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初中数学总复习提纲第一讲 实数一、实数的意义：1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。2、有理数：整数和分数统称为有理数。3、实数：有理数和无理数统称为实数。4、有理数和无理数的区别：有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，无理数只能化为无限不循环小数；有理数都能化为分数，无理数不能化为分数。0实数负实数负整数负分数负无理数负有理数正实数正整数 正分数正无理数正有理数实数无理数(无限不循环小数)有理数正分数负分数正整数0负整数(有限或无限循环小数)整数分数正无理数负无理数二、实数的分类：注：非负数的意义：正实数与零的统称。（表示为：x0） 常见的非负数有：a2 、|a|（a为任意实数） 、 （a0）非负数的性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。三、实数的有关概念：1、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。零的相反数是零。（1）互为相反数的和等于0。（2）互为相反数的绝对值相等。（3）互为相反数的平方相等。（4）互为相反数的立方仍互为相反数。2、绝对值：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零。代数定义： ； 任何实数的绝对值都是非负数。几何定义：数a的绝对值的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。注意：处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“”符号。3、倒数：乘积等于1的两个数互为倒数，0没有倒数。4、奇数、偶数（正整数）（注意：自然数包括正整数和0）定义及表示：奇数：2n-1或2n+1偶数：2n（n为正整数）5、实数和数轴上的点是一一对应的关系。（如何理解？）有理数和数轴不存在一一对应关系。四、平方根与立方根：1、平方根（1）算术平方根的定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，规定0的算术平方根就是0，即。只有非负数才有算术平方根，而且算术平方根都是非负数。，有时也逆用这一公式。（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根），一个正数a的平方根有两个，记作。一个正数有两个平方根，它们互为相反数。规定0的平方根就是0。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数且。平方与开平方互为逆运算。（4）性质：2、立方根（1）立方根如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫三次方根），a的立方根表示为。0的立方根是0。（2）开立方求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。立方与开立方互为逆运算。五、实数的运算：1、运算法则与运算律。2、加、减、乘、除、乘方及开方运算顺序。3、科学记数法：把一个数N表示成的形式，其中a是整数数位只有一位的数，即，这种记数法叫做科学记数法。4、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字都叫作这个数的有效数字。5、二次根式的运算：（1）二次根式的乘、除运算；（2）最简二次根式需满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。（4）二次根式的加、减运算：二次根式的加减就是合并被开方数相同的二次根式：把系数相加减，被开方数和根指数不变。（5）分母有理化：把分母中的根号划去叫做分母有理化。第二讲 整式一、代数式的意义：用运算符号（加、 减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。二、代数式的书写要求：1、代数式中的乘号“”通常省略不写或简写成“”。当数与字母相乘时，要把数字写在字母的前面，如果是带分数，还要把带分数化成假分数；当数与数相乘时，一般仍用“”。2、代数式中的除号“”通常写成分数形式。3、在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称时，应该注意书写。如2a米，（a-2b）千克三、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值。（一般情况下，先对代数式进行化简，再将字母的数值带入）四、整式的概念：单项式和多项式统称整式。1、单项式：数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式（注意：是个数，不是字母）。（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。（2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。（1）多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。（2）多项式的次数：在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。3、同类项与合并同类项（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。（所含字母相同、相同字母的指数分别相同；与系数无关、与字母的排列顺序无关）。（2）合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。4、去括号与添括号（1）去括号法则：括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里面各项不变号；括号前面是“”号，把括号和括号前面的“”号去掉，括号里面各项改变符号。（2）添括号法则：添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都不变号；添括号后，括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号。5、整式的加减运算（1）幂的乘法运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（2）单项式与单项式的乘法法则：几个单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，仍作为积的因式。（3）单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。（4）多项式与多项式相乘的法则：用一个多项式的每一项分别去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。（5）特殊的多项式乘以多项式：平方差公式：两数的和与这两数的差的积，等于它们的平方差。完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们乘积的2倍。（6）整式的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。零指数幂：规定“不等于零的任何实数的零次幂都等于1”。负整数指数幂：规定任何不等于零的实数的n（n为整数）次幂，都等于这个数的n次幂的倒数。（7）单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把它们的系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。（8）多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。五、分解因式：1、分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（又叫因式分解）。（1）因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形。（2）因式分解与整式乘法是互逆的。（3）在因式分解的结果中，每个因式都必须是整式。（4）因式分解要分解到不能再分解为止。2、因式分解的基本方法：（1）运用公式法：平方差公式和完全平方公式。（看项数定方法）（2）分组分解法：分组后能提公因式；分组后能用公式。（3）十字相乘法：需把待分解的多项式整理成二次三项式。