高数下册期末试卷.docx

强者自强郑州轻工业学院2007-2008学年第二学期高等数学试卷A试卷号：A20080630一、填空题（每题3分，共18分）1、 。2、曲面在点处的切平面方程为 。3、设，交换积分次序后， 。4、曲线积分 ,其中曲线为圆周：5、设幂级数在时收敛，在时发散，则收敛半径 _ 。6、已知函数都是某四阶常系数齐次线性微分方程的特解，则该微分方程为 。二、单项选择题（每题3分，共18分）1、（ ）（A）3 （B）6 （C）不存在 （D）2、设则=（ ）（A） （B） （C） （D）3、为球：，则=（ ）（A） （B）（C） （D）4、微分方程的经过点（，）且在此点与直线相切的积分曲线为（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。5、下列级数中条件收敛的是（ ）（A） （B） (C） （D）6、（化工学院、食工学院同学做）设区域为开区域，函数在内具有一阶连续偏导数，则（ ）不是曲线积分在内与路径无关的充分必要条件。（A） （B） 任取区域内任一条闭合曲线C，有（C）存在一个二元函数，使得（D） 6、（物理系、机电学院、电气学院、计算机学院同学做 ）设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分（ ）（A）0； （B）； （C）； （D）。三解答题（每题5分，共25分）1、求2、设 ， 求 3、判别级数 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？4、求 ，为上半椭圆 取逆时针方向。 5、求体积为a3,而表面积最小的长方体的表面积四（本题满分7分）设曲线积分与路径无关，其中连续，且有，计算。五、（本题满分7分）计算二重积分，其中为，六、（本题满分9分）求由 ，及所围成的平面图形的面积，并求该图形绕轴旋转所得的立体体积。七、（本题满分9分）已知微分方程（1）求对应的齐次方程的通解； （2）求此方程的通解。八、（本题满分7分）（化工学院、食工学院同学做）求幂级数的收敛区间及其和函数。（物理系、机电学院、电气学院、计算机学院同学做 ）将函数展开成正弦级数，并求级数的和。郑州轻工业学院2007-2008学年第二学期高数试卷A参考答案试卷号：A20080630一、1. 0 ；2. ；3. ；4. , ；5、 2 。6、。 二、1、 B ； 2、 A ；3、B ；4、C ；5、 A ；6、（化工、食工做） D ；6、（物理、机电、电气、计算机做） D 三1、令 则 ， 当时。时 = 2、 ， 3、令， 所以原级数收敛且是绝对收敛的。 4、原式= = 5、设长方体得长、宽、高分别为，则 ， 令 则 ， 解得，代入得 ， 四 。由题意 ，所以有 ， 又因为 得 ， 所以 =- 五、= = 六、 七、（1） 特征方程 特征根 齐次方程的通解 （2）因为为重根，设方程特解 ； 代人方程整理得 ； 所以通解 + 八、1易求得该幂级数的收敛域为 ；，令，则 2 将作奇延拓 所以展开为正弦级数为 = ， 在上式中，令得：1= 即郑州轻工业学院2008-2009学年第二学期高等数学I试卷A试卷号：A20090624一、填空题（每题3分，共15分）1、微分方程的通解为 2、设函数，则该函数的全微分为 3、设，则 .4、有一分布着质量的曲面，在点处它的面密度为，则这个曲面对轴的转到惯量为 .5、设是以为周期的函数，在上的表达式为，若的傅里叶级数的和函数为，则 _。二、单项选择题（每题3分，共15分）1微分方程的特解的形式为（ ）（A）、；（B）、； （C）、； （D）、。2设函数为连续函数，且，则（ ）（A）； (B)； (C)； (D)3设连续，则 ( )（A）； （B） ； （C） ； （D） 4若是某个二元函数的全微分，则常数满足（ ）（A） （B） （C） （D）5幂级数的收敛域为（ ）（A）；（B）；（C）； （D）。三、解答题（每题5分，共30分）1.计算 2、求曲面在点处的切平面方程3. 求的极值4、判断级数的收敛性5.计算，其中是球面在外侧的部分 6. 求幂级数的收敛域四、（本题满分10分）计算，其中是闭区域五、（本题满分10分）计算,其中L是上半圆周上由点到的一段弧。六、（本题满分10分）利用定积分证明（1）半径为的圆的面积公式 （2）半径为的球的体积公式七、（本题满分10分）将展开成的幂级数郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A试卷号：A20100621（1）一、单项选择题（每题3分，共15分）1设函数，则定积分（ ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 2设是圆域 函数为上的连续函数，则( )（A）； （B） ； （C）； （D） 3微分方程的特解*的形式为 ( )（A）；（B）；（C）；（D）4曲面在点(3,1,-2)处的法线方程是( )（A）； （B）；（C）； （D）5下列级数中收敛的是 ( )（A）； （B）； （C）； （D）二、填空题（每题3分，共15分）1微分方程的特征方程为 2设是曲线，则对弧长的曲线积分 3设是以为周期的函数，且，若是的以为周期傅里叶级数的和函数，则 ， ， 4设函数，则 5如果幂级数的收敛半径是1，则该级数在开区间 内绝对收敛三、解答题（每题6分，共36分）1计算定积分，其中= 2求微分方程的通解3求曲线上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面。 4设函数，求及。5交换二次积分的积分次序，并计算其值。 