高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明自主练习 苏教版选修12.doc

2.2.1 直接证明自主广场我夯基 我达标1.要证明+可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）a.综合法 b.分析法 c.反证法 d.归纳法思路解析:要证明成立，用分析法最合适.答案:b2.a0,b0,则下列等式中不成立的是（ ）a.a+b+ b.（a+b)(+)4c.a+b d. .思路解析:利用基本不等式即可.对于a:a+b+，当且仅当a=b时取等号，所以成立.对于b:(a+b)(+)2=4，当且仅当a=b时取等号，所以成立.对于c：(a+b)=a+b,当且仅当a=b时取等号，所以c成立.对于d：,所以d错误.3.设x0,y0,a=,b=,则a与b的大小关系为（ ）a.ab b.ab c.ab d.ab思路解析:x0,y0,b=a，即ba.答案:c4.若a0,b0,则有（ ）a.2b-a b.2b-a c.2b-a d.2b-a.思路解析:b2-2ab+a20b2a(2b-a) 2b-a.答案:c5.若p=,q=(m、n、b、c、d均为正数），则p、q的大小关系为（ ）a.pq b.pq c.pq d.不确定思路解析:q=p.答案:b6.若x、yr,且2x2+y2=6x,则x2+y2+2x的最大值为（ ）a.14 b.15 c.16 d.17思路解析:由y2=6x-2x20得0x3,从而x2+y2+2x=-(x-4)2+16.当x=3时，最大值为15.答案:b7.已知abc,nn*,且+恒成立，则n的最大值为（ ）a.2 b.3 c.4 d.5思路解析:nmax=4答案:c8.已知：函数f(x)=tanx,x(0,),若x1,x2(0, ）且x1x2.证明：f(x1)+f(x2)f()证明：欲证f(x1)+f(x2)f 即证：(tanx1+tanx2)tan 只需证：,即证x1+x2(0,),sin(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0,cosx1cosx20,只需证1+cos(x1+x2)2cos(x1+x2)2cosx1cosx2,即证：1+cos(x1+x2)cos(x1+x2)+cos(x1-x2),即证：1cos(x1-x2).x1,x2(0,)且x1x2,x1-x2(-,0)(0,).0cos(x1-x2)1,即1cos(x1-x2)成立.故原等式成立.9.已知a、b、c表示abc的边长，m0，求证：.证明：构造函数f(x)=,x0.设x1,x2(0,+),且x1x2.且f(x2)-f(x1)=.x1,x2(0,+),x2x1,x2-x10,m+x20,m+x10,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)f(x1)f(x)=在(0,+)上是增函数.在abc中，a+bc,则成立.有,成立.我综合 我发展10.设a与b为正数并且满足a+b=1,a2+b2k,则k的最大值为（ ）a. b. c. d.1思路解析:a2+b2 (a+b)2= (当且仅当a=b时取等号）.kmax=.答案:c11.已知函数f(x)=()x,a、br+,a=f(),b=f(),c=f(),则a、b、c的大小关系为（ ）a.abc b.acb c.bca d.cba思路解析:,又函数f(x)=()x,在(-,+)上是单调减函数.f()f().答案:a12.(精典回放）函数f(x)=3x, 对于任意x1、x2,都有（ ）a.f(x1x2)=f(x1）f（x2) b.f(x1x2)=f(x1)+f(x2).c.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) d.f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)思路解析:f(x1+x2)=f(x1)f(x2)答案:c13.(精典回放）设f(n)=(nn*),则f(n+1)-f(n)=( )a. b.c. + d. -思路解析:f(n+1)=f(n+1)-f(n)=答案:d14.(精典回放）已知函数f(x)=,g(x)= (1)证明f(x)是奇函数；（2）分别计算f(4)-5f(2)g(2),f(9)-5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明.证明：（1）函数f(x)的定义域(-,0)(0,+)关于原点对称，又f(-x)=.=-f(x)f(x)为奇函数.（2）f(4)-5f(2)g(2)=0f(9)-5f(3)g(3)=0由此归纳猜想：f(x2)-5f(x)g(x)=0(xr,x0).f(x2)-5f(x)g(x)=015.(2006年天津高考卷，文21)已知数列xn满足x1=x2=1,并且(为非零参数，a=2,3,4, ).(1)若x1、x3、x5成等比数列，求参数的值;（2）设01,常数kn*,且k3.证明：(n*).（1）解：由已知x1=x2=1,且x3=,x4=3,x5=6.若x1,x3,x5成等比数列，则=x1x5.即2=6,而