高考数学一轮复习 第4单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入听课学案 理.doc

第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算课前双击巩固1.向量的有关概念及表示名称定义表示向量在平面中,既有又有的量用a,b,c,或ab,bc,表示向量的模向量a的,也就是表示向量a的有向线段ab的(或称模)或零向量长度为的向量用表示单位向量长度等于个单位的向量用e表示,|e|=平行向量方向或相反的非零向量(或称共线向量)ab相等向量相等且方向的向量a=b相反向量相等,方向的向量向量a的相反向量是说明:零向量的方向是、.规定:零向量与任一向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的运算法则法则(1)加法交换律:a+b=;(2)加法结合律:(a+b)+c= 减法减去一个向量相当于加上这个向量的 法则a-b=数乘实数与向量a的积是一个,这种运算叫作向量的,记作(1)|a|=.(2)当0时,a与a的方向;当|b|0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同;设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|a0.其中正确结论的序号是.6.若四边形abcd满足ad=12bc且|ab|=|dc|,则四边形abcd的形状是.7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为.课堂考点探究探究点一平面向量的基本概念1 (1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使a|a|+b|b|=0成立的是()a.a=2b b.abc.a=-13bd.ab(2)给出下列说法:若|a|=|b|,则a=b;若ab,bc,则ac;a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;若ab与bc共线,则a,b,c三点在同一条直线上.其中错误说法的序号是. 总结反思 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与a|a|的关系:a|a|是与a同方向的单位向量.式题 (1)如图4-24-3,等腰梯形abcd中,对角线ac与bd交于点p,点e,f分别在ad,bc上,ef过点p,且efab,则下列等式中成立的是()a.ad=bcb.ac=bdc.pe=pfd.ep=pf图4-24-3 (2)给出下列说法:若a,b,c,d是不共线的四个点,则ab=dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件;若a,b都是单位向量,则a=b;向量ab与ba相等;若a=b,b=c,则a=c.其中正确说法的序号是()a.b.c.d.探究点二平面向量的线性运算考向1平面向量加减法的几何意义2 (1)2017南昌重点学校模拟 已知o为abc内一点,满足4ao=ab+2ac,则aob与aoc的面积之比为()a.11b.12c.13d.21(2)已知abc,若|ab+ac|=|ab-ac|,则abc的形状为. 总结反思 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.考向2平面向量的线性运算3 (1)2017西宁一模 如图4-24-4所示,图4-24-4在abc中,点d在bc边上,且cd=2db,点e在ad上,且ad=3ae,则ce=()a.29ab+89acb.29ab-89acc.29ab+79acd.29ab-79ac(2)2017长春二模 在abc中,d为abc所在平面内一点,且ad=13ab+12ac,则sbcdsabd=()a.16b.13c.12d.23 总结反思 向量线性运算的解题策略:(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果.考向3利用向量的线性运算求参数4 2017运城三模 在abc中,an=13nc,p是直线bn上一点,且ap=mab+34ac,则实数m的值为()a.-2b.-4c.1d.4 总结反思 与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.强化演练1.【考向1】设d,e,f分别为abc的边bc,ca,ab的中点,则eb+fc=()a.adb.bcc.12add.12bc2.【考向1】2017长沙长郡中学三模 已知o是abc所在平面内一点,d为bc边的中点,且2oa+ob+oc=0,则()a.ao=odb.ao=2odc.ao=3odd.2ao=od3.【考向2】在abc中,点d是bc的中点,点e是ac的中点,点f在线段ad上,且af=2df,设ab=a,bc=b,则ef=()a.23a-16bb.23a-12bc.16a-13bd.16a-16b4.【考向1】已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-b|=2,则|a+b|=.5.【考向3】2017山东滨州二模 如图4-24-5所示,在abc中,o为bc的中点,过点o的直线分别交ab,ac所在直线于点m,n.若ab=mam,ac=nan,则m+n=.图4-24-5探究点三共线向量定理及应用考向1向量共线的问题5 已知e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-e2与b=e1+e2共线,则=()a.-12b.-2c.12d.2 总结反思 两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反,因此共线包含两种情况:同向共线或反向共线.