6计算，其中为点所围成的三角形的边界（按逆时针方向）四、（本题满分7分）用拉格朗日乘数法求解下面的问题：隧道截面的上部为半圆，下部为矩形，若隧道截面的周长固定，问矩形的边长各为多少时，隧道截面的面积最大？五、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线以及轴围成平面图形，求：（1）的面积； （2）绕轴旋转所得旋转体的体积六、（本题满分7分） 计算，其中是锥面 被平面所截的有限部分曲面的下侧七、（本题满分10分）试求幂级数的收敛域及和函数，并求常数项级数的和郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A答案试卷号：A20100621（1）一、1 A ；2 A ；3 A ；4 D ；5 D 二、1 ；23 ，4 5三、1原式 2法一：方程为一阶线性非其次微分方程，利用通解公式 法二：先求其次通解 两边积分得 ，即有 常数变易法 令，则有 ，代入微分方程得所以 ，故通解为 3在处的切向量为，平面的法向量为 因为 ，所以，解得 ，故得所求点为。 4 ， 所以 。 5 6 ，利用格林公式 原式， 四、法一：设隧道截面的宽为，矩形的高为，则隧道截面的面积，且 ，令，则 ，解得 ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为，矩形的高为时，隧道的截面面积最大。 法二：设隧道截面的宽为，矩形的高为，则隧道截面的面积，且 令，则，解得 ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为，矩形的高为时，隧道的截面面积最大。 五、 (1)设切点的横坐标为，则曲线在点处的切线方程为 ， 由该切线过原点知 ， 可得，所以该切线方程为 ， 所求平面图形的面积为 (2)由于，所以 六、 补上平面，取上则，由高斯公式原式 七、 级数收敛，级数发散，故收敛域为 设，两边求导得，两边积分得 ，即，而级数，故。 成绩郑州轻工业学院2010-2011学年第二学期高等数学B试卷A试卷号：A20110704（1）本题得分一、单项选择题（每题3分，共15分）1、设，则( ) (A） 2 (B) (C) (D) 2、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）条件： （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要3、平面曲线的弧长为（ ）（） （） （） （） 4、若幂级数在处收敛，则该级数的收敛半径满足 （ ）（A） （B） （C） （D）5、设积分区域是圆环域： 则二重积分=（ ）（A） （B） （C） （D） 本题得分二、填空题（每题3分，共15分）1、微分方程的特解的形式为 （写出待定形式即可）2、反常积分= 3、已知级数的前项部分和 ,则此级数的一般项 4、曲线在点处的切向量 5、设函数以为周期，且设为的傅里叶级数的和函数，则_三、解答题（每题6分，共36分）本题得分1、计算定积分 本题得分2、求微分方程满足条件的解 本题得分3、求函数在点处的全微分本题得分4、计算曲线积分，其中L是从到的直线段本题得分5、求球面在点处的切平面方程和法线方程 本题得分6、判定级数是绝对收敛还是条件收敛？ 本题得分四、（本题满分9分）试求幂级数 的收敛域及收敛域内的和函数本题得分五、（本题满分9分）化二重积分为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中是由直线及曲线（）所围成的闭区域 本题得分六、（本题满分8分） 计算曲面积分 ，其中是旋转抛物面 介于平面 及之间的部分的下侧本题得分七、（本题满分8分）如图，求为何值时，曲线与直线及所围成的平面图形中的阴影部分面积最大？郑州轻工业学院2010-2011学年第二学期高等数学B试卷A答案试卷号：A20110704（1）一、单项选择题（每题3分，共15分）1、设，则 ( C ) (A） 2 (B) （C） （D） 2、函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）条件： （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）既非充分又非必要3、平面曲线的弧长为（ B ）（） （） （） （） 4、若幂级数在处收敛，则该级数的收敛半径满足 （ D ）（A） （B） （C） （D）5、设积分区域D：是圆环：则二重积分=（ C ）（A） （B） （C） （D） 二、填空题（每题3分，共15分）1、微分方程的特解的形式为（写出待定形式即可）2、反常积分=1 。3、已知级数的前项部分和 ,则此级数的一般项 。 4、曲线在点处的切向量5、设函数以为周期，且.设为的傅里叶级数的和函数，则0_。三、解答题（每题6分，共36分）1、 计算定积分 解：令 1分 = 6分2、求微分方程的满足条件的解。 解：由公式得通解将代入得则此微分方程满足条件的解为。 6分3、求函数在点处的全微分.解：， ， 2分全微分 6分4、计算曲线积分，其中L是从到的直线段。解：直线AB的方程为 5、求球面在点处的切平面和法线方程 。解：令 1分 则在点处的切平面的法向量 3分 所求的切平面方程为 即 5 分 所求的法线方程为即 6分6、判定级数是绝对收敛还是条件收敛？解：所以此级数收敛并绝对收敛。四、（本题满分9分）试求幂级数 的收敛域及收敛域内的和函数解：令 得收敛半径对于端点，级数成为，此级数发散。对于端点，级