八年级数学第四章：相似图形第4、5、6节北师大版知识精讲.doc

初二数学初二数学第四章 相似图形第四章 相似图形 第第 4 4 5 5 6 6 节节北师大版北师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 第四章 相似图形 第四节 相似多边形 第五节 相似三角形 第六节 探索三角形相似的条件 二 教学要求 1 了解相似多边形的含义 经历相似多边形概念所形成的过程 探索相似多边形的本质 特征 2 理解相似三角形的概念 深化对相似三角形的理解和认识 3 掌握两个三角形相似的判定条件 能够运用三角形的相似条件解决简单的问题 三 重点及难点 重点 1 了解相似多边形的含义 正确理解概念的应用方法 2 理解相似三角形的概念 掌握相似三角形的本质特征 3 识别相似三角形 掌握相似三角形的判定条件 并运用三角形的相似条件解决简单问 题 难点 1 多边形边角关系的理解 2 深化对相似三角形的理解和认识 3 运用相似三角形条件解决一些实际问题 四 课堂教学 知识要点 知识点 1 相似多边形概念 对应角相等 且对应边成比例的两个多边形叫做相似多 边形 例如 四边形 ABCD 与四边形A B C D 说明 根据相似多边形的定义 要注意一定要满足两个条件 对应角相等 对应边成 比例 这两个条件缺一不可 知识点 2 相似比 相似多边形对应边的比叫作相似比 说明 1 两个全等的多边形一定是相似多边形 其相似比等于 1 2 相似比大于零 因为两个多边形的边长都是正数 所以对应边的比 即相似比也 必是正数 如 ABC 的相似比 则 ABC 的相似比是 C B A AB k A B C B A 1A B ABk 知识点 3 相似多边形定义的逆向思维 如果两个多边形相似 那么对应角相等 对 应边成比例 如四边形 ABCD 四边形 则 D C B A AABBCCDD ABBCCDDA A BB CC DD A 知识点 4 相似三角形的定义 三角对应相等 且三边对应成比例的两个三角形叫做 相似三角形 说明 相似三角形定义的双重性 1 在 ABC 和 中 若 且 C B A AABBCC 则 ABC ABBCCA A BB CC A C B A 2 若 ABC 则 C B A AABBCC ABBCCA A BB CC A 知识点 5 相似比 两个三角形对应边的比叫作相似比 知识点 6 相似三角形与全等三角形的区别与联系 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 能够完全重合指的是形状相同且大小也 相等 全等三角形的基本性质是对应角相等 对应边也相等 而性状相同 大小不一定相 等的两个三角形就是相似三角形 形状相同就是指两个三角形的对应角相等 对应边成比 例 这是相似三角形的一个最基本的性质 全等三角形与相似三角形的相同之处 1 两者都强调形状相同 2 两者都强调把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上 这样可以比较容易的找出对应角和对应边 3 两者的性质也非常相似 都是关于边和角 主要是线段 周长与面积等 他们研究的方法 也很类似 他们的联系 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 即全等三角形是相似三 角形的一种特殊情况 全等三角形与相似三角形的主要区别 全等三角形要求对应边相等 而相似三角形只 要求对应边成比例 当对应边的比值等于 1 时 这两个三角形不仅相似而且全等 总之 两个三角形全等一定是相似 但相似不一定全等 知识点 7 三角形相似的条件 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形 他们的共同点是对应角相等 不同点是全等 三角形对应边相等 而相似三角形是对应边成比例 全等三角形是相似三角形的特例 三角形全等的判别三角形相似的判别 SAS两边对应成比例 且夹角相等 SSS三边对应成比例 ASA AAS 两角对应相等 HL有一直角边与斜边对应成比例 知识点 8 三角形相似的基本图形 1 平行型 如图 A 型 即公共角所对应的边平行 则 ADE ABC X 型 即对顶角对的边平行 