高中数学 第二章 平面向量单元质量评估 新人教A版必修4.doc

第二章 平面向量(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，在四边形abcd中，下列各式中成立的是()a.bc-bd=cdb.cd+da=acc.cb+ad+ba=cdd.ab+ac=bd+dc【解析】选c.bc-bd=bc+db=dc，故a错误；cd+da=ca，故b错误；cb+ad+ba=cb+ba+ad=ca+ad=cd，故c正确；bd+dc=bcab+ac，故d错误.2.若向量a=(1，1)，b=(1，-1)，c=(-1，2)，则c等于()a.12a-32bb.-12a+32bc.32a-12bd.-32a+12b【解析】选a.设c=a+b，则(-1，2)=(1，1)+(1，-1)=(+，-)，所以-1=+,2=-,解得=12，=-32.所以c=12a-32b.3.(2015泉州高一检测)在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a+b-c可表示为()a.e1-2e2b.-e1+2e2c.3e1-2e2d.3e1+2e2【解析】选a.由平面图形知a=c，所以a+b-c=a-c+b=b=-e1+2e2.4.若a=(，2)，b=(-3，5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是()a.103,+b.103,+c.-,103d.-,103【解析】选a.ab=-3+10103.当a与b共线时，-3=25，所以=-65.此时，a与b同向，所以103.5.在abc中，d是bc的中点，ad=3，点p在ad上且满足ad=3ap，则da(pb+pc)=()a.6b.-6c.-12d.12【解题指南】解答本题要注意pb+pc=2pd.【解析】选c.因为点d是bc的中点，所以pb+pc=2pd，因为ad=3，ad=3ap，所以pd=23ad=2，所以da(pb+pc)=2dapd=2|da|pd|cos=232(-1)=-12.【补偿训练】在菱形abcd中，若ac=2，则caab等于()a.2b.-2c.|ab|cosad.与菱形的边长有关【解析】选b.如图，设对角线ac与bd交于点o，所以ab=ao+ob.caab=ca(ao+ob)=-2+0=-2.6.(2015陕西高考)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()a.|ab|a|b|b.|a-b|a|-|b|c.(a+b)2=|a+b|2d.(a+b)(a-b)=a2-b2【解析】选b.由，因为-1cos1，所以|ab|a|b|恒成立；由向量减法的几何意义结合三角形的三边关系可得，故b选项不成立；根据向量数量积的运算律c，d选项恒成立.7.已知三个力f1=(-2，-1)，f2=(-3，2)，f3=(4，-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于()a.(-1，-2)b.(1，-2)c.(-1，2)d.(1，2)【解析】选d.根据力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0，所以f4=-(f1+f2+f3)=(1，2).8.设点a(2，0)，b(4，2)，若点p在直线ab上，且|ab|=2|ap|，则点p的坐标为()a.(3，1)b.(1，-1)c.(3，1)或(1，-1)d.无数多个【解析】选c.设p(x，y)，由|ab|=2|ap|得ab=2ap，或ab=-2ap，ab=(2，2)，ap=(x-2，y)，即(2，2)=2(x-2，y)，所以x=3，y=1，即p(3，1)，(2，2)=-2(x-2，y)，所以x=1，y=-1，即p(1，-1)，【误区警示】解答本题容易由|ab|=2|ap|，推出ab=2ap漏掉ab=-2ap的情况，导致错误.9.向量ba=(4，-3)，向量bc=(2，-4)，则abc的形状为()a.等腰非直角三角形b.等边三角形c.直角非等腰三角形d.等腰直角三角形【解析】选c.因为ba=(4，-3)，bc=(2，-4)，所以ac=bc-ba=(-2，-1)，所以cacb=(2，1)(-2，4)=0，所以c=90，且|ca|=5，|cb|=25，|ca|cb|.所以abc是直角非等腰三角形.10.(2015抚顺高一检测)已知平面向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，则下列结论中错误的是()a.向量c与向量b共线b.若c=1a+2b(1，2r)，则1=0，2=-2c.对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d=k1b+k2cd.