一般地,若a=b(a0),则a与b共线:(1)当0时,a与b同向; (2)当0,反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有ab0,反之不成立(因为a与b夹角为时不成立).题组一常识题1.教材改编 已知向量a=(1,-2),b=(3,-4),则a(a-b)=.2.教材改编 已知|a|=3,|b|=32,ab=34,则向量a与b的夹角为.3.教材改编 已知a=1,b=2,且向量a与b的夹角为120,则|2a-b|=.4.教材改编 已知两个单位向量e1,e2的夹角为45,且满足e1(e2-e1),则=.5.教材改编 在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.若渡船要垂直渡过长江,则渡船的航向应为.题组二常错题索引:向量的夹角没有找准导致出错;向量的数量积的几何意义不理解致误;向量的数量积的有关性质应用不熟练.6.在边长为1的等边三角形abc中,设bc=a,ca=b,ab=c,则ab+bc+ca=.7.已知ab=(2,1),点c(-1,0),d(4,5),则向量ab在cd方向上的投影为.8.若四边形abcd满足ab+cd=0,(ab-ad)ac=0,则该四边形一定是.课堂考点探究探究点一平面向量的数量积的运算1 (1)2017长沙模拟 已知向量a=(2,-1),b=(3,x),若ab=3,则x=.(2)2017江西重点中学联考 在边长为1的正三角形abc中,设bc=2bd,ce=2ea,则adbe=. 总结反思 向量数量积的运算问题可从三个方面考虑:(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解;(2)把两个向量各自使用已知的向量表示,再按照法则计算;(3)建立平面直角坐标系,把求解的两个向量使用坐标表示,再按照坐标法计算.式题 (1)2017资阳期末 已知菱形abcd的边长为2,b=3,点p满足ap=ab,r.若bdcp=-3,则=()a.12b.-12c.13d.-13(2)2017襄阳四中月考 已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,|a-b|=7,则ab=.探究点二向量的夹角与向量的模考向1平面向量的模2 (1)2017芜湖、马鞍山联考 已知向量a=(1,-3),b=(2,m),若ab,则|a-2b|=()a.45b.90c.35d.310(2)2017河南新乡三模 已知向量oa,ob满足|oa|=|ob|=2,oaob=2,若oc=oa+ob(,r),且+=1,则|oc|的最小值为()a.1b.52c.2d.3 总结反思 (1)利用数量积求解向量模的问题常用的公式:a2=aa=|a|2或|a|=aa;|ab|=(ab)2=a22ab+b2;若a=(x,y),则|a|=x2+y2.(2)最值问题是在变化中求得一个特殊情况,在此情况下求解目标达到最值,因此函数方法是最基本的方法之一.考向2平面向量的垂直3 (1)已知向量a=(2,-1),b=(1,7),则下列结论正确的是()a.ab b.abc.a(a+b)d.a(a-b)(2)2017重庆外国语学校月考 已知向量a=(5,m),b=(2,-2),(a+b)b,则m=()a.-9 b.9c.6 d.-6(3)如图4-26-1所示,等腰梯形abcd中,ab=4,bc=cd=2,若e,f分别是bc,ab上的点,且满足bebc=afab=,当aedf=0时,则的值为.图4-26-1 总结反思 (1)当向量a与b是坐标形式时,若证明ab,则只需证明ab=0x1x2+y1y2=0.(2)当向量a,b是非坐标形式时, 要把a,b用已知的不共线向量作为基底来表示,且不共线的向量要知道其模与夹角,进行运算证明ab=0.(3)数量积的运算ab=0ab是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.考向3平面向量的夹角4 (1)2017北京朝阳区期末 已知平面向量a=(1,0),b=-12,32,则a与a+b的夹角为()a.6b.3c.23d.56(2)已知向量a=(m,3),b=(3,1),若向量a,b的夹角为30,则实数m=.(3)2017四川绵阳中学模拟 平面向量a=(1,2),b=(6,3),c=ma+b(mr),且c与a的夹角与c与b的夹角相等,则m=. 总结反思 (1)研究向量的夹角应注意“共起点”;两个非零共线向量的夹角分别是0与180;求角时,注意向量夹角的取值范围是0,;若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos =x1x2+y1y2x12+y12x22+y22求解.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.强化演练1.【考向1】已知向量a,b满足a=2,b=3,向量a与b的夹角为60,则|a-b|=()a.19b.19c.7d.72.【考向3】已知向量a=32,12,b=(3,-1),则a与b的夹角为()a.4b.3c.2d.233.【考向3】2018益阳调研 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),记向量a,b的夹角为,则tan =.4.【考向2】2018德州期中 已知向量ab与ac的夹角为60,且|ab|=2,|ac|=1,若ap=ab+ac,且apac,则实数的值是.5.【考向1】已知直角梯形abcd中,adbc,adc=90,ad=2,bc=1,p是腰dc上的动点,则|pa+3pb|的最小值为.6.【考向3】abc的外接圆的半径为1,圆心为o,且2oc+cb+ca=0,|oc|=|cb|,则acab=.探究点三平面向量与三角函数的综合5 2018洛阳期中 已知向量a=(sin x,-3),b=(1,cos x).(1)若ab,求tan 2x的值;(2)令f(x)=ab,把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),再把所得的图像沿x轴向左平移3个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的单调递增区间及其图像的对称中心. 