则 AOB DOC 2 相交型 共角型 即其公共角的对边不平行 且有另一对角相等 则有 ABC ADE 共角共线型 即公共角的对边不平行 且有另一对角相等 两个三角形有一条公 共边 则 ABC ACD 蝴蝶型 即对顶角的对边不平行 且有另一对角相等 则 ABC ADE 3 母子型 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似 即 ADC CDB ACB 典型例题典型例题 例 1 已知两个相似三角形的最长边分别为 35 厘米和 14 厘米 且较大的三角形的周长 为 60 厘米 求另一个三角形的周长 分析 分析 两个相似三角形的最长的边的比即对应边的比 再根据等比性质求得两个三角 形边长之和的比 即两个三角形的周长的比等于相似比 从而求得另一个三角形的周长 解 解 不防设 ABC 且 AB 35 厘米 14 厘米 C B AA B 所以 ABBCCA A BB CC A 35 14 所以 ABBCCA A BB CC A 5 2 因为 60 厘米ABBCCA 所以 24 厘米 A BB CC A 答 答 另一个三角形的周长为 24 厘米 说明 说明 利用等比性质能够顺利得出两三角形的周长比 再利用周长比等于相似比 此 题顺利得解 例 2 如图 Rt ABC Rt CBD AB 4 AC 3 试求 BD CD 的长 分析 分析 根据两个相似三角形中一个三角形已知两边长 要求另一个三角形的两边长 由相似三角形对应边成比例 显然条件不足 但图中两个三角形有一条公共边 BC 并且都 是直角三角形 所以根据勾股定理 在 Rt ABC 中求出 BC 的长 BC 又可以成为 Rt CBD 中已知边长 再根据比例式 即可求得 CD 然后用勾股定理或比例式求 ACAB CDBC 出 BD 解 解 因为 Rt ABC 中 AB 4 AC 3 所以 2222 435BCABAC 因为 Rt ABC Rt CBD 所以 即 ACAB CDBC 34 5CD 所以 15 4 CD 因为 即 ABBC BCBD 45 5BD 所以 25 4 BD 例 3 如图 ADE ABC AD 8 厘米 DB 4 厘米 BC 15 厘米 求 1 DE 的长 2 AE EC 分析 分析 1 求 DE 的长则根据相似三角形对应边成比例 即有 而 DEAD BCAB 的值用的值转化得到 从而等式中仅 DE 未知 用解方程的方法即可求得 2 AD AB AD BD 的值正好是两个相似三角形的对应边之比 由 1 即可求解 再由的比用比例 AE AC AE AC 性质可求得 AE EC 解 解 1 因为 ADE ABC AD 8 厘米 DB 4 厘米 BC 15 厘米 所以 AB AD DB 12 厘米 DEAD BCAB 所以 8 1215 DE 所以 DE 10 厘米 2 因为 ADE ABC 所以 AE AC AD AB 2 3 所以 3 2 AC AE 因为 即 32 2 ACAE AE 1 2 EC AE 所以2 AE EC 说明 说明 根据相似三角形的性质 并运用比例的基本性质进行运算 这是常用的基本方 法 须熟练掌握 同时 此例也可用其他方法 如 由 设 AE 2k AC 3k 则 AE AC 2 3 EC AC AE k 所以 2 2 AEk ECk 例 4 如图 点 C D 在线段 AB 上 PCD 是等边三角形 1 当 AC CD DB 满足怎样的关系时 ACP PDB 2 当 ACP PDB 时 求APB 分析 分析 1 ACP 和 PDB 中 已有一组角相等 只需这组角的两边成比例 然后 再通过正三角形性质转化到 AC CD DB 的关系 2 当 ACP PDB 则对应角相等 这样可求出 APB 解 解 1 因为 PCD 是等边三角形 所以 PC CD PD 60PCDPDC 即120PCAPDB 所以只要满足 ACP PDB ACPC PDBD 所以关系式为 或 ACCD CDBD 2 CDACBD 2 因为 ACP PDB 所以1 2AB 又因为 所以160PDCB 1260 所以126060120APBCPD 例 5 如图 OA OB BC CD 请找出图中的相似三角形 并说明理90AOB 由 分析 分析 有公共角的先确定 再找另一个角对应相等或夹边对应成比例 