江苏省栟茶高级中学201l—2012学年度高三第二次调研测试数学试题.doc

江苏省栟茶高级中学201l2012学年度高三第二次调研测试数学试题（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上1已知，为虚数单位，且，则 4 2在平面直角坐标系中，直线和直线平行的充要条件是 3用一组样本数据8，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差 4阅读下列程序:Read S1For I from 1 to 5 step 2 SS+I End forPrint S End输出的结果是 105函数y=的单调递增区间是 （写成 也对） 6先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为x，y，则的概率为 7设函数，集合，则 8 以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 9 9圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 10设 x 、y均为正实数，且，以点为圆心,为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 11已知等比数列的公比，前3项和函数在处取得最大值，且最大值为，则函数的解析式为 。12如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点， 若，且与的夹角为60，则 9 。13如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第10行第4个数（从左往右数）为 14若函数为定义域上单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的值域恰为，则称函数是上的正函数，区间叫做等域区间如果函数是上的正函数，则实数的取值范围 二、解答题：（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）设的内角所对的边分别为已知，（）求的周长；（）求的值【解】：（）的周长为（），,故为锐角， 16（本小题满分14分）1（本题满分14分）如图，矩形中，为上的点，且，（）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积ABCDEFG【解】：（）证明：平面，平面，ABCDEFG则又平面，则平面 （）证明：依题意可知：是中点平面，则，而是中点在中，平面 （）解法一：平面，而平面平面，平面是中点，是中点且平面， 中， 解法二：17（本小题满分15分）如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东m（）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜Z东北ABCO 求S关于m的函数关系式； 应征调m为何值处的船只，补给最适宜【解】 以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为 2分设点， 则，即，又，所以直线AB的方程为上面的方程与联立得点 5分 8分 12分当且仅当时，即时取等号， 14分答：S关于m的函数关系式 应征调为何值处的船只，补给最适宜 15分18（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且（1）求数列的通项公式及前项和公式；（2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由【解】（1）设等差数列的公差为d 由已知得 2分即解得4分故 8分（2）由（1）知要使成等差数列，必须，即，8分整理得， 11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5当时，；当时，；当时，故存在正整数t，使得成等差数列 15分19（本小题满分16分）（本题文科学生做，理科学生不做）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与线段、分别交于点、（）当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程； （）过点作直线交于点，记的外接圆为圆 求证:圆心在定直线上；第18题PAROF1QxyF2 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由 【解】:（）设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为（0,3）,所以b=33分 而,所以，故椭圆的标准方程为5分 （）解法一:易得直线,所以可得,再由,得8分则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,由,解得的外接圆的圆心坐标为10分经验证,该圆心在定直线上 11分解法二: 易得直线,所以可得,再由,得8分设的外接圆的方程为,则,解得10分所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上 11分由可得圆C的方程为13分该方程可整理为,则由,解得或,所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为16分（本题理科学生做，文科学生不做） 已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且经过点P（1，）。（1）求椭圆C的方程；（2）设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? （3）设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。【解】：（1）椭圆+=1（ab0）的离心率为，且经过点P（1，），即 ，解得 ，椭圆C的方程为+=1。（2）易求得F（1，0）。设M（x0，y0），则+=1， 圆M的方程为（x-x0）2+（y-y0）2=（1-x0）2+y02，令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，=4y02-4（2x0-1）20。将y02=3（1-）代入，得3x02+8x0-160，解出 -4x0。（3）设D（0，y1），E（0，y2），其中y1y2。由（2），得DE= y2- y1=，当x0=-时，DE的最大值为。20（本小题满分16分）已知函数（）当时，求证：函数在上单调递增；（）若函数有三个零点，求的值；（）若存在，使得，试求的取值范围20 解：（） 3分由于，故当时，所以，故函数在上单调递增 5分（）当时，因为，且在R上单调递增， 故有唯一解 7分 所以的变化情况如下表所示：x00递减极小值递增 又函数有三个零点，所以方程有三个根， 而，所以，解得11分（）因为存在，使得，所以当时，12分 由（）知，在上递减，在上递增， 所以当时， 而， 记，因为（当时取等号）， 所以在上单调递增，而， 所以当时，；当时， 也就是当时，；当时，14分 当时，由， 当时，由，综上知，所求的取值范围为16分数学II（附加题）（满分40分，考试时间30分钟）21【选做题】本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤（第21A题）A选修41：几何证明选讲自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且BMP=100，BPC=40，求MPB的大小【解】因为MA为圆O的切线，所以又M为PA的中点，所以因为，所以 5分于是在MCP中，由，得MPB=2010分B选修42：矩阵与变换已知二阶矩阵对应的变换将点变换成点，求实数的值C选修44：坐标系与参数方程椭圆中心在原点，焦点在轴上。离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程 21 C解：离心率为，设椭圆标准方程是，它的参数方程为是参数 5分最大值是，依题意，椭圆的标准方程是 10分 D选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值【解】因为正数a，b，c满足a+b+c=1，所以，5分即，当且仅当，即时，原式取最小值1 10分必做题 第22、23题,每小题10分,计20分请把答案写在答题纸的指定区域内22（本小题满分10分）已知，（其中）求及；试比较与的大小，并说明理由4解：取，则；取，则，； -4分要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，；当时，；当时，； -5分猜想：当时，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，时结论成立，假设当时结论成立，即，两边同乘以3 得：而即时结论也成立，当时，成立。 -9分综上得，当时，；当时，；当时， -10分23（本小题满分10分）某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中： （）恰有2人申请A片区房源的概率； （）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望解： （I）解法一：所有可