高等数学过关与提高下册第八章习题答案.pdf

1 高等数学过关与提高下册第八章习题答案高等数学过关与提高下册第八章习题答案 一 填空题一 填空题 1 解 积分区域为 解 积分区域为 0 20 2 20 yxyyxyxxyx 故可交换 积分次序计算如下 故可交换 积分次序计算如下 1 2 1 1 2 1 2 1 44 2 0 2 00 2 0 22 0 2222 eeedyyedyedydyedx yy y y x y 2 解 积分区域为 解 积分区域为 2 10 2 yxyyyx 2 0 21 0 10 22 xyxyxxyxyx 故可交换积分次序如下 故可交换积分次序如下 222 2 0 2 10 1 0 21 0 xxy y dyyxfdxdyyxfdxdyyxfdy 3 解 令 解 令 sin cos yrx 则 则 2 0 222 1 0 22 sin1cos2 2 1 drrrrdrdxdyyx D 4 7 42 22 1 0 33 drrrr 4 解 解 31 0 11 0 min yx D ydxdyxdydxdyx 3 4 3 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 0 1 0 dyyydxxx 二 选择题二 选择题 1 解 选 解 选 B 当当1 2 1 yx时 有时 有yxyxyx sin 0 0 ln 故 故 231 III 所以应选 所以应选 B 2 解 选 解 选 C 积分区域如图所示 积分区域如图所示 x y 1 2 2 2 2 y x x2 y2 1 2 故故 2 1 2 2 0 1 0 4 0 sin cos y y dxyxfdyrdrrrfd 所以应选 C 所以应选 C 3 解 选 解 选 C 积分区域积分区域 D 如图所示 如图所示 对等式两边在对等式两边在 D 上积分 考虑到上积分 考虑到 D dudvvuf 是常数 所以有是常数 所以有 DDDD dxdydudvvufxydxdydxdyyxf 若令若令 D dxdyyxfI 则 则 DD dxdyIxydxdyI 8 1 12 1 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1 0 4 0 1 0 0 1 0 2 2 dxxx dydx xydydx dxdy xydxdy I x x D D 故故 8 1 xyyxf 所以应选 所以应选 C 4 解 选 解 选 D 可将积分区域分成两个对称的区域如下图 可将积分区域分成两个对称的区域如下图 2 22 1 2222 1 1 1 2 1 2 1 2 1 D yx D yx D yx dxdyxeydxdyxeydxdyxey 1 O x y 1 y x y x D1 D2 y x2 y x D 1 O 3 3 2 220 0 1 2 0 0 1 1 dyyydxdyydxdy y D 故应选 故应选 D 5 解 选 解 选 D 由区域由区域 D 关于关于 y x 对称可知对称可知 22 2 a d a d yfxf yfxfa d yfxf xfa DDD 22 2 b d b d yfxf yfxfb d yfxf xfb DDD 故故 222 baba d yfxf yfbxfa D 所以应选 所以应选 D 三 解答题三 解答题 1 解 利用极坐标变换计算 解 利用极坐标变换计算 12ln2 41 1 41 1 2 1 21 1 1 1 1 0 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 0 22 22 dt t t dr r r rdr r r ddxdy yx yx D 2 解 积分区域如图所示 解 积分区域如图所示 2 3 sin2 0 2 2 0 0 2 sin 3 8 sin4sinddrrrdydydxydxdy D 2 4 2 4cos1 2cos21 3 2 4 2 2cos1 3 8 4 22 2 dd 3 解 积分区域可分成两个对称区域如下 解 积分区域可分成两个对称区域如下 2 O x 2 y 1 1 4 21 1 cos 1 cos 1 cos 222222 DDD dyxyxdyxyxdyxyx 5 2 20 3 2 0 1 0 x D xdydxxd 4 解 把 解 把 D 分为以下两个区域 这两个区域中被积函数定号 分为以下两个区域 这两个区域中被积函数定号 故故 11 2 2 2 222222 