湖南大学2012年高等数学2期末考试试题解答(答案).pdf

班级 姓名 学号 湖南大学数学与计量经济学院编 2011 级高等数学级高等数学 A 2 期末考试试卷期末考试试卷 第第 1 12 题每题题每题 6 分 共分 共 72 分 分 1 设 设u轴与三坐标轴正向构成相等的锐角 求空间向量轴与三坐标轴正向构成相等的锐角 求空间向量a 4 3 2 在在u轴上的投影轴上的投影 解 解 取u轴正向的单位向量 u0 cos cos cos 则有cos2 cos2 cos2 1和cos cos cos 故 3 3 cos 于是 Prjua a u0 4 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 一平面一平面 过球面过球面 222 422xyzxyz 的球心 并垂直于直线 的球心 并垂直于直线 0 0 x l yz 求该平面与该 球面的交线在 求该平面与该 球面的交线在xOy坐标面上的投影 坐标面上的投影 解 解 x2 y2 z2 4x 2y 2z x 2 2 y 1 2 z 1 2 6 球心为 M 2 1 1 直线 l 的对称式方程为 110 zyx 知方向向量 s 0 1 1 故平面 方程 y z 0 从而平面 与该球面的交线为 0 6 1 1 2 222 zy zyx 于是该交线向xOy面的投影柱面为 x 2 2 2 y 1 2 6 从而投影曲线为 0 1 3 1 6 2 22 z yx 3 设曲面设曲面 是由是由yOz平面上的双曲线平面上的双曲线 22 42zy 绕绕z轴旋转而成 轴旋转而成 曲面上一点曲面上一点M处的切平面处的切平面 与平面与平面0 xyz 平行 写出曲面平行 写出曲面 和切平面和切平面 的方程 的方程 解 解 曲面 的方程为2 4 222 yxz 或0244 222 zyx 这是双叶双曲面 其上任一点的法向量为 n 8x 8y 2z 而已知平面法向量为 n1 1 1 1 故有 1 2 1 8 1 8zyx 解得 4 z x 4 z y 代入曲面方程得2 z 于是有两点 2 2 1 2 1 和 2 2 1 2 1 从而切平面方程为 01 zyx 和01 zyx 4 设函数 设函数 y zxf xy x 其中 其中f二阶可微 求二阶可微 求 z x z y 和和 2 z x y 解 解 f x xyf x z 1 fx y z 1 2 班级 姓名 学号 湖南大学数学与计量经济学院编 f x x x xyf x xf x x yx z 1 1 1 1 2 f x xyf x 1 2 2 2 5 设方程设方程 222 40 xyzz 确定函数确定函数 zz x y 求求 z x 2 2 z x 和和 2 z x y 解 解 z x z x F F x z z x 242 2 2 2 2 z x xx z 3 22 2 2 2 2 2 z xz z zxz x 2 2 z x yyx z 32 2 2 z xy z zx y 6 已知已知 4 23 f xyy x 23 4 f xxy y 求函数求函数 f x y 解 1 解 1 由32 4 yxy x f 有 3 42 yxxyyxf 对y求导有 4 32 yxyx y f 比较之有0 y 故 Cxxyyxyxf 3 42 解 2 解 2 Cdyxyxdxyxyyxf yx 0 0 324 4 32 Cdyxyxdx xy 00 32 4 3Cxyyxx 42 3 7 计算累次积分计算累次积分 11 3 0d 1d y yxx 解 解 交换积分次序 1 3 1 0 d1d y xxy 2 0 3 1 0 d1d x yxx 1 0 32 d1xxx 1 0 33 d 11 3 1 xx 122 9 2 1 3 2 3 1 1 0 2 3 3 x 8 设设 22 9 D xy 计算二重积分计算二重积分 22 4 d d D xyx y 解 解 D D1 D2 其中D1 x2 y2 4 D2 4 x2 y2 9 于是 21 d4 d dd 4 dd 4 222222 DDD yxyxyxyxyxyx 2 41 4 4 3 2 2 2 0 2 0 2 2 0 rdrrdrdrrd 9 设设L为曲线为曲线 22 1 43 xy 其周长为其周长为 a计算曲线积分计算曲线积分 22 342 d L xyxys 解 解 将椭圆方程1243 22 yx代入 班级 姓名 学号 湖南大学数学与计量经济学院编 LL dsxydsxyyx 212 243 22 aaxydsds LL 12012212 10 设设 为介于为介于0z 和和zh 之间的圆柱面之间的圆柱面 222 xyR 计算计算 222 d S xyz 解 1 解 1 取柱面坐标x rcos y rsin 则柱面方程为r R 柱面的面积元素dS Rd dz 于是 R H dz zR R d zyx dS H arctan2 0 22 2 0 222 解 2 解 2 分 1 2 其中 1 22 xRy 2 22 xRy 它们在xOz平面上的投影区域均为 Dxz x z 0 z H R x R 于是有 dxdz xR x zRzyx dS xz D 22 2 22222 1 1 1 R R H dx xR R zR dz 220 22 R H R x R R z R R R H arctan arcsin arctan 1 0 由对称性 也有 R H zyx dS