高中数学：3．1．2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件新人教A版必修4.ppt

新课标人教版课件系列 高中数学 必修4 3 1 2 两角和与差的正弦 余弦 正切 审校 王伟 高考资源网 教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础 推导两角和 差正弦和正切公式的方法 体会三角恒等变换特点的过程 理解推导过程 掌握其应用 二 教学重 难点1 教学重点 两角和 差正弦和正切公式的推导过程及运用 2 教学难点 两角和与差正弦 余弦和正切公式的灵活运用 在研究三角函数时 我们还常常遇到这样的问题 已知任意角 的三角函数值 如何求 或2 的三角函数值 下面我们先引出平面内两点间的距离公式 并从两角和的余弦公式谈起 在坐标平面内的任意两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 p1 x1 y1 p2 x2 y2 m1 x1 0 m2 x2 0 n1 0 y1 n2 0 y2 q p1q m1m2 x1 x2 qp2 n1n2 y1 y2 由勾股定理 可得 p1p22 p1q2 qp22 x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 y1 y2 2 由此得到平面内p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点间距离公式 p1p2 接下来 我们继续考虑如何运用两点间的距离公式 把两角和的余弦cos 用 的三角函数来表示的问题 如图 在直角坐标平面xoy内作单位圆o 并作出角 和 p1 p2 p3 p4 p1 1 0 各点坐标 p2 cos sin p3 cos sin p4 cos sin p1 p2 p3 p4 p1 1 0 各点坐标 p2 cos sin p3 cos sin p4 cos sin 由p1p3 p2p4及两点间距离公式 得 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 cos 1 2 sin2 cos cos 2 sin sin 2 cos2 2cos 1 sin2 cos2 2cos cos cos2 sin2 2sin sin sin2 2 2cos 2 2cos cos 2sin sin cos cos cos sin sin c cos cos cos sin sin c 这个公式对于任意角 都成立 例如cos 62 cos62 cos59 59 sin62 sin59 cos 113 cos113 cos27 27 sin113 sin27 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin c cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin c 例如cos 113 cos113 cos27 27 sin113 sin27 cos 113 cos113 cos27 27 sin113 sin27 cos cos cos sin sin c cos sin sin 即 sin 即 cos 2 sin 2 这里 等号两边的角的和为 cos 2 sin 这就是说 诱导公式 当 为任意角时仍然成立 cos 2 sin cos 2 sin cos cos cos sin sin 运用上述公式 得 sin sin cos cos sin 即sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin s 在上式中用 代替 得 sin sin cos cos sin s 当cos 0时 有 tan 若cos cos 0 得 tan t tan tan t 公式s c t 给出了任意角 的三角函数值 这里指正弦 余弦或正切 与其和角 的三角函数值之间的关系 为方便起见 我们把这三个公式都叫作和角公式 t tan tan t 类似地 公式s c t 都叫作差角公式 sin sin cos cos sin s sin sin cos cos sin s cos cos cos sin sin c cos cos cos sin sin c 等号右边 的记忆方式 在锐角范围内 正弦函数是增函数 余弦函数是减函数 sin sin cos cos sin s cos cos cos sin sin c 记忆方式 p q m n e f sin qm onsin qncos sin cos cos sin cos om oncos qnsin cos cos sin sin ne qf oe fn 例1 利用和 差 公式求75 15 的正弦 余弦和正切的值 解 sin75 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 cos75 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 例1 利用和 差 公式求75 15 的正弦 余弦和正切的值 tan75 或tan75 tan 45 30 例1 利用和 差 公式求75 15 的正弦 余弦和正切的值 sin15 cos75 或sin15 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30 例1 利用和 差 公式求75 15 的正弦 余弦和正切的值 cos15 sin75 或cos75 cos 45 30 cos45 cos30 sin45 sin30 例1 利用和 差 公式求75 15 的正弦 余弦和正切的值 tan15 或tan15 tan 45 30 例2 已知sin 34 2 cos 3 2 求sin cos tan 解 23 cos sin 例2 已知sin 34 2 cos 3 2 求sin cos tan 23 sin sin cos cos sin 例2 已知sin 34 2 cos 3 2 求sin cos tan 23 cos cos cos sin sin 例2 已知sin 34 2 cos 3 2 求sin cos tan 23 sin sin cos cos sin tan 例3 利用和角公式求的值 解 tan 45 15 tan60 例3 abc中 求证tana tanb tanc tanatanbtanc 证明 tana tanb tana tanb tanc都有意义 abc中没有直角 tan a b tan 180 c tanatanbtan 180 c tanc tanatanbtanc tana tanb t