总结反思 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路:(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立的条件,得到三角函数的关系式,然后求解;(2)给出用三角函数表示的向量坐标,求解的是向量的模或者其他向量的表达式,经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等.式题 已知向量a=(sin x,3cos x),b=(-1,1),c=(1,1),其中x0,.(1)若(a+b)c,求x的值;(2)若ab=12,求sinx+6的值.第27讲数系的扩充与复数的引入课前双击巩固1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,br)的数叫作复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+bi为实数;若,则a+bi为虚数;若,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di (a,b,c,dr).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭(a,b,c,dr).(4)复数的模:向量oz=(a,b)的模r叫作复数z=a+bi(a,br)的模,记作或,即|z|=|a+bi|=.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点z(a,b)(a,br).(2)复数z=a+bi(a,br)平面向量.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dr),则加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;除法:z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(c+di0).(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3c,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.常用结论1.(1i)2=2i,1+i1-i=i,1-i1+i=-i.2.i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1,i4n+3=-i(nn*);i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(nn*).3.zz=|z|2=|z|2,|z1z2|=|z1|z2|,z1z2=|z1|z2|,|zn|=|z|n.4.复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量oz1,oz2不共线,则复数z1+z2是以oz1,oz2为邻边的平行四边形的对角线oz所对应的复数.5.复数减法的几何意义:复数z1-z2是oz1-oz2=z2z1所对应的复数.题组一常识题1.教材改编 若复数z=a2-a-2+(a+1)i为纯虚数,则实数a的值为.2.教材改编 复数z=(x+1)+(x-2)i(xr)在复平面内所对应的点在第四象限,则x的取值范围为.3.教材改编 已知i是虚数单位,则复数1-3i1-i=.题组二常错题索引:将复数a+bi(a,br)的虚部误认为是bi;将复数在复平面内所对应的点的位置弄错;错用虚数单位i的幂的性质.4.已知复数z=(1-i)21+i,则z的共轭复数的虚部为.5.已知复数z在复平面内对应的点落在虚轴上,且满足|z-1|=3,则z=.6.若复数z满足z2+i=i2018+i2019(i为虚数单位),则z=.课堂考点探究探究点一复数的有关概念1 (1)2017河南六校联考 设复数z=2+i(1+i)2(i为虚数单位),则z的虚部是()a.-1b.1c.-id.i(2)若复数2-bi1+2i(br,i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,则b=. 总结反思 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,在解题中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.式题 (1)2017烟台一模 设i是虚数单位,若复数a+2i1-i(ar)是纯虚数,则a=()a.-1b.1c.-2d.2(2)已知复数z=1+ai3-i是纯虚数(其中i为虚数单位,ar),则z的虚部为()a.1b.-1 c.id.-i探究点二复数的几何意义2 (1)在复平面内,复数1+i(1-i)2+1对应的点在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限(2)2017保定一模 在复平面内,若o(0,0),a(2,-1),b(0,3),则在oacb中,点c所对应的复数为()a.2+2ib.2-2ic.1+id.1-i 总结反思 (1)复数z、复平面上的点z及向量oz相互联系,即z=a+bi(a,br)z(a,b)oz.(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量oz的坐标,对于复数z=a+bi(a,br),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b).复数的模即为其对应向量的模.式题 (1)2017赣州二模 已知复数z满足(1-i)2z=1+2i,则复数z在复平面内对应的点为()a.-1,-12b.1,-12c.-12,1d.