第三讲 分式一、分式的有关概念：1、定义：形如（A、B都是整式，且B中含有字母，B0）的式子，叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。2、分式有意义的条件：分母不为零。3、分式的值为零的条件：分母不等于零且分子等于零。4、有理式的定义：整式和分式统称为有理式。二、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即。三、分式的约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，使这个分式变为最简分式，这种变形叫做约分。确定分子和分母公因式的方法：1、如果分子和分母都是单项式，取它们系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积作为它们的公因式。2、如果分子或分母是多项式，要先把多项式分解因式，再找公因式。3、最简分式：分子和分母没有公因式的分式。四、分式的通分：将几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式叫做通分。通分的依据是分式的基本性质。通分的关键是确定最简公分母。确定最简公分母的方法：1、最简公分母的系数：取各个分母系数的最小公倍数；2、最简公分母的字母因式：取各个分母所有字母因式的最高次幂的积；3、如果分母是多项式，则首先将多项式分解因式。五、分式的运算：1、分式的加减：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。即。（2）异分母的分式相加减，要先通分，变成同分母的分式再加减。即。2、分式的乘除：（1）乘法法则：分式乘以分式，将分子的积作为积的分子；分母的积作为积的分母。即。（2）除法法则：分式相除，把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘。即“一变一倒”。特别的，整式可以看作分母为1的式子。3、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方。4、分式的运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里的。5、分式的运算结果应该是最简分式。六、分式方程：1、分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方城。2、分式方程的解法何步骤：解分式方程的基本思想就是化分式方程为整式方程。具体方法和步骤：去分母（理论依据是什么？）将分式方程转化为整式方程；解整式方程；验根。3、列分式方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答。第四讲 方程（组）一、基本概念1方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）二次方程一次方程高次方程整式方程分式方程有理方程无理方程方程（1）分类：二、解方程的依据等式性质等式的基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式等式的基本性质2：等式两边同时乘以同一个数（或同除以一个不为0的数），所得结果仍是等式。三、解法1一元一次方程的解法：去分母去括号移项合并同类项系数化成1解。2、二元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法加减法四、一元二次方程1定义及一般形式：2解法：直接开平方法（注意特征自己举例）配方法（注意步骤可用来练习配方）公式法：因式分解法（特征：方程左边是几个因式积的形式，右边为0）3、一元二次方程的注意事项：（1）、注意在一元二次方程的一般式中要注意a0。（2）、应用求根公式解一元二次方程时应该注意：化方程为一般式；确定a、b、c的值；求出；若0，根据公式求出；若0，则方程无解。（3）、方程两边绝对不能随便约去含有未知数的代数式。4根的判别式：5根与系数的关系：若x、x是方程的两根，则6常用等式： 五、列方程（组）解应用题概述列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。设元（未知数）。直接未知数间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。用含未知数的代数式表示相关的量。寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。解方程及检验。答案。综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 常用的相等关系ABC甲乙相遇处1 行程问题（匀速运动）基本关系：s=vt相遇问题(同时出发)：ABC甲乙（相遇处）+=;追及问题（同时出发）：乙AB(甲)（相遇处）若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则水中航行：;2 配料问题：溶质=溶液浓度 溶液=溶质+溶剂3增长率问题：4工程问题：基本关系：工作量=工作效率工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。注意语言与解析式的互化如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。注意从语言叙述中写出相等关系。如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。注意单位换算如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。第五讲 一元一次不等式和一元一次不等式组一、不等式及其性质：1、不等式：用不等号（“”、“”、“”、“”、“”）连接起来的式子叫做不等式。2、不等式的基本性质：（1）性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（2）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（4）性质4：若ab，bc，则ac。（5）性质5：若ab，cd，则a+cb+d。3、不等式的解、解集和解不等式：（1）不等式的解、解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。（如何利用数轴表示不等式的解集）（2）解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。二、一元一次不等式（组）的有关概念：1、一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，且只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式组：（1）一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。（2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。（3）解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。三、一元一次不等式（组）的解法：1、一元一次不等式的解法：类似于一元一次方程的解法，其步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。（注意不等式的基本性质）2、一元一次不等式组的解法：先分别求出不等式组中的各个不等式的解集；再利用数轴求出不等式组的解集的公共部分。（注意实心点与空心点的区别）口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小取不了。四、列不等式（组）解应用题：1、一般步骤：列不等式（组）解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似（审、设、找、列、解、验、答），前者是寻找不等关系，后者是寻求等量关系，并且解不等式组所得的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案。2、对部分词的含义理解：至少、最多、不超过、不低于、不大于、不小于。第六讲 函数及其图象一、平面直角坐标系1各象限内点的坐标的特点2坐标轴上点的坐标的特点3关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点4坐标平面内点与有序实数对的对应关系二、函数1表示方法：解析法;列表法;图象法。2确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义;使实际问题有意义。3画函数图象：列表;描点;连线。三、几种特殊函数（定义图象性质）1、正比例函数定义：