人教A版选修22 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 课件（46张）.ppt

导数及其应用 第一章 1 3导数在研究函数中的应用 第一章 1 3 3函数的最大 小 值与导数 1 理解函数最值的概念及闭区间上函数存在最值的定理 2 掌握用导数求闭区间上函数最大值和最小值的方法 重点 函数在闭区间上最值的概念与求法 难点 极值与最值的区别与联系 求最值的方法 思维导航1 如果函数f x 在r上是单调递增 或递减 的函数 是否存在这样的实数a 使得对一切x r 都有f x f a 或f x f a 2 如果f x 的图象是一条连续不断的曲线 定义域为 a b 当f x 单调递增 或单调递减 时 是否存在x0 a b 使对一切x a b 都有f x f x0 当f x 不是单调函数时 是否存在x0 a b 使对一切x a b 都有f x f x0 函数最值的概念 新知导学1 下图中的函数f x 的最大值为 最小值为 而极大值为 极小值为 f g f b f d f g f c f e 2 由上图还可以看出 假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 该函数在 a b 上一定能够取得 与 若该函数在 a b 内是 该函数的最值必在极值点或区间端点取得 但在开区间 a b 内可导的函数f x 有最大值与最小值 最大值 最小值 可导的 不一定 牛刀小试1 若a 0 b 0 且函数f x 4x3 ax2 2bx在x 1处有极值 则a b等于 a 2b 3c 6d 9 答案 c 解析 f x 12x2 2ax 2b 由条件知x 1是方程f x 0的实数根 a b 6 2 若函数f x x4 2x2 3 则f x a 最大值为4 最小值为 4b 最大值为4 无最小值c 最小值为 4 无最大值d 既无最大值 也无最小值 答案 b 解析 f x 4x3 4x 由f x 0得x 1或x 0 易知f 1 f 1 4为极大值也是最大值 故应选b 3 已知f x 2x3 6x2 m m是常数 在 2 2 上有最大值3 那么此函数在 2 2 上的最小值为 a 37b 29c 5d 11 答案 a 解析 f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 解得x 0或x 2 f 0 m f 2 8 m f 2 40 m f 0 f 2 f 2 m 3 最小值为f 2 37 故应选a 答案 a 解析 f x x2 2bx c 由条件知 1 3是方程f x 0的两个实根 b 2 c 3 f 1 8 故选a 5 已知f x x2 mx 1在区间 2 1 上的最大值就是函数f x 的极大值 则m的取值范围是 答案 4 2 分析 首先求f x 在 1 2 内的极值 然后将f x 的各极值与f 1 f 2 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 利用导数求函数的最大值与最小值 方法规律总结 1 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值步骤如下 1 求f x 在开区间 a b 内所有极值点 2 计算函数f x 在极值点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 答案 b 含参数的函数最值问题 分析 1 求f x 的单调区间 可解不等式f x 0 f x 0 由于f x 表达式中含参数 故需注意是否需要分类讨论 2 f x 在x 1 1 内没有极值点的含义是f x 0在 1 1 内没有实数根 故f x 在 1 1 内单调 3 f x 1在 2 2 内恒成立 则f x 在 2 2 内的最大值 1 而f 2 f 2 16 4a2 0 f x max f 2 8 4a 2a2 m 又 f x 1在 2 2 上恒成立 8 4a 2a2 m 1 即m 9 4a 2a2 在a 3 6 上恒成立 9 4a 2a2的最小值为 87 m 87 方法规律总结 1 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 故含参数时 需注意是否分类讨论 2 1 当f x 的图象连续不断且在 a b 上单调时 其最大值 最小值在端点处取得 2 当图象连续不断的函数f x 在 a b 内只有一个极大 或极小 值 则可以断定f x 在该点处取到最大 或最小 值 这里 a b 也可以是无穷区间 3 已知函数最值求参数 可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值 通过比较它们的大小 判断出哪个是最大值 哪个是最小值 结合已知求出参数 进而使问题得以解决 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值为20 求它在该区间上的最小值 解析 1 f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 x 3 x 1 令f x 3 函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 令f x 0 x 2 2 x 1 当 2 x 1时 f x 0 当 1 x 2时 f x 0 x 1是函数f x 的极小值点 该极小值也就是函数f x 在 2 2 上的最小值 即f x min f 1 a 5 又函数f x 的区间端点值为f 2 8 12 18 a a 22 f 2 8 12 18 a a 2 a 22 a 2 f x max a 22 20 a 2 此时f x min a 5 7 与函数最值有关的综合问题 解题思路探究 第一步 审题 审结论 确定解题目标 求a b的值需建立a b的方程组求解 求f x 在 3 3 上的最值 需按照 用导数求函数最值 的一般步骤进行 审条件 挖掘解题信息 f x 在x 2处取得极值c 16 应从以下三方面把握 一 f 2 c 16 二 f 2 0 三 c 16可能是极大值 也可能是极小值 需依据解题过程和条件判断 第二步 建联系 确定解题步骤 先求f x 利用极值条件建立a b的方程组 解方程组求a b 从而得到f x 解析式 再解不等式f x 0 或f x 0 确定f x 的单调性 最后由极大值求c 再求f x 在 3 3 上的最小值 第三步 规范解答 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 或x 2 时 f x 0 f x 在 2 和 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 f x 在 2 2 上为减函数 由此可知f x 在x1 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x2 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 c 16 4 因此f x 上 3 3 的最小值为f 2 4 方法规律总结 1 证明不等式 研究方程根的个数 两函数图象的交点个数 图象的分布范围等问题 导数和数形结合法是一种很有效的方法 经常通过分析函数的变化情况 结合图形分析求解 2 恒成立问题向最值转化也是一种常见题型 3 已知函数的最值求待定系数的值或参数的取值范