（全国版）2019版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的应用举例学案.doc

第7讲解三角形的应用举例板块一知识梳理自主学习必备知识考点1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)考点2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方位角为(如图)考点3方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90的角叫做方向角，如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向，东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似考点4坡角与坡度1坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)2坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比必会结论1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是.考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(2)从a处望b处的仰角为，从b处望a处的俯角为，则，的关系为180.()(3)若点p在q的北偏东44，则q在p的东偏北46.()(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设为坡角，那么cos.()答案(1)(2)(3)(4)2课本改编两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等，灯塔a在观察站北偏东40，灯塔b在观察站南偏东60，则灯塔a在灯塔b的()a北偏东10 b北偏西10c南偏东10 d南偏西10答案b解析由题可知abc50，a，b，c位置如图故选b.3.2018沈阳模拟如图，设a，b两点在河的两岸，测量者在a的同侧，选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105，则a，b两点的距离为()a50 m b50 mc25 m d. m答案a解析由正弦定理得ab50(m)4.如图所示，d，c，b三点在地面的同一直线上，dca，从c，d两点测得a点的仰角分别为60，30，则a点离地面的高度ab等于()a. b.c.a d.答案b解析因为d30，acb60，所以cad30，故cacda.所以abasin60.5一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.板块二典例探究考向突破考向测量距离问题例1如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在岸边定一基线cd，现已测出cda和acd60，bcd30，bdc105，adc60，试求ab的长解在acd中，已知cda，acd60，adc60，所以aca.在bcd中，由正弦定理可得bca.在abc中，已经求得ac和bc，又因为acb30，所以利用余弦定理可以求得a，b两点之间的距离为aba.触类旁通求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理【变式训练1】2014四川高考如图所示，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos370.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析根据已知的图形可得ab.在abc中，bca30，bac37，由正弦定理，得.所以bc20.6060(m)考向测量高度问题例22015湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达b处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度cd_m.答案100解析如图所示，由已知得bac30，ab600 m，ebc75，cbd30，在abc中，acbebcbac45，由，得bc300(m)在rtbcd中，cdbctancbd300100(m)触类旁通处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题【变式训练2】某人在c点测得塔底o在南偏西80，塔顶a的仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到d处，测得塔顶a的仰角为30，则塔高为()a15米 b5米 c10米 d12米答案c解析如图，设塔高为h，在rtaoc中，aco45，则ocoah.在rtaod中，ado30，则odh.在ocd中，ocd120，cd10，od2 oc2 cd22occdcosocd，即(h)2h21022h10cos120，所以h25h500，解得h10 或h5(舍去)，故选c.考向测量角度问题例3在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在c处追上蓝方的小艇，则ac14x，bc10x，abc120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120，解得x2.故ac28，bc20.根据正弦定理，得，解得sin.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用【变式训练3】如图，位于a处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的c处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线cb前往b处救援，求cos的值解在abc中，ab40，ac20，bac120，由余弦定理得，bc2ab2ac22abaccos1202800bc20.由正弦定理，得sinacbsinbac.由bac120，知acb为锐角，则cosacb.由acb30，得coscos(acb30)cosacbcos30sinacbsin30.核心规律利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义满分策略1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.板块三启智培优破译高考数学思想系列5函数思想在解三角形中的应用2018永州模拟某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由解题视点(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围解(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s.