=”的必要不充分条件，故选：a点评：本题考查了充分必要条件的定义，三角函数的运算公式，属于中档题3（5分）某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（）a16b16+c162d16+2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，底面面积s底=222=4，底面周长c=41+221=4+，由该几何体的高h=2，故该几何体的侧面积s侧=ch=8+2，故该几何体的表面积s=s侧+2s底=16+，故选：b点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键4（5分）为了得到函数y=sin（2x+2）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）a向左平行移动2个单位长度b向右平行移动2个单位长度c向左平行移动1个单位长度d向右平行移动1个单位长度考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论解答：解：y=sin（2x+2）=sin2（x+1），将函数y=sin2x图象向左平移1单位，即可，故选：c点评：本题主要考查三角函数图象之间的关系，根据三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键5（5分）设等差数列an的公差为d，若数列a1an为递增数列，则（）ad0bd0ca1d0da1d0考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用数列a1an的后一项与前一项的差大于0得答案解答：解：数列an是公差为d的等差数列，且数列a1an为递增数列，a1ana1an1=a1（anan1）=a1d0故选：d点评：本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的性质，是基础题6（5分）已知a，b，c为三条不同的直线，和是两个不同的平面，且a，b，=c下列命题中正确的是（）a若a与b是异面直线，则c与a，b都相交b若a不垂直于c，则a与b一定不垂直c若ab，则acd若ab，ac则考点：空间中直线与直线之间的位置关系 专题：阅读型；空间位置关系与距离分析：若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，即可判断a；若a不垂直于c，假设ac，bc，则有ba，即可判断b；运用线面平行的判定定理和性质定理，即可判断c；运用面面垂直的判定定理，即可判断d解答：解：对于a若a，b是异面直线，则c与a，b都相交，或与a，b中一条相交，一条平行，故a错；对于b，若a不垂直于c，假设ac，bc，则有ba，故b错；对于c若ab，则由线面平行的判定定理得，a，再由线面平行的性质定理，可得ac，故c对；对于d若ab，ac，如果bc，则、不垂直，只有b、c相交，才有，故d错故选c点评：本题考查空间直线的位置关系，考查线面平行的判定和性质的运用，考查面面垂直的判定定理，考查空间想象能力，属于中档题和易错题7（5分）已知a，b，c是圆o：x2+y2=1上任意的不同三点，若=3+x，则正实数x的取值范围为（）a（0，2）b（1，4）c（2，4）d（3，4）考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：三点a，b，c在圆o：x2+y2=1上，所以|oa|=|ob|=|oc|=1，所以可以想到对两边进行平方，从而去掉向量符号，得到1=9，并求出可以判断，所以，解该不等式即得x的取值范围解答：解：根据已知条件知：；对两边平方可得：1=；x0，；a，b，c是不同三点；，；，解得2x4；正实数x的取值范围为（2，4）故选c点评：考查向量的长度的概念，向量数量积的计算公式，向量夹角的概念及范围，以及解分式不等式，一元二次不等式组8（5分）过双曲线=1（a0，b0）的右焦点f作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b，c若=2，则双曲线的离心率是（）abc5d考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把b，c表示出来，再=2，求出a，b，c，然后求双曲线的离心率解答：解：因为f（c，0），所以过双曲线=1（a0，b0）的右焦点f作斜率为1的直线为：y=xc，渐近线的方程是：y=x，由得：b（，），由得，c（，），所以=（c，），=（，），又，解得：b=3a，所以由a2+b2=c2得，10a2=c2，所以e=故选：d点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意两点间距离公式的合理运用9（5分）在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，pa底面abcd，m是棱pc上一点若pa=ac=a，则当mbd的面积为最小值时，直线ac与平面mbd所成的角为（）abcd考点：直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：首先证明通过线面垂直进一步证明所以bd平面pac，然后当mbd的面积为最小时，只需om最小即可，过o点作ompc，不影响线面的夹角由于pa=ac=a，进一步求出结果，解答：解：连结ac，bd交于o，在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，pa底面abcd，所以：pabdacbd所以bd平面pac进一步求出：bm=dm过o点作ompc于m，当mbd的面积为最小时，只需om最小即可若pa=ac=a所以：acp=即为所求故选：b点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面夹角的应用，菱形的性质定理属于基础题10（5分）