（课标通用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系学案 理.doc

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考纲展示1.理解空间直线、平面位置关系的定义2了解可以作为推理依据的公理和定理3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题考点1平面的基本性质及应用平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内(2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条_直线有且只有一个平面；推论3：经过两条_直线有且只有一个平面答案：(1)两点(2)不在一条直线上(3)一个(4)相交平行 (1)教材习题改编直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为()a1 b3 c6 d0答案：b(2)教材习题改编两两相交的三条直线最多可确定_个平面答案：3判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公理或定理)(1)如图所示，四边形abef和abcd都是直角梯形，badfab90，bcad，befa，g，h 分别为fa，fd的中点四边形bchg的形状是_；点c，d，e，f，g中，能共面的四点是_答案：平行四边形c，d，e，f解析：g，h分别为fa，fd的中点，gh綊ad.又bc綊ad，所以gh綊bc，所以四边形bchg为平行四边形由befa，g为fa的中点知，befg，所以四边形befg为平行四边形，所以efbg.由(1)知bgch，所以efch，所以ef与ch共面又dfh，所以c，d，e，f四点共面(2)在正方体abcda1b1c1d1中，对角线a1c与平面bdc1交于点o，ac与bd交于点m，则点o与直线c1m的关系是_答案：点o在直线c1m上解析：如图所示，因为a1c平面a1acc1，oa1c，所以o平面a1acc1，而o是平面bdc1与直线a1c的交点，所以o平面bdc1，所以点o在平面bdc1与平面a1acc1的交线上因为acbdm，所以m平面bdc1.又m平面a1acc1，所以平面bdc1平面a1acc1c1m，所以oc1m.典题1(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a，b，c，d共面，点a，b，c，e共面，则a，b，c，d，e共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面a0 b1 c2 d3答案b解析显然是正确的，可用反证法证明；中若a，b，c三点共线，则a，b，c，d，e五点不一定共面；构造长方体如图，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确(2)已知空间四边形abcd(如图所示)， e，f分别是ab，ad的中点，g，h分别是bc，cd上的点，且cgbc，chdc.求证：e，f，g，h四点共面；三直线fh，eg，ac共点证明连接ef，gh，e，f分别是ab，ad的中点，efbd.又cgbc，chdc，ghbd，efgh，e，f，g，h四点共面易知fh与直线ac不平行，但共面，设fhacm，m平面efhg，m平面abc.又平面efhg平面abceg，meg，fh，eg，ac共点点石成金共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点考点2空间两直线的位置关系 (1)教材习题改编已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是_答案：相交或异面解析：当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面(2)教材习题改编如图，正方体abcda1b1c1d1中，pq是异面直线a1d与aq的公垂线，则直线pq与bd1的位置关系为_(填序号)平行；异面；相交但不垂直；垂直答案：解析：a1db1c，pqa1d，pqb1c.又pqac，pq平面ab1c.acbd，acdd1，acbd1，同理b1cbd1，bd1平面ab1c，pqbd1.两条直线关系判断误区：异面直线概念、理解不透下列关于异面直线的说法正确的是_若a，b，则a与b是异面直线；若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；若a，b不同在平面内，则a与b异面；若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案：解析：中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知正确考情聚焦空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点主要有以下几个命题角度：角度一两直线位置关系的判定典题2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为()a0 b1 c2 d3答案b解析解法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错误，显然成立解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错误，正确(2) 2017浙江余姚模拟如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列说法错误的是()amn与cc1垂直bmn与ac垂直cmn与bd平行dmn与a1b1平行答案d解析如图，连接c1d，在c1db中，mnbd，故c正确；cc1平面abcd，bd平面abcd，cc1bd，mn与cc1垂直，故a正确；acbd，mnbd，mn与ac垂直，故b正确；a1b1与bd异面，mnbd，mn与a1b1不可能平行，故d错误故选d.点石成金点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直角度二异面直线的判定典题3(1)在下图中，g，n，m，h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh，mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案解析图中，直线ghmn；图中，g，h，n三点共面，但m平面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g，m，n共面，但h平面gmn，因此gh与mn异面所以在图中，gh与mn异面(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段ab，cd，ef，gh在原正方体中互为异面的对数为_对答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则ab，cd，ef和gh在原正方体中，显然ab与cd，ef与gh，ab与gh都是异面直线，而ab与ef相交，cd与gh相交，cd与ef平行故互为异面的直线有且只有3对点石成金异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到考点3异面直线所成角 典题4如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab2，则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为()a. b.c. d.