山东省青岛市高三数学上学期第一次模拟试卷 文（含解析）.doc

2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i为虚数单位，复数等于（） a 1+i b 1i c 1i d 1+i2设全集i=r，集合a=y|y=log2x，x2，b=x|y=，则（） a ab b ab=a c ab= d a（ib）3如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） a 5和1.6 b 85和1.6 c 85和0.4 d 5和0.44“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 即不充分也不必要条件5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（） a 2 b c d 36已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（） a =1 b =1 c =1 d =17设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（） a 若m，n，mn，则 b 若m，n，mn，则 c 若m，n，mn，则 d 若m，n，mn，则8函数y=4cosxe|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（） a b c d 9已知abc的三边分别为4，5，6，则abc的面积为（） a b c d 10已知点g是abc的外心，是三个单位向量，且2+=，如图所示，abc的顶点b，c分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则g点的轨迹为（） a 一条线段 b 一段圆弧 c 椭圆的一部分 d 抛物线的一部分二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（m）=12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是；13在长为12cm的线段ab上任取一点c，现作一矩形，使邻边长分别等于线段ac、cb的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为14设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为15若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合x上的拓扑的集合的序号是三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人（）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率17已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+a（0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求a和的值；（）求函数f（x）在0，上的单调递减区间18如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，底面abcd是直角梯形，adbc，bad=90，bc=1，ab=，ad=aa1=3，e1为a1b1中点（）证明：b1d平面ad1e1；（）证明：平面acd1平面bdd1b119已知数列an是等差数列，sn为an的前n项和，且a10=28，s8=92；数列bn对任意nn*，总有b1b2b3bn1bn=3n+1成立（）求数列an、bn的通项公式；（）记cn=，求数列cn的前n项和tn20已知椭圆c：+=1（ab0）上顶点为a，右顶点为b，离心率e=，o为坐标原点，圆o：x2+y2=与直线ab相切（）求椭圆c的标准方程；（）直线l：y=k（x2）（k0）与椭圆c相交于e、f两不同点，若椭圆c上一点p满足opl求epf面积的最大值及此时的k221已知函数f（x）=（ax2+2xa）ex，g（x）=f（lnx），其中ar，e=2.71828为自然对数的底数（）若函数y=f（x）的图象在点m（2，f（2）处的切线过坐标原点，求实数a的值；（）若f（x）在1，1上为单调递增函数，求实数a的取值范围（）当a=0时，对于满足0x1x2的两个实数x1，x2，若存在x00，使得g（x0）=成立，试比较x0与x1的大小2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i为虚数单位，复数等于（） a 1+i b 1i c 1i d 1+i考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答： 解：=故选：d点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2设全集i=r，集合a=y|y=log2x，x2，b=x|y=，则（） a ab b ab=a c ab= d a（ib）考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 计算题；集合分析： 化简集合a，b，即可得出结论解答： 解：由题意，a=y|y=log2x，x2=（1，+），b=x|y=1，+），ab，故选：a点评： 本题考查集合的包含关系判断及应用，如果集合a中的任意一个元素都是集合b的元素，那么集合a叫做集合b的子集3如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） a 5和1.6 b 85和1.6 c 85和0.4 d 5和0.4考点： 茎叶图；众数、中位数、平均数专题： 图表型分析： 根据均值与方差的计算公式，分布计算出所剩数据的平均数和方差分即可解答： 解：根据题意可得：评委为某选手打出的分数还剩84，84，84，86，87，所以所剩数据的平均数为=85，所剩数据的方差为（8485）2+（8485）2+（8685）2+（8485）2+（8785）2=1.6故选b点评： 本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题4“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的（） a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 即不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，可得数列an为等差数列；若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，由充要条件的定义可得答案解答： 解：由2an+1=an+an+2，可得an+2an+1=an+1an，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列an为等差数列，反之，若数列an为等差数列，易得2an+1=an+an+2，故“nn*，2an+1=an+an+2”是“数列an为等差数列”的充要条件，故选c点评： 本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题5某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（） a 2 b c d 3考点： 简单空间图形的三视图专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可解答： 解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：v=3x=3故选d点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键6已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（） a =1 b =1 c =1 d =1考点： 双曲线的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由已知得，由此能求出双曲线方程解答： 解：双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，解得a=2，b=，双曲线方程为=1故选：a点评： 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用7设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（） a 若m，n，mn，则 b 若m，n，mn，则 c 若m，n，mn，则 d 若m，n，mn，则考点： 平面与平面之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案解答： 解：选择支c正确，下面给出证明证明：如图所示：mn，m、n确定一个平面，交平面于直线lm，ml，lnn，l，l，故c正确故选c点评： 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键8函数y=4cosxe|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（） a b c d 考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 先验证函数y=4cosxe|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案解答： 解：函数y=4cosxe|x|，f（x）=4cos（x）e|x|=4cosxe|x|=f（x），函数y=4cosxe|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除bd，又f（0）=y=4cos0e|0|=41=3，只有a适合，故选：a点评： 本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题9已知abc的三边分别为4，5，6，则abc的面积为（） a b c d 考点： 余弦定理的应用；三角形中的几何计算专题： 解三角形分析： 根据余弦定理先求出其中一个角的余弦值，然后求出对应的正弦值，利用三角形的面积公式即可得到结论解答： 解：abc的三边长a=4，b=5，c=6，由余弦定理得cosc=，sinc=三角形的面积为s=absinc=45=故选：b点评： 本题主要考查了三角形的面积的计算，利用余弦定理和正弦定理求出其中一个角的正弦值是解决本题的关键10已知点g是abc的外心，是三个单位向量，且2+=，如图所示，abc的顶点b，c分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，则g点的轨迹为（） a 一条线段 b 一段圆弧 c 椭圆的一部分 d 抛物线的一部分考点： 轨迹方程专题： 计算题；直线与圆分析： 确定点g是bc的中点，abc是直角三角形，a是直角，bc=2，根据abc的顶点b、c分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，即可得出结论解答： 解：点g是abc的外心，且2+=，|点g是bc的中点，abc是直角三角形，a是直角，是三个单位向量，bc=2abc的顶点b、c分别在x轴和y轴的非负半轴上移动g的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆弧，故选：b点评： 本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（m）=4028考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 根据解析式得出f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，即可求解解答： 解：函数f（x）=tanx+sinx+2015，f（x）=tanxsinx+2015，f（x）+f（x）=4030，f（m）+f（m）=4030，f（m）=2，f（m）=4028故答案为：4028点评： 本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大12执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132；考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i11，退出循环，输出s的值为132解答： 解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i11，s=12，i=11满足条件i11，s=132，i=10不满足条件i11，退出循环，输出s的值为132故答案为：132点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查13在长为12cm的线段ab上任取一点c，现作一矩形，使邻边长分别等于线段ac、cb的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 设ac=x，则bc=12x，由矩形的面积s=x（12x）20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求解答： 解：设ac=x，则bc=12x矩形的面积s=x（12x）20x212x+2002x10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率p=故答案为：点评： 本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题14设z=x+y其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为3考点： 简单线性规划分析： 先根据条件画出可行域，观察可行域，当直线z=x+y过a点时取最大值，从而求出k值，再当直线z=x+y过b点时取最小值，求出z最小值即可解答： 解：作出可行域如图：直线x+y=6过点a（k，k）时，z=x+y取最大，k=3，z=x+y过点b处取得最小值，b点在直线x+2y=0上，b（6，3），z的最小值为=6+3=3故填：3点评： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题15若x是一个集合，是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于则称是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下面给出的四个集合：=，a，c，a，b，c；=，b，c，b，c，a，b，c；=，a，a，b，a，c；=，a，c，b，c，c，a，b，c其中是集合x上的拓扑的集合的序号是考点： 集合的包含关系判断及应用专题： 压轴题；新定义分析： 根据集合x上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可：ac=a，c，a，ba，c=a，b，c，因此都不是；满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于，因此是，从而得到答案解答： 解：=，a，c，a，b，c；而ac=a，c，故不是集合x上的拓扑的集合；=，b，c，b，c，a，b，c，满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合x上的拓扑的集合；=，a，a，b，a，c；而a，ba，c=a，b，c，故不是集合x上的拓扑的集合；=，a，c，b，c，c，a，b，c满足：x属于，属于；中任意多个元素的并集属于；中任意多个元素的交集属于因此是集合x上的拓扑的集合；故答案为点评： 