DDDD dyyxdyyxdyyx 11 2 2 2222 DDD dyyxdyyx 2 0 2 22 sin2 2 0 sin2 0 2 0 sin2 sin2 sin2 rdrrrdrdrrrdrdrrrd 2 4 00 4 sin 3 16 4 sin 3 4 sin 3 16 4 sin 3 4 ddd 9 sin 3 16 4 sin 3 8 2 00 4 dd x2 y2 2y 0 y x 2 x2 y2 4 1 D1 D D1 y x3 y x1 y x3 1 D1 D2 5 5 解 画出积分区域如下 解 画出积分区域如下 则则 21 222222 DDD dyyxdyyxdyyx 2 3 2 3 cos2 0 2 3 2 2 0 2 0 cos8 3 1 sin1 3 16 sin sin drdrrrdrdrrrd cos cossin sin1 3 8 3 16 2 3 2 3 2 3 2 2 dd 23 9 16 9 32 3 16 3 4 3 8 3 16 6 解 积分区域如下 解 积分区域如下 利用极坐标变换有利用极坐标变换有 cos sin2 0 4 3 4 cos sin rdrrddxdyyx D y x 2 x2 y2 2 x y 1 x2 y2 2y 0 y x 2 x2 y2 4 1 D2 D1 6 4 3 4 44 4 3 4 3 4 sin 2 3 8 cos sin8 3 1 cos sindd 4 4cos2cos 2 3 3 8 4 2 4cos1 2cos21 3 32 sin 3 32 000 4 dtttdt t t tdt 7 解 对二重积分作极坐标变换 则 解 对二重积分作极坐标变换 则 1 22 0 222 lim yx yx dxdy yx yfxf 1 2 2 1 2 0 0 sin cos sin sin cos cos lim rdr r rrfrrrfr d 1 2 1 2 0 0 sin cos sin sin cos coslim drrrfrrfd 12 0 0 sin cos lim dr r rrf d 2 0 1 0 sin cos limdrrf 2 0 0 sin cos sin cos limdff sin cos 2 lim sin cos 0 lim 0 2 0 0 fdf 其中 其中 在在 0 与与 2 之间 之间 0 0 2 sin cos lim2 0 ff 由 由 yxf有连续偏导数 故在 有连续偏导数 故在 0 0 连续 连续 差误纠正差误纠正 高等数学过关与提高 下册 高等数学过关与提高 下册 119 页倒数第页倒数第 4 行应为 行应为 7 0 0 2 f 提 示 用极坐标计算 提 示 用极坐标计算 8 解 先对 解 先对 z 积分后对积分后对 xy 积分 可知积分区域在积分 可知积分区域在 xoy 平面上的投影为平面上的投影为 0 2 0 xxxyx 积分区域介于平面积分区域介于平面 z 0 与与xz 2 之间 故之间 故 xxx D dzdy x xy dxdz x xy dxdydxdydz x xy xoy 2 00 2 0 2 0 sinsinsin 2 1 4 2 sin 2 1 2 1 2 sin 2 0 2 0 dxxxxdxx x x 9 解 积分区域在 解 积分区域在 xoy 平面上的投影为平面上的投影为 169 22 yxyx 7 积分区域介于平面积分区域介于平面 z 0 与与 22 yxz 之间 再利用柱面坐标变换 有之间 再利用柱面坐标变换 有 222 0 4 3 3 2 00 322322 ryx D rdzdrrddzyxdxdydxdydzyx xoy 3 3367 34 6 1 2 66 10 解 利用球面坐标变换 解 利用球面坐标变换 cos 1sinsin cossin rz ry rx 计算 则计算 则 1 0 2 0 2 0 sin 1sinsin drrrddydv 3 4 sin 3 2 sin 3 1 sinsin 4 1 00 2 2 0 ddd 11 解 设整个均匀薄片的密度为 解 设整个均匀薄片的密度为 1 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为 接上去的均匀矩形薄片另一边的长度为 a 并建立直 角坐标系如下 并建立直 角坐标系如下 由此薄片的重心为由此薄片的重心为 D D d xd x D D d yd y 由题目条件可知有