故当t时，smin10，v30(海里/小时)即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在b处相遇则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在oab中，有oaobab20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时答题启示解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决.函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力.跟踪训练2018郑州模拟如图所示，一辆汽车从o点出发沿一条直线公路以50 km/h的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)汽车开动的同时，在距汽车出发点o点的距离为5 km，距离公路线的垂直距离为3 km的m点，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，并求追上汽车司机时他驾驶摩托车行驶了多少公里？解作mi垂直公路所在的直线于点i，则mi3, om5，oi4，cosmoi.设骑摩托车的人的速度为v km/h，追上汽车的时间为t h，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t，v22500252900900，当t时，v的最小值为30 km/h，其行驶距离为vt km.故骑摩托车的人至少以30 km/h的速度行驶才能实现他的愿望，他驾驶摩托车行驶了 km.板块四模拟演练提能增分a级基础达标1已知a，b两地间的距离为10 km，b，c两地间的距离为20 km，现测得abc120，则a，c两地间的距离为()a10 km b10 kmc10 km d10 km答案d解析如图所示，由余弦定理可得：ac210040021020cos120700，ac10(km)22018武汉模拟海面上有a，b，c三个灯塔，ab10 n mile，从a望c和b成60视角，从b望c和a成75视角，则bc()a10 n mile b. n milec5 n mile d5 n mile答案d解析由题意可知，cab60，cba75，所以c45，由正弦定理得，所以bc5.3.如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()aa km b.a kmc.a km d2a km答案b解析在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacba2a22a2cos1203a2，故|ab|a.42018临沂质检在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30、60，则塔高为()a. m b. mc. m d. m答案a解析如图，由已知可得bac30，cad30，bca60，acd30，adc120，又ab200，ac.在acd中，由正弦定理，得，即dc(m)5.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()a8 km/h b6 km/hc2 km/h d10 km/h答案b解析设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin，从而cos，所以由余弦定理得2212221，解得v6.6.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m.答案100解析设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100.7.如图，为了测量a，c两点间的距离，选取同一平面上b，d两点，测出四边形abcd各边的长度(单位：km)：ab5，bc8，cd3，da5，且b与d互补，则ac的长为_km.答案7解析8252285cos(d)3252235cosd，cosd.ac7(km)8.2018河南调研如图，在山底a点处测得山顶仰角cab45，沿倾斜角为30的斜坡走1000米至s点，又测得山顶仰角dsb75，则山高bc为_米答案1000解析由题图知bas453015，abs45(90dsb)30，asb135，在abs中，由正弦定理可得，ab1000，bc1000(米)9.2018山西监测如图，点a，b，c在同一水平面上，ac4，cb6.现要在点c处搭建一个观测站cd，点d在顶端(1)原计划cd为铅垂线方向，45，求cd的长；(2)搭建完成后，发现cd与铅垂线方向有偏差，并测得30，53，求cd2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin971，cos530.6)解(1)cd为铅垂线方向，点d在顶端，cdab.又45，cdac4.(2)在abd中，533083，abaccb4610，adb1808397，由得ad5.在acd中，cd2ad2ac22adaccos5242254cos5317.10.如图，在海岸a处发现北偏东45方向，距a处(1)海里的b处有一艘走私船在a处北偏西75方向，距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从b处向北偏东30方向逃窜问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿cd方向行驶t小时，才能最快截获(在d点)走私船，则cd 10t海里，bd10t海里，在abc中，由余弦定理，有bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos1206，解得bc.又，sinabc，abc45，故b点在c点的正东方向上，cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得，sinbcd.bcd30，缉私船沿北偏东60的方向行驶又在bcd中，cbd 120，bcd30，d30，bdbc，即10t，解得t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟b级知能提升12018天津模拟一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10 海里 b10 海里c20 海里 d20 海里答案a解析如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)2.某观察站b在a城的南偏西20的方向，由a出发的一条公路的走向是南偏东25.现在b处测得此公路上距b处30 km的c处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向a城驶去，行驶了15 min后到达d处，此时测得b与d之间的距离为8 km，则此人到达a城还需要()a40 min b42 min c48 min d60 min答案c解析由题意可知，cd4010.cosbdc，cosadbcos(bdc)，sinabdsin(adbbad).在abd中，由正弦定理得，ad32，所需时间t0.8 h，此人还需要0.8 h即48 min到达a城3.2014全国卷如图，为测量山高mn，选择a和另一座山的山顶c为测量观测点从a点测得m点的仰角man60，c点的仰角cab45以及mac75；从c点测得mca60，已知山高bc100 m，则山高mn_m.答案150解析在rtabc中，ac100