人教A版选修11 习题课3.2 导数运算及几何意义的综合问题 课件（25张）.pptx

习题课 导数运算及几何意义的综合问题 1 导数的几何意义 1 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线的斜率等于函数f x 在x0处的导数f x0 2 曲线的切线与该曲线不一定只有一个公共点 3 曲线在点p处的切线 与 曲线过点p的切线 含义是不同的 曲线在点p处的切线 时 点p就是切点 而 曲线过点p的切线 时 点p不一定是切点 2 导数的定义 做一做1 已知函数f x sinx cosx 且f x0 2f x0 则tanx0 a 3b 3c 1d 1解析 由f x sinx cosx 可得f x cosx sinx 又f x0 2f x0 cosx0 sinx0 2 sinx0 cosx0 整理得3cosx0 sinx0 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思想方法 导数几何意义的综合应用 例1 已知函数f x x3 x 16 1 求曲线y f x 在点 3 14 处的切线方程 2 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 3 若曲线y f x 的某一切线与直线y 4x 16平行 求切点坐标与切线的方程 思路点拨 利用导数的几何意义求解 但要注意 2 中切线经过原点 而原点不在曲线上 故应另设切点 3 中可知切线斜率 也应设出切点进行求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟利用导数的几何意义求曲线的切线方程时 要注意 过点p的切线 与 在点p处的切线 的差异 过点p的切线中 点p不一定是切点 点p不一定在已知曲线上 而在点p处的切线 必以点p为切点 点p一定在已知曲线上 遇到类似问题时 首先必须分清所给的点是否在已知曲线上 是否是切点 如果是切点 则该点处的导数即为切线的斜率 如果不是切点 则应首先设出切点坐标 再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系 进行求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1若曲线f x acosx与曲线g x x2 bx 1在交点 0 m 处有公切线 则a b a 1b 0c 1d 2解析 由于f 0 a g 0 1 m 又f 0 g 0 即 asin0 2 0 b 所以b 0 a b 1 答案 c 探究一 探究二 探究三 思想方法 导数定义式的应用 例2 已知函数f x 2lnx 8x 则的值为 a 20b 10c 10d 20思路点拨 将所给极限式进行整理变形 构造出导数定义中的极限式 从而转化为求函数在某一点处的导数值问题 然后利用导数运算法则求解 自主解答 因为f x 2lnx 8x 答案 d 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟在利用导数的定义解决这类问题时 增量 x的形式是多种多样的 但不论 x采用哪种形式 y中都必须选择相应的形式 按照这个原则 将所给极限式化为导数中的极限式的形式 根据导数定义得出结果 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 导数运算的综合应用 例3 用导数的方法求和 1 2x 3x2 4x3 2017x2016 x 0 x 1 思路点拨 结合幂函数的求导法则以及等比数列的前n项和公式求解 自主解答 设f x 1 2x 3x2 4x3 2017x2016 g x x x2 x3 x4 x2017 则有f x g x 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟本例中的求和问题 如果不用导数方法 需要用到数列中的乘公比错位相减法进行求解 计算过程复杂 容易出错 但借助导数公式 通过巧妙转化 使得求和过程非常简洁 充分体现了导数的广泛应用 因此在解决问题的过程中 要注意和导数的相关知识进行联系 借助导数求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练3已知函数f x x 1 x 2 x 3 x 2017 求f 1 f 2017 的值 解 由于f x x 1 x 2 x 3 x 2017 令g x x 2 x 3 x 2017 则f x x 1 g x 所以f x g x x 1 g x 于是f 1 g 1 0 g 1 g 1 1 2 3 2016 同理 设h x x 1 x 2 x 2016 即f x x 2017 h x 则f x h x x 2017 h x 所以f 2017 h 2017 2016 2015 2014 1 故f 1 f 2017 0 探究一 探究二 探究三 思想方法 等价转化思想在导数几何意义中的应用 典例 已知点p是曲线f x x2 lnx上任意一点 求点p到直线y x 2的距离的最小值 审题视角 所求点p应为与直线y x 2平行的曲线y x2 lnx的切线的切点 此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离 亦即切点到已知直线的距离 从而转化为求曲线y x2 lnx的斜率等于1的切线的切点坐标问题 故可借助导数的几何意义进行求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 自主解答 由已知 可得当点p是曲线f x 的平行于直线y x 2的切线的切点时 点p到直线y x 2的距离最小 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛这类 求某曲线上一点到某已知直线的最小距离 问题 都可结合图形 利用等价转化思想 将问题转化为求曲线上平行于已知直线的切线的切点问题 从而借助导数的几何意义进行求解 其基本步骤与方法如下 1 根据切线与已知直线平行 它们的斜率相等 得到切线的斜率 2 根据导数的几何意义 由切线的斜率得到切点的横坐标 3 由切点在曲线上 求得切点的纵坐标 得到切点的坐标 4 利用点到直线的距离公式求得最小距离 探究一 探究二 探究三 思想方法 跟踪训练点p是曲线f x x2上任意一点 则点p到直线y x 2的最小距离为 解析 依题意知 点p就是曲线f x x2的与直线y x 2平行的切线的切点 设点p的坐标为 x0 y0 因为f x 2x 所以曲线在点p处的切线的斜率为k 2x0 因为该切线与直线y x 2平行 答案 b 2 已知直线y x m是曲线f x x2 3lnx的一条切线 则m的值为 a 3b 2c 1d 0 3 如图 函数y f x 的图象在点p处的切线方程为x y 2 0 则f 1 f 1 a 1b 2c 3d 4解析 由条件知点 1 f 1 在直线x y 2 0上 且f 1 1 所以f 1 f 1 3 1 4 答案 d4 已知直线y kx b与曲线f x ax2 2 lnx相切于点p 1 4 则b 解析 由点p 1 4 在曲线f x ax2 2 lnx上可得a 2 所以所以曲线在x 1处的切线的斜率k f 1 5 因此切线方程为y 5x b 由点p 1 4 在切线上 可得b 1 答案 1 5 已知曲线c1 y x2与c2 y x 2 2 若直线l与c1 c2都相切 求直线l的