2.1.3相等向量与共线向量 (2).docx

第二章平面向量教材分析一、 地位与作用向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。所以向量的学习有助于学生体会数学与实际生活的联系，认识数学内容的内在联系，发展运算能力和推理能力。二、 内容与课程学习目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容通过本章学习，应引导学生：1通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示2通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义3通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义4了解向量的线性运算性质及其几何意义5了解平面向量的基本定理及其意义6掌握平面向量的正交分解及其坐标表示7会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算8理解用坐标表示的平面向量共线的条件9通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义10体会平面向量的数量积与向量投影的关系11掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算12能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系13经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力三、 教学内容与课时安排本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下（仅供参考）：21 平面向量的实际背景及基本概念 2课时22 向量的线性运算 2课时23 平面向量的基本定理及坐标表示2课时24 平面向量的数量积2课时25 平面向量应用举例2课时小 结 2课时本章知识结构如下：1第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量向量，并说明向量与数量的区别然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念例1. 给出下列命题： ，则一定不与共线；若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；在平行四边形ABCD中，一定有；若向量与任意向量平行，则；若，则.其中所有正确命题的序号为 .例2. 根据下列各小题的条件，分别判断四边形ABCD的形状.（1）；（2）且（3）且.2第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给出向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的向量数乘运算的定义，给出了数乘运算的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则例3. 化简：（1）;（2）.（3）.例4. 如图，已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：.E例5. 如图，已知OBC中，点A是BC边的中点，OA与DC交于点E，设，；（1）用和表示向量、.（2）若，求实数的值.3第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁例6. 如图，在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知， ，试以，为基底表示和.例7. 向量，当k为何值时，A、B、C三点共线.例8. （1）求点A()关于坐标原点O的对称点的坐标.（2）求点A()关于点P()的对称点的坐标.4第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题例9. 已知、是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为（ ） ； 、反向 ； ； .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例10. 已知，当与分别满足以下条件时，求与的数量积（1）；（2）；（3）与的夹角为30。例11. 已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求.例12. 平面内有向量，点M为直线OP上的一个动点.（1）当取最小值时，求的坐标；（2）当点M满足（）的条件和结论时，求的值.例13. 已知向量，令. 求函数的最大值，最小正周期，并写出在0，上的单调区间.例14. 设向量，.若.（1）求的单调递增区间；（2）若，且，求的值. 5第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用本节通过几个具体的例子说明了它的应用6为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质四、 教学建议1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法2.加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路向量既是代数的对象，又是几何的对象作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平3引导学生认真体会向量法的思想实质向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用