（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第1课时学案.doc

9.9圆锥曲线的综合问题最新考纲考情考向分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.了解圆锥曲线的简单应用3.理解数形结合的思想.以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；0)上，且直线ab过抛物线的焦点，则y1y2p2.()题组二教材改编2p71例6过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()a1条 b2条c3条 d4条答案c解析过(0,1)与抛物线y24x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点3p80a组t8已知与向量v(1,0)平行的直线l与双曲线y21相交于a，b两点，则|ab|的最小值为_答案4解析由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|ab|x1x2|44，即当m0时，|ab|有最小值4.题组三易错自纠4过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于a，b两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()a有且只有一条 b有且只有两条c有且只有三条 d有且只有四条答案b解析设该抛物线的焦点为f，a(xa，ya)，b(xb，yb)，则|ab|af|fb|xaxbxaxb132p2.所以符合条件的直线有且只有两条5(2017江西省南昌市三模)已知f1，f2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点，且f1pf2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为_答案6已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2c，右顶点为a，抛物线x22py(p0)的焦点为f.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|fa|c，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析抛物线的准线方程为y，焦点为f，a22c2.设抛物线的准线y交双曲线于m，n两点，即1，解得xa，2a2c.又b2c2a2，由，得2.11，解得1.双曲线的渐近线方程为yx.第1课时范围、最值问题题型一范围问题典例 (2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为f，右顶点为a.已知，其中o为原点，e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设过点a的直线l与椭圆交于点b(b不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点m，与y轴交于点h.若bfhf，且moamao，求直线l的斜率的取值范围解(1)设f(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为yk(x2)设b(xb，yb)，由方程组消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由题意得xb，从而yb.由(1)知，f(1,0)，设h(0，yh)，有(1，yh)，.由bfhf，得0，所以0，解得yh.因此直线mh的方程为yx.设m(xm，ym)，由方程组消去y，解得xm.在mao中，由moamao，得|ma|mo|，即(xm2)2yxy，化简，得xm1，即1，解得k或k.所以直线l的斜率的取值范围为.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆c：1(ab0)与双曲线y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆c的标准方程；(2)设不过原点o的直线与椭圆c交于m，n两点，且直线om，mn，on的斜率依次成等比数列，求omn面积的取值范围解(1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率e.又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为点(2,0)，即a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)联立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线om，mn，on的斜率依次成等比数列，故k2，则m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，显然m21(否则x1x20，x1，x2中至少有一个为0，直线om，on中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点o到直线的距离为d，则somn|mn|d|x1x2|m|.故由m的取值范围可得omn面积的取值范围为(0,1)题型二最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值典例 过抛物线y24x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是坐标原点，则|af|bf|的最小值是()a2 b. c4 d2答案c解析设直线ab的倾斜角为，可得|af|，|bf|，则|af|bf|4.命题点2数形结合利用几何性质求最值典例 在平面直角坐标系xoy中，p为双曲线x2y21右支上的一个动点若点p到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_答案解析双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点p到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值典例 (2017山东)在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆e的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆e于a，b两点，c是椭圆e上一点，直线oc的斜率为k2，且k1k2.m是线段oc延长线上一点，且|mc|ab|23，m的半径为|mc|，os，ot是m的两条切线，切点分别为s，t.求sot的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解(1)由题意知e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以椭圆e的方程为y21.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10.由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|ab|x1x2| .