答案d解析连接bc1，易证bc1ad1，则a1bc1即为异面直线a1b与ad1所成的角连接a1c1，由ab1知，aa12，a1c1，a1bbc1，故cosa1bc1.则异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.题点发散1将题干条件“aa12ab2”改为“ab1，若平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1”，问题不变解：因平面abcd内有且仅有一点到a1的距离为1，则aa11.此时正四棱柱变为正方体abcda1b1c1d1，由图知a1b与ad1所成角为a1bc1，连接a1c1.则a1bc1为等边三边形，a1bc160，cosa1bc1，故异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为.题点发散2将题干条件“aa12ab2”改为“ab1，若异面直线a1b与ad1所成角的余弦值为”，试求的值解：设t，则aa1tab.ab1，aa1t.a1c1，a1bbc1，cosa1bc1，t3，即3.题点发散3将题干条件“aa12ab2”改为“ab1，且平面abcd内有且仅有一点到顶点a1的距离为1”，则是否存在过顶点a的直线 l，使l与棱ab，ad，aa1所成角都相等若存在，存在几条？若不存在，请说明理由解：由条件知，此时正四棱柱为正方体如图，连接对角线ac1，显然ac1与棱ab，ad，aa1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线如连接bd1，则bd1与棱bc，ba，bb1所成的角都相等，因为bb1aa1，bcad，所以体对角线bd1与棱ab，ad，aa1所成的角都相等同理体对角线a1c，db1也与棱ab，ad，aa1所成角都相等，故过a作bd1，a1c，db1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条点石成金用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.已知三棱锥abcd中，abcd，且直线ab与cd所成的角为60，点m，n分别是bc，ad的中点，求直线ab和mn所成的角的大小解：解法一：如图，取ac的中点p，连接pm，pn，则pmab，且pmab，pncd，且pncd，所以mpn(或其补角)为ab与cd所成的角则mpn60或mpn120.若mpn60，因为pmab，所以pmn(或其补角)是ab与mn所成的角又因为abcd，所以pmpn，则pmn是等边三角形，所以pmn60，即ab与mn所成的角为60.若mpn120，则易知pmn是等腰三角形所以pmn30，即ab与mn所成的角为30.综上知，直线ab和mn所成的角为60或30.解法二：由abcd，可以把该三棱锥放在长方体aa1bb1c1cd1d中进行考虑，如图，由m，n分别是bc，ad的中点，所以mnaa1，即baa1(或其补角)为ab与mn所成的角连接a1b1交ab于o，所以a1b1cd，即aoa1(或其补角)为ab与cd所成的角所以aoa160或120.由矩形aa1bb1的性质可得baa160或30.所以直线ab和mn所成的角为60或30.方法技巧1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)2要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线3判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过点b的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面4求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关易错防范1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是.4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 真题演练集训 12016新课标全国卷平面过正方体abcda1b1c1d1的顶点a，平面cb1d1，平面abcdm，平面abb1a1n，则m，n所成角的正弦值为()a. b. c. d.答案：a解析：因为过点a的平面与平面cb1d1平行，平面abcd平面a1b1c1d1，所以mb1d1bd，又a1b平面cb1d1，所以na1b，则bd与a1b所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为，故选a.22015安徽卷已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()a若，垂直于同一平面，则与平行b若m，n平行于同一平面，则m与n平行c若，不平行，则在内不存在与平行的直线d若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案：d解析：可以结合图形逐项判断a项，可能相交，故错误；b项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；c项，若m，n，mn，则m，故错误；d项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故选d.32014辽宁卷已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()a若m，n，则mnb若m，n，则mnc若m，mn，则nd若m，mn，则n答案：b解析：解法一：若m，n，则m，n可能平行、相交或异面，a错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，b正确；若m，mn，则na或n，c错；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，d错解法二：如图，在正方体abcdabcd中，用平面abcd表示.a项中，若m为ab，n为bc，满足m，n，但m与n是相交直线，故a错b项中，m，n，mn，这是线面垂直的性质，故b正确c项中，若m为aa，n为ab，满足m，mn，但n，故c错d项中，若m为ab，n为bc，满足m，mn，但n，故d错4. 2015浙江卷如图，在三棱锥abcd中，abacb