向量a在向量b方向上的投影为0【解析】选c.因为c=-2b，所以向量c与向量b共线，所以选项a正确；由c=1a+2b可知，-4=1+22,-2=-21+2,解得1=0,2=-2,所以选项b正确；向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项c错误；ab=0，所以ab，夹角是90，向量a在向量b方向上的投影为|a|cos90=0.【补偿训练】(2015岳阳高一检测月考)设向量a=(1，0)，b=12,12，则下列结论中正确的是()a.|a|=|b|b.ab=22c.a-b与b垂直d.ab【解析】选c.因为|a|=1，|b|=22，ab=12，所以a，b错；因为112-0120，所以ab不成立；因为(a-b)b=12,-1212,12=14-14=0，所以a-b与b垂直，c正确.11.若同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|等于()a.2b.5c.2或5d.2或5【解析】选c.因为同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+9-1-3-3=4，即|a+b+c|=2，当三个向量所成的角都是0时，|a+b+c|=1+1+3=5，故|a+b+c|=2或5.12.(2015泰安高一检测)在abc中，p是bc边的中点，若|ab|ac+|bc|pa+ |ac|pb=0，则abc的形状是()a.等边三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形，但不一定是等边三角形【解析】选a.因为pa=-ap，pb=ab-ap且|ab|ac-|bc|pa+|ac|pb=0，所以|ab|ac-|bc|ap+|ac|(ab-ap)=0，即|ab|ac+|ac|ab-(|bc|+|ac|)ap=0因为p是bc边中点，所以ap=12(ab+ac)，所以|ab|ac+|ac|ab-(|bc|+|ac|)12(ab+ac)=0，所以|ab|-12(|bc|+|ac|)=0，且|ac|-12(|bc|+|ac|)=0，所以|ab|=|bc|=|ac|，所以abc是等边三角形.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.向量a，b，c在单位正方形网格中的位置如图所示，则a(b+c)=_.【解析】如图建立平面直角坐标系，则a=(1，3)，b=(3，-1)-(1，1)=(2，-2)，c=(3，2)-(5，-1)=(-2，3)，所以b+c=(0，1)，所以a(b+c)=(1，3)(0，1)=3.答案：3【补偿训练】 (2014石家庄高一检测)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=a+b(，r)，则+=()a.-72b.-52c.-92d.52【解析】选b.选择单位正交基底i，j，如图所示，则a=-i+j，b=6i+2j，c=-i-3j，由c=a+b得-i-3j=(-i+j)+(6i+2j)，即-i-3j=(-+6)i+(+2)j，所以-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,所以+=-52.14.(2015忻州高一检测)已知m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，若na，则实数t=_.【解析】因为m，n是夹角为120的单位向量，向量a=tm+(1-t)n，na，所以na=ntm+(1-t)n=tmn+(1-t)n2=tcos120+1-t=1-32t=0，所以t=23.答案：2315.(2015福州高一检测)已知向量a与向量b的夹角为120，若(a+b)(a-2b)且|a|=2，则b在a上的投影为_.【解析】ab=|a|b|cos120=-|b|，因为(a+b)(a-2b)，所以(a+b)(a-2b)=0，所以2|b|2-|b|-4=0，所以|b|=33+14，所以b在a上的投影为=-33+18.答案：-33+1816.如图，abc中，ad=2db，ae=12ec，be与cd相交于点p，若ap=xab+yac(x，yr)，则x+y=_.【解析】由题可知ap=ad+dp=ad+dc=ad+(bc-bd)=23ab+(ac-ab-13ba)=23-23ab+ac，又ap=ae+ep=ae+eb=ae+(cb-ce)=13ac+ab-ac-23ca=ab+13-13ac，所以可得23(1-)=,13(1-)=,解得=17，故ap=47ab+17ac，所以x+y=57.答案：57【补偿训练】如图所示，半圆的直径ab=2，o为圆心，c是半圆上不同于a，b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则(pa+pb)pc的最小值是_.