2.2.1综合法和分析法.docx

邯郸市一中2017级高二文科数学学案 制作人：谢欣欣 审核人：陈艳敏 使用时间：2019年3月第2讲 证明不等式的基本方法第1课时 综合法与分析法学习目标1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤.3.会用综合法、分析法证明一些不等式知识点综合法与分析法思考1在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、综合法的基本特征思考2综合法与分析法有什么区别和联系？梳理(1)综合法定义：一般地，从_出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”证明的框图表示用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为(2)分析法定义：证明命题时，常常从_出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种“执果索因”的思考和证明方法特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为类型一综合法证明不等式例1 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：反思与感悟综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练1已知a，b，R，且ab1，求证：(a)2(b)2.类型二分析法证明不等式例2若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.反思与感悟用分析法解决此类题目时要注意两点(1)对数的运算性质要正确运用；(2)要注意已知条件“不全相等”，所以等号不成立跟踪训练2已知x0，y0，求证：.类型三分析综合法证明不等式例3设a0，b0，且ab1，求证： .跟踪训练3已知ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证：.1若ab0，则下列不等式中成立的是()A. BabCba D.2已知x，yR，且1x2y22，zx2xyy2，则z的取值范围是_3已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.4已知a，bR，且2cab，求证：cac.1综合法和分析法的比较(1)相同点：都是直接证明(2)不同点：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索2证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点，用综合法写证题过程第2课时 综合法与分析法习题一、基础达标1若a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 Ba2b22abC.ab D.22已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|3下面对命题“函数f(x)x是奇函数”的证明不是综合法的是()AxR且x0有f(x)(x)f(x)，f(x)是奇函数BxR且x0有f(x)f(x)x(x)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数CxR且x0，f(x)0，1，f(x)f(x)，f(x)是奇函数D取x1，f(1)12，又f(1)12，f(x)是奇函数4若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BPQR CQPR DPRQ5若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_6已知a，b，cR，则与的大小关系是_7已知|a|1，|b|1，求证：1.二、能力提升8分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)09设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是_10已知abc，则与的大小关系为_11(1)已知a，b，cR，且abc1，求证：a2b2c2；(2)a，b，c为互不相等的正数，且abc1，12已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立三、探究与创新13已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和(1)用Sn表示Sn1；(2)是否存在自然数c和k，使得2成立答案精析问题导学知识点思考1分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法思考2区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用综合法表达梳理(1)已知条件推理、论证(2)要证的结论充分题型探究例1 已知a,b,c是不全相等的正数，求证：证明：以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，故跟踪训练1证明方法一a，bR，且ab1，ab()2.(a)2(b)24