已知非空集合a，b，c，若a=y|y=x2，xb，b=y|y=，xc，c=y|y=x3，xa，则a，b，c的关系为（）aa=b=cba=bccab=cdabc考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：由集合a，b，c的表示形式及元素与集合的关系知：任意的xa，都有xc，而任意的xc，都有xa，所以a=c，同样的办法可得到a=b，所以a，b，c的关系为：a=b=c解答：解：根据集合a，b知：对应xa，能得到xb，xc，即a中任意一个元素都是集合c的元素；根据集合c知：对应xc，都有xa，即c中任意一个元素都是集合a的元素；集合a，c的元素相同，即a=c；同理可得a=b；a=b=c故选a点评：考查描述法表示集合，以及元素与集合的关系，也可通过子集的概念：根据已知条件知，abca，所以a=b二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11（4分）已知角终边经过点p（12，5），则sin=考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin的值解答：解：角终边经过点p（12，5），x=12，y=5，r=|op|=13，则sin=，故答案为：点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题12（4分）设f（x）=，则ff（）=10考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：将其代入解析式lgx求出值为1，10代入解析式10x求出值解答：解：，ff（）=f（1）=10故答案为：10点评：本题考查分段函数求函数值，关键是判定出自变量所属的范围，属于基础题13（4分）已知数列an的前n项和为sn，若2sn=3an2n（nn*），则数列an的通项公式为考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：令n=1，得a1=2，当n2时，2an=3an3an12，由此推导出数列an+1是首项为3公比为3的等比数列，从而得到解答：解：令n=1，得2a1=3a12，解得a1=2，当n2时，由2sn=3an2n（nn*），得2sn1=3an12（n1），两式相减得2an=3an3an12整理得=3，数列an+1是首项为3公比为3的等比数列，an=3n1故答案为：点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用14（4分）已知实数x，y满足约束条件，若ymx2恒成立，则实数m的取值范围为1m2考点：简单线性规划 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：由题意作出其平面区域，ymx=2恒过点（0，2），且m是ymx=2斜率，由图可知斜率m的取值范围解答：解：由题意作出其平面区域，ymx=2恒过点（0，2），且m是ymx=2斜率，则由上图可知，若使ymx2恒成立，则1m2，故答案为：1m2点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题15（4分）若函数f（x）=x|2xa|（a0）在区间2，4上单调递增，则实数a的取值范围是（0，416，+）考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：化为分段函数，根据函数的单调性，求的a的范围，利用了数形结合的思想解答：解：f（x）=x|2xa|（a0），f（x）=，当x时，f（x）=2x2ax，函数f（x）在，+）为增函数，当x时，f（x）=2x2+ax，函数f（x）在（，）为增函数，在（，）为减函数又函数f（x）=x|2xa|在2，4上单调递增，2或，又a0，0a4或a16故答案为：（0，416，+）点评：本题主要考查了根据函数的单调性求出参数的取值范围的问题，属于基础题16（4分）已知抛物线y2=2px过点m（，），a，b是抛物线上的点，直线oa，om，ob的斜率成等比数列，则直线ab恒过定点（，0）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出抛物线方程，再利用直线oa，om，ob的斜率成等比数列，可得y1y2=，求出直线方程令y=0，可得直线ab恒过定点（，0）解答：解：抛物线y2=2px过点m（，），p=1，抛物线方程为y2=2x，设a（，y1），b（，y2），则直线oa，om，ob的斜率成等比数列，8=，y1y2=，直线ab的方程为yy1=（x），令y=0，可得x=y1y2=，直线ab恒过定点（，0）故答案为：（，0）点评：本题考查抛物线方程，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（4分）已知实数x，y满足3x+3y=9x+9y，则的取值范围是（1，考点：有理数指数幂的化简求值 专题：函数的性质及应用分析：设3x+3y=t，由题设条件结合基本不等式得t的范围，将所求化简为t2+t，利用二次函数区间的最值求范围解答：解：设3x+3y=t2，3x+y，又3x+3y=9x+9y=（3x+3y）223x+y，3x+y=0，t1；即t22t0，解得0t2；1t2；由已知，=3x+3y3x+y=t=t2+t=（t）2+，t=时，的最大值为；t=1时的最小值为1；所以的取值范围是（1，故答案为：（1，点评：本题考查了繁分式的化简；关键是由已知得到t的范围，借助于二次函数求最值，属于难题三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（14分）在锐角abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sinb=2sin（+b）sin（b）（）求角b的大小；（）若b=1，求abc的面积的最大值考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（）利用两角和与差的正弦公式化简式子，利用平方关系、条件求出角b的值；（）利用余弦定理得：b2=a2+c22accosb，把数据代入利用不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式求出面积的最大值解答：解：（）由条件得sinb=2（）（），即sinb=cos2bsin2b，由sin2b+cos2b=1得，2sin2b+sinb1=0，解得sinb=或sinb=1（5分）因为abc是锐角三角形，所以b=（7分）（）由余弦定理：b2=a2+c22accosb，把b=1，b=代入可以得到：，所以=2 （10分）所以 （13分）当且仅当a=c时取等号，此时abc的面积的最大值是（14分）点评：本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，平方关系等，以及利用不等式求三角形面积的最大值，这是常考的题型19（14分）已知等差数列an的公差为1，首项为正数，将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，（）求数列an的通项公式an与前n项和sn；（）是否存在三个不等正整数m，n，p，使m，n，p成等差数列且sm，sn，sp成等比数列考点：等比关系的确定；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（）由题意设前4项为a、a1、a2、a3，根据等比中项的性质分别列出四个方程，由等比数列的项不为零，求出a的值，代入通项公式和前n项和公式求出an与sn；（）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，根据等比中项的性质得sn2=smsp，把sn代入并化简，再由基本不等式得出矛盾，从而说明假设不成立解答：解：（）由题意设前4项为a、a1、a2、a3，且a0，因为4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，则（a1）2=a（a2）或（a2）2=（a1）（a3）或（a1）2=a（a3）或（a2）2=a（a3），又a0，且a1、2、3，解得a=4，所以an=5n，sn=（）假设存在三个不等正整数m，n，p满足条件，由sm，sn，sp成等比数列得，sn2=smsp，所以，即=，又m，n，p成等差数列，则2n=m+p，所以=（9n）2，且mp=n2，则，当且仅当m=p时取等号故不存在三个不等正整数m、n、p，使m、n、p成等差数列且sm，sn，sp成等比数列点评：本题考查等比中项的性质，等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及利用基本不等式证明数列的不等式问题，难度较大，比较综合20（14分）在多面体abcde中，bc=ba，debc，ae平面bcde，bc=2de，f为ab的中点（）求证：ef平面acd；（）若ea=eb=cd，求二面角bade的正切值的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取ac中点g，连接dg，fg，由已知得四边形defg是平行四边形，由此能证明ef平面acd（）过点b作bm垂直de的延长线于点m，过m作mhad，垂足为h，连接bh，则bhm是二面角bade的平面角，由此能求出二面角bade的正切值的大小解答：解：（）证明：取ac中点g，连接dg，fg因为f是ab的中点，所以fg是abc的中位线，则fgbc，fg=，所以fgde，fg=de，则四边形defg是平行四边形，所以efdg，故ef平面acd（）解：过点b作bm垂直de的延长线于点m，因为ae平面bcde，所以aebm，则bm平面ade，过m作mhad，垂足为h，连接bh，则ad平面bmh，所以adbh，则bhm是二面角bade的平面角设de=a，则bc=ab=2a，在bem中，em=，be=，所以bm=又因为ademdh，所以hm=，则tanbhm=点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（15分）若椭圆c1：=1（ab0），过点q（1，）作圆c2：x2+y2=1的切线，切点分别为a，b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点（）求椭圆的标准方程；（）若直线l与圆c2相切于点p，且交椭圆c1于点m，n，求证：mon是钝角考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由题意可知：c=1，koq=，则kab=2，由此能求出椭圆的标准方程（）当直线l的斜率不存在时，由题意得mon是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m（x1，y1），n（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m220=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明mon是钝角解答：（）解：由题意可知：c=1，koq=，则kab=2，（3分）所以直线ab的方程是y=2（x1），即y=2x+2，即b=2（5分）所以a2=b2+c2=5，故椭圆的标准方程为：（7分）（）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得mon是钝角，（9分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，m（x1，y1），n（x2，y2），与椭圆，联立得到：（5k2+4）x2+10kmx+5m220=0，则=x1x2+y1y2=（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2，由韦达定理，得，代