【解析】因为点o是a，b的中点，所以pa+pb=2po，设|pc|=x，则|po|=1-x(0x1).所以(pa+pb)pc=2popc=-2x(1-x)=2x-122-12.所以当x=12时，(pa+pb)pc取到最小值-12.答案：-12三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求|a+b|和|a-b|.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61，所以4a2-4ab-3b2=61，即64-4ab-27=61.所以ab=-6.所以cos=-643=-12，所以=120.(2)|a+b|=16+2(-6)+9=13，|a-b|=16-2(-6)+9=37.18.(12分)(2015温州高一检测)已知o，a，b是平面上不共线的三点，直线ab上有一点c，满足2ac+cb=0，(1)用oa，ob表示oc.(2)若点d是ob的中点，证明四边形ocad是梯形.【解析】(1)因为2ac+cb=0，所以2(oc-oa)+(ob-oc)=0，2oc-2oa+ob-oc=0，所以oc=2oa-ob.(2)如图，da=do+oa=-12ob+oa=12(2oa-ob).故da=12oc.即daoc，且daoc，故四边形ocad为梯形.【拓展延伸】利用基向量方法解决平面几何问题选择已知向量或基向量的原则(1)不共线.(2)基向量的模最好是确定的.(3)基向量的夹角最好是确定的.(4)尽量使基向量和所涉及的向量共线或构成三角形或平行四边形.【补偿训练】(2015皖南八校联考)如图，aob=3，动点a1，a2与b1，b2分别在射线oa，ob上，且线段a1a2的长为1，线段b1b2的长为2，点m，n分别是线段a1b1，a2b2的中点.(1)用向量a1a2与b1b2表示向量mn.(2)求向量mn的模.【解析】(1)mn=ma1+a1a2+a2n，mn=mb1+b1b2+b2n，两式相加，并注意到点m，n分别是线段a1b1，a2b2的中点，得mn=12(a1a2+b1b2).(2)由已知可得向量a1a2与b1b2的模分别为1与2，夹角为3，所以a1a2b1b2=1，由mn=12(a1a2+b1b2)得，|mn|=14(a1a2+b1b2)2=12a1a22+b1b22+2a1a2b1b2=72.19.(12分)已知a，b，c在同一平面内，且a=(1，2).(1)若|c|=25，且ca，求c.(2)若|b|=52，且(a+2b)(2a-b)，求a与b的夹角.【解析】(1)因为ca，所以设c=a，则c=(，2).又|c|=25，所以=2，所以c=(2，4)或(-2，-4).(2)因为(a+2b)(2a-b)，所以(a+2b)(2a-b)=0.因为|a|=5，|b|=52，所以ab=-52.设a与b的夹角为，cos=-1，所以=180.20.(12分)已知正方形abcd，e，f分别是cd，ad的中点，be，cf交于点p.求证：(1)becf.(2)ap=ab.【证明】如图建立直角坐标系xoy，其中a为原点，不妨设ab=2，则a(0，0)，b(2，0)，c(2，2)，e(1，2)，f(0，1).(1)be=oe-ob=(1，2)-(2，0)=(-1，2)，cf=of-oc=(0，1)-(2，2)=(-2，-1)，因为becf=-1(-2)+2(-1)=0，所以becf，即becf.(2)设p(x，y)，则fp=(x，y-1)，cf=(-2，-1)，因为fpcf，所以-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由bpbe，得y=-2x+4，代入x=2y-2.解得x=65，所以y=85，即p65,85.所以ap2=652+852=4=ab2，所以|ap|=|ab|，即ap=ab.21.(12分)如图，ab=(6，1)，bc=(x，y)，cd=(-2，-3).(1)若bcda，求x与y之间的关系式.(2)若在(1)的条件下，又有acbd，求x，y的值及四边形abcd的面积.【解析】(1)因为ad=ab+bc+cd=(6，1)+(x，y)+(-2，-3)=(x+4，y-2)，所以da=-ad=(-x-4，2-y).又因为bcda，bc=(x，y)，所以x(2-y)-y(-x-4)=0，即x+2y=0.(2)因为ac=ab+bc=(6，1)+(x，y)=(x+6，y+1)，bd=bc+cd=(x，y)+(-2，-3)=(x-2，y-3)，且acbd，所以acbd=0，即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.又由(1)的结论x+2y=0，所以(6-2y)(-2y