由题意可知，圆m的半径r为r|ab|，由题设知k1k2，所以k2，因此直线oc的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|oc|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0,1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以sot的最大值为.综上所述，sot的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解跟踪训练(2018邢台模拟)已知椭圆y21上两个不同的点a，b关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求aob面积的最大值(o为坐标原点)解(1)由题意知m0，可设直线ab的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将ab的中点m代入直线方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，则t2.则|ab|，且o到直线ab的距离为d.设aob的面积为s(t)，所以s(t)|ab|d，当且仅当t2时，等号成立，此时满足t2.故aob面积的最大值为.1(2017河北武邑中学模拟)已知p(x0，y0)是椭圆c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则x0的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析由题意可知：f1(，0)，f2(，0)，则(x0)(x0)yxy30，点p在椭圆上，则y1，故x30，解得x0，即x0的取值范围是.2斜率为1的直线l与椭圆y21相交于a，b两点，则|ab|的最大值为()a2 b. c. d.答案c解析设a，b两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|ab|x1x2|，当t0时，|ab|max.3过抛物线y2x的焦点f的直线l交抛物线于a，b两点，且直线l的倾斜角，点a在x轴上方，则|fa|的取值范围是()a. b.c. d.答案d解析记点a的横坐标是x1，则有|af|x1|af|cos ，|af|(1cos )，|af|.由得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左、右焦点，对于左支上任意一点p都有|pf2|28a|pf1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()a(1，) b(2,3c(1,3 d(1,2答案c解析由p是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|pf2|2a|pf1|，所以|pf1|4a8a，所以|pf1|2a，|pf2|4a，在pf1f2中，|pf1|pf2|f1f2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值为()a. b.c. d1答案a解析由题意可得f，设p(y00)，则()，可得k.当且仅当时取得等号，故选a.6(2017九江模拟)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线c：x24y，点p是c的准线l上的动点，过点p作c的两条切线，切点分别为a，b，则aob面积的最小值为()a. b2 c2 d4答案b解析设p(x0，1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，又a，b在抛物线上，所以y1，y2.因为y，则过点a，b的切线分别为y(xx1)，y(xx2)均过点p(x0，1)，则1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的两根，则x1x22x0，x1x24，设直线ab的方程为ykxb，联立得x24kx4b0，则x1x24b4，即b1，|ab|x1x2|，o到直线ab的距离d，则saob|ab|d2，即aob的面积的最小值为2，故选b.7(2017泉州质检)椭圆c：y21(a1)的离心率为，f1，f2是c的两个焦点，过f1的直线l与c交于a，b两点，则|af2|bf2|的最大值等于_答案7解析因为椭圆c的离心率为，所以，解得a2，由椭圆定义得|af2|bf2|ab|4a8，即|af2|bf2|8|ab|，而由焦点弦性质，知当abx轴时，|ab|取最小值21，因此|af2|bf2|的最大值等于817.8(2018届贵州黔东南州联考)定长为4的线段mn的两端点在抛物线y2x上移动，设点p为线段mn的中点，则点p到y轴距离的最小值为_答案解析设m(x1，y1)，n(x2，y2)，抛物线y2x的焦点为f，抛物线的准线为x，所求的距离d，所以(两边之和大于第三边且m，n，f三点共线时取等号)9(2017泉州模拟)椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，过椭圆的右焦点f2作一条直线l交椭圆于p，q两点，则f1pq的内切圆面积的最大值是_答案解析令直线l：xmy1，与椭圆方程联立消去x，得(3m24)y26my90，可设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则y1y2，y1y2.可知|f1f2|y1y2|12，又，故3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长l4a8，则内切圆半径r，其面积最大值为.10(2018日照模拟)若点o和点f分别为椭圆1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最小值为_答案6解析点p为椭圆1上的任意一点，设p(x，y)(3x3，2y2)，由题意得左焦点f(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值为6.11已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，点b在椭圆c上，且oaob，求线段ab长度的最小值解(1)由题意，得椭圆c的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22，因此a2，c.故椭圆c的离心率e.(2)设点a，b的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为oaob，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|ab|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)的左、右焦点分别为f1，f2，离心率为e1；双曲线c2：1的左、右焦点分别为f3，f4，离心率为e2.已知e1e2，且|f2f4|1.(1)求c1，c2的方程；(2)过f1作c1的不垂直于y轴的弦ab，m为弦ab的中点，当直线om与c2交于p，q两点时，求四边形apbq面积的最小值解(1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而f2(b,0)，f4(b,0)，于是bb|f2f4|1，所以b1，a22.故c1，c2的方程分别为y21，y21.(2)因为ab不垂直于y轴，且过点f1(1,0)，故可设直线ab的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是ab的中点为m，故直线pq的