此题是基础题这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16某市甲、乙两社区联合举行迎“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人（）若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；（）若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： （）若从甲、乙社区各选一个表演项目，选出的两个表演项目所有基本事件的个数，求出相同的事件的个数，即可求解概率；（）从甲社区表演队中选2人表演节目，列出所有基本事件的个数，找出至少有一位表演笛子演奏的事件个数，然后求解概率解答： 解：（）记甲、乙两社区的表演项目：跳舞、笛子演奏、唱歌分别为a1，b1，c1；a2，b2，c2则从甲、乙社区各选一个表演项目的基本事件有（a1，a2），（a1，b2），（a1，c2），（b1，a2），（b1，b2），（b1，c2），（c1，a2），（c1，b2），（c1，c2）共9种，其中选出的两个表演项目相同的事件3种，所以（）记甲社区表演队中表演跳舞的、表演笛子演奏、表演唱歌的分别为a1，b1，b2，c1，c2，c3则从甲社区表演队中选2人的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15种其中至少有一位表演笛子演奏的事件有9种，所以点评： 本题考查古典概型的概率的求法，列出所有基本事件，做到不重复不漏是解题的关键17已知函数f（x）=4cosxsin（x+）+a（0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为（）求a和的值；（）求函数f（x）在0，上的单调递减区间考点： 正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数专题： 三角函数的图像与性质分析： （）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和的值；（）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间解答： 解：（）= 当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，3+a=2，即a=1又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为，f（x）的最小正周期为t=故，=1 （）由（）得由得 令k=0，得：故函数f（x）在0，上的单调递减区间为点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象以及三角函数的辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键18如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，底面abcd是直角梯形，adbc，bad=90，bc=1，ab=，ad=aa1=3，e1为a1b1中点（）证明：b1d平面ad1e1；（）证明：平面acd1平面bdd1b1考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离分析： （）连结a1d交ad1于g，证明b1de1g，利用直线与平面平行的判定定理证明b1d平面ad1e1 （）设acbd=h，通过bhcdha，结合bc=1，ad=3，求出，证明acbd，然后证明bb1ac，得到ac平面bdd1b1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面acd1平面bdd1b1解答： 证明：（）连结a1d交ad1于g，因为abcda1b1c1d1为四棱柱，所以四边形add1a1为平行四边形，所以g为a1d的中点，又e1为a1b1中点，所以e1g为a1b1d的中位线，所以b1de1g，又因为b1d平面ad1e1，e1g平面ad1e1，所以b1d平面ad1e1 （）设acbd=h，因为adbc，所以bhcdha又bc=1，ad=3，所以，adbc，bad=90，所以abc=90，从而，所以ch2+bh2=bc2，chbh，即acbd因为abcda1b1c1d1为四棱柱，aa1底面abcd所以侧棱bb1底面abcd，又ac底面abcd，所以bb1ac因为bb1bd=b，所以ac平面bdd1b1，因为ac平面acd1，所以平面acd1平面bdd1b1点评： 本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力19已知数列an是等差数列，sn为an的前n项和，且a10=28，s8=92；数列bn对任意nn*，总有b1b2b3bn1bn=3n+1成立（）求数列an、bn的通项公式；（）记cn=，求数列cn的前n项和tn考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）设出an的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求通项；再由b1b2b3bn1bn=3n+1，得b1b2b3bn1=3n2（n2），两式相除可得数列bn的通项公式；（）把an、bn的通项公式代入cn=，化简后利用错位相减法求得数列cn的前n项和tn解答： 解：（）设an的首项为a1，公差为d，由a10=28，s8=92，得a10=a1+9d=28，解得a1=1，d=3，an=1+3（n1）=3n2；又b1b2b3bn1bn=3n+1，b1b2b3bn1=3n2（n2），两式相除得，当n=1时b1=4适合上式，；（）把an、bn的通项公式代入cn=，得，则，两式作差得：，即点评： 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题20已知椭圆c：+=1（ab0）上顶点为a，右顶点为b，离心率e=，o为坐标原点，圆o：x2+y2=与直线ab相切（）求椭圆c的标准方程；（）直线l：y=k（x2）（k0）与椭圆c相交于e、f两不同点，若椭圆c上一点p满足opl求epf面积的最大值及此时的k2考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （）设出直线ab的方程为：，利用圆o与直线ab相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆c的标准方程（）了直线与椭圆方程，设e（x1，y1），f（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解epf的面积的最大值，以及k的中解答： 解：（）由题意，直线ab的方程为：，即为bx+ayab=0因为圆o与直线ab相切，所以，（2分）设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，所以（3分）由得：a2=2，b2=1所以椭圆c的标准方程为：（5分）（）由可得：（1+2k2）x28k2x+8k22=0设e（x1，y1），f（x2，y2）则，（7分）所以又点o到直线ef的距离，opl，=（10分）又因为，又k0，令t=1+2k2（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，epf的面积的最大值为（13分）点评： 本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的我最关心，直线与椭圆的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想的应用21已知函数f（x）=（ax2+2xa）ex，g（x）=f（lnx），其中ar，e=2.71828为自然对数的底数（）若函数y=f（x）的图象在点m（2，f（2）处的切线过坐标原点，求实数a的值；（）若f（x）在1，1上为单调递增函数，求实数a的取值范围（）当a=0时，对于满足0x1x2的两个实数x1，x2，若存在x00，使得g（x0）=成立，试比较x0与x1的大小考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的综