arctan 2 222 于是 R H zyx dS arctan2 222 11 设 曲 面设 曲 面 22 0 xyzzh 的 法 方 向 与的 法 方 向 与z轴 正 向 的 夹 角 为 钝 角 求 流 体 速 度 场轴 正 向 的 夹 角 为 钝 角 求 流 体 速 度 场 v kxyz 在单位时间内流过该曲面在单位时间内流过该曲面 的流量 的流量 解 解 D dxdyyxyxdxdyzyx 22 2 2 00 3 2 0 2 2 0 24 2 sincos h h drrdrdrrrrd hh 12 设一个密度均匀的半球体占有空间区域设一个密度均匀的半球体占有空间区域 2222 0 xyzRz 试求该半球体质心的坐标 试求该半球体质心的坐标 解 解 因为密度均匀 故该半球体对z轴对称 可知质心在z轴上 故有0 yx 所以只要计算z 运用球面坐标有 a ddddddzdv 0 3 2 0 2 0 2 sincossincos 4 4 2 0 2 44 2 2 sin a a 而质量为 3 3 2 aM 故a M zdv z 8 3 从而半球体的质心为 3 0 0 8 a 第第 13 14 题每题题每题 9 分 第分 第 15 题题 10 分 共分 共 16 分分 班级 姓名 学号 湖南大学数学与计量经济学院编 13 设有一座山的方程为设有一座山的方程为 22 00 75 zxyxy M xy 是山脚是山脚0z 即等高线 即等高线 22 75xyxy 上 的点 上 的点 1 问 问z在点在点 00 M xy处沿什么方向的增长率最大 若记此增长量的最大值为处沿什么方向的增长率最大 若记此增长量的最大值为 00 xy 试求出试求出 00 xy 2 现欲利用此山开展攀岩活动 为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀 岩的起点 即在上述等高线上找一点 现欲利用此山开展攀岩活动 为此需要在山脚处找一坡度最陡的位置作为攀 岩的起点 即在上述等高线上找一点 M使得上述增长率最大 试确定该起点的位置 使得上述增长率最大 试确定该起点的位置 解 解 1 由梯度与方向导数关系知 z在点M处沿梯度gradz x0 y0 y0 2x0 x0 2y0 方向的增长率 方向导数 最大 其最大值为该梯度的模 即 00 yx gradz x0 y0 2 00 2 00 2 2 yxxy 00 2 0 2 0 855yxyx 2 欲在等量线上求 yx 达到最大值的点 构造拉格朗日函数 75 222 xyyxyxyxF 令 075 0 2 810 0 2 810 22 xyyx yxxy xyyx 将前两方程相加得0 2 yx解得 2或y x 将 2代入第一式有 y x 再代入第三式得35 yx 将y x代入第三式得5 5 yx 于是得到4个可能极值点 5 5 1 M 5 5 2 M 35 35 3 M 35 35 4 M 由于F M1 F M2 450 F M3 F M4 150 故选择 5 5 1 M 5 5 2 M为攀岩的起点 14 如图 设力场如图 设力场Fij kyxxyz 1 求一质点由求一质点由A沿圆柱螺线沿圆柱螺线 1 L到到B时 力时 力F所做的功 其中螺线 所做的功 其中螺线 1 L的方程为 的方程为 cos sin 2 c xat yat zt 2 求该质点由求该质点由A 沿直线沿直线 2 L到到B时 力时 力F所做的功 所做的功 3 简述上面所求结果不相等的原因 就一般情况而言 简述上面所求结果不相等的原因 就一般情况而言 F是否可以满足一定的条件使其由是否可以满足一定的条件使其由A到到B所做的功相 等 这个条件是什么 所做的功相 等 这个条件是什么 解 解 1 当t 0时对应A a 0 0 当t 2 时对应B a 0 c 又 dx asintdt dy acostdt dz dt c 2 故所作功 2 2 2 2 sincos cossin 2 2 2 0 2222 c adt c t c tatatata 2 L2的方程可写为x a y 0 z t 于是当t 0时对应A a 0 0 当t c时对应B a 0 c 班级 姓名 学号 湖南大学数学与计量经济学院编 又 dx 0 dy 0 dz dt 故所作功 22 2 LL dzzyxxdyydxsdFW 2 2 0 c acdtta c 3 结果不相等的原因 一般的曲线积分之值不仅与起点终点的位置有关 而且与积分的路径有关 即力场不 是保守场 一般地 力场F Pi Qj Rk为保守场的充分必要条件为下列之一 在空间的单连通有界区域内 1 势 函数u x y z 使得RdzQdyPdx 为u x y z 的全微分 2 力场F的旋度 rotF 0 3 处处成立 z Q y R x R z P y P x Q 4 沿任一光滑 分段光滑 闭曲线 的积分 0RdzQdyPdx 15 若若L为平面上任一不经过原点的逆时针圆周 试计算积分为平面上任一不经过原点的逆时针圆周 试计算积分 22 dd 4 L x yy x xy 的值 的值 解 解 令 22 4yx y P 22 4yx x Q 当0 22 yx时 有 y P yx xy x Q 222 22 4 4 记L所围成的圆域为D 1 若原点 0 0 不在D内 则由格林公式得 0 4 4 4 4 4 222 22 222 22 22 dxdy yx xy yx xy yx ydxxdy DL