-12,-1(2)2017南宁二模 复数11+ai(ar)在复平面内对应的点在第一象限,则a的取值范围为()a.a0b.0a1d.a|b|0,所以当a,b同向时,a+b的方向与a的方向相同,当a,b反向时,a+b的方向仍与a的方向相同,正确;对于,因为不确定a0的方向与a的方向是否相同,所以错误.6.等腰梯形解析 ad=12bc表示ad与bc共线,但|ad|bc|,所以四边形abcd是梯形,又|ab|=|dc|,所以四边形abcd是等腰梯形.7.2,6解析 当a与b方向相同时,|a-b|=2,当a与b方向相反时,|a-b|=6,当a与b不共线时,2|a-b|6,所以|a-b|的取值范围为2,6.此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)将已知等式整理成a=b的形式,再根据向量共线定理判断;(2)利用平面向量的有关概念判断.(1)c(2)解析 (1)由a|a|+b|b|=0得a|a|=-b|b|0,即a=-b|b|a|0,则a与b共线且方向相反,因此当向量a与b共线且方向相反时,能使a|a|+b|b|=0成立.选项a中向量a与b的方向相同,选项b中向量a与b共线,方向相同或相反,选项c中向量a与b的方向相反,选项d中向量a与b互相垂直,故选c.(2)不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.不正确.当b=0时,ab,bc,但a与c不一定平行.正确.a与b是非零向量,b与-b反向,若a与b同向,则a与-b反向.正确.因为ab与bc共线,且ab与bc有公共点b,所以a,b,c三点在同一条直线上.变式题(1)d(2)a解析 (1)a中,ad与bc的长度相等,但方向不同,所以a错误;b中,ac与bd的长度相等,但方向不同,所以b错误;c中,pe与pf的长度相等,但方向相反,所以c错误;d中,ep与pf的长度相等,方向也相同,即ep=pf.故选d.(2)对于,因为ab=dc,所以|ab|=|dc|且ab与dc共线,又因为a,b,c,d是不共线的四个点,所以四边形abcd为平行四边形;反之,若四边形abcd为平行四边形,则ab与dc共线且|ab|=|dc|,所以ab=dc,故正确.根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故错误.向量ab与ba互为相反向量,故错误.对于,因为a=b,所以a,b的长度相等且方向相同,又b=c,所以b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,即a=c,故正确.故选a.例2思路点拨 (1)首先根据条件4ao=ab+2ac构造平行四边形abef,然后结合三角形相似的性质求解;(2)以向量ab,ac为邻边作平行四边形,通过判断平行四边形的形状来确定abc的形状.(1)d(2)直角三角形解析 (1)如图所示,延长ac到点f,使ac=cf,以ab,af为邻边作平行四边形abef,对角线ae交bc于点d,故4ao=ab+2ac=ae,即点o在ae上,则aob与aoc的高分别为b,c到ae的距离.由平行四边形的性质得adcedb,且相似比为12,即cdbd=12,又因为aob,aoc的底边均为ao,高的比等于bddc=21,所以aob与aoc的面积之比为21.(2)由|ab+ac|=|ab-ac|可知,以向量ab,ac为邻边的平行四边形的两条对角线相等,则此平行四边形为矩形,故abac,即abc为直角三角形.例3思路点拨 (1)首先利用三角形法则与向量共线的性质表示出向量ae,然后利用三角形法则表示出ce.(2)由ad=13ab+12ac确定点d的位置,从而确定两三角形面积的关系.(1)b(2)b解析 (1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得ae=13ad,ad=ab+bd,bd=13bc,bc=ba+ac,则bd=13(ba+ac),所以ad=ab+bd=ab+13ba+13ac,所以ae=13ab+13ba+13ac,所以ce=ca+ae=ca+13ab+19ba+19ac=29ab+89ca=29ab-89ac,故选b.(2)由ad=13ab+12ac得点d在平行于ab的中位线上,从而有sabd=12sabc,又sacd=13sabc,所以sbcd=1-12-13sabc=16sabc,所以sbcdsabd=13.故选b.例4思路点拨 利用p是直线bn上一点,可设bp=nbn,然后用m,n及ab,ac表示出向量ap,对照已知条件即可求得m的值.a解析 an=13nc,an=14ac.p是直线bn上一点,设bp=nbn,则 ap-ab=n(an-ab),即ap=(1-n)ab+nan=(1-n)ab+n4ac=mab+34ac,则n=3,所以m=1-n=-2.故选a.强化演练1.a解析 eb+fc=(ec-bc)+(fb+bc)=ec+fb=12ab+12ac=12(ab+ac)=ad,故选a.2.a解析 由题意得ob+oc=2od,又ob+oc=-2oa=2ao,所以ao=od,故选a.3.d解析 ef=af-ae=23ad-12ac=23ab+12bc-12ab+bc=16ab-16bc,故选d.4.2解析 设oa=a,ob=b,以oa,ob为邻边作平行四边形oacb,则|ba|=|a-b|,|oc|=|a+b|.|a|=|b|=1,且|a-b|=2,|ba|=2|a|=2|b|,平行四边形oacb是正方形,|oc|=|ba|=2,即|a+b|=2.5.2解析 因为o是bc的中点,所以ab+ac=2ao,即mam+nan=2ao,则ao=12mam+12nan.又因为o,m,n三点共线,所以12m+12n=1,即m+n=2.例5思路点拨 根据平面向量共线定理,引入实数使得2e1-e2=(e1+e2),然后通过比较系数建立方程组求解.a解析 若向量a与b共线,则存在实数使得2e1-e2=(e1+e2),则有=2,=-1,解得=-12,故选a.例6思路点拨 (1)首先根据向量加减法法则寻找a,b,c,d四点中任意三个点对应向量间的关系,然后利用共线定理进行判断;(2)