解 解 ABC DBA 设 OA OB BC CD a 则 AB a 2 2 22 BCa ABa 22 22 ABa DBa 所以 且 BCAB ABDB ABCDBA 所以 ABC DBA 模拟试题模拟试题 答题时间 40 分钟 一 选择题 1 下列图形中一定相似的是 A 有一个角相等的两个平行四边形 B 有一个角相等的两个等腰梯形 C 有一个角相等的两个菱形 D 有一组邻边对应成比例的两平行四边形 2 下列结论不正确的是 A 所有的矩形都相似 B 所有的正方形都相似 C 所有的等腰直角三角形都相似 D 所有的正八边形都相似 3 如果 ABC A B C BC 3 B C 1 8 则 A B C 与 ABC 的相似 比为 A 5 3 B 3 2 C 2 3 D 3 5 4 ABC 和 A B C 符合下列条件 其中使 ABC 和 A B C 不相似的是 A A A 45 B 26 B 109 B AB 1 AC 1 5 BC 2 A B 4 A C 2 B C 3 C A B AB 2 AC 2 4 A B 3 6 B C 3 D AB 3 AC 5 BC 7 A B A C B C 357 5 如图 下列条件不能判定 ABC 与 ADE 相似的是 A B B ADE AB AC AD AE C D C AED BC DE AC AE 6 在 ABCD 中 E 在 BC 边上 AE 交 BD 于 F 若 BE EC 4 5 则 BF FD 等于 A 4 5 B 5 4 C 5 9 D 4 9 7 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D CD 2 BD 1 则 AD 的长 是 A 1 B C 2 D 42 二 填空题 1 如图 1 EFAD ABCD 则 A 的对应角是 B 的对应角是 AB AF 图 1 2 两个相似多边形的相似比是 则这两个多边形的对应对角线的比是 8 1 3 如果 ABC 和 A B C 的相似比等于 1 则这两个三角形 4 已知 ABC A B C A 和 A B 和 B 分别是对应点 若 AB 5 cm A B 8 cm AC 4 cm B C 6cm 则 A B C 与 ABC 的相似比为 A C BC 5 如图 D E 分别为 ABC 中 AB AC 边上的点 请你添加一个条件 使 ADE 与 ABC 相似 你添加的条件是 只需填上你认为正确的一种情况即可 6 如图 D E F 分别是 ABC 各边的中点 则 DEF 理由是 7 如图 BAD CAE B D AB 2AD 若 BC 3 cm 则 DE cm 8 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 AE EB MN 1 线段 MN 的两端分别在 CB CD 上滑动 那么当 CM 时 ADE 与 MNC 相似 三 1 已知 ABC 三边的比为 1 2 3 A B C ABC 且 A B C 的最 大边长为 15 cm 求 A B C 的周长 2 ABC 中 AB 12 cm BC 18 cm AC 24 cm 若 A B C ABC 且 A B C 的周长为 81 cm 求 A B C 各边的长 3 如图 在四边形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O ABD ACD 试找出图中的相 似三角形 并加以证明 试题答案试题答案 一 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 D 7 D 二 1 FED EFA BC EF 2 8 1 3 全等 4 5 8 5 32 4 15 5 C ADE 或 B AED 等 6 ABC 这两个三角形的三边对应成比例 这两个三角形相似 7 1 5 8 或 5 52 5 5 三 1 30 cm 2 解法 1 设 A B C 与 ABC 的相似比为 x 根据题意得 x BC CB AC CA AB BA 将 AB 12 BC 18 AC 24 代入上式可得 A B 12x B C 18x A C 24x A B C 的周长为 81 cm 12x 18x 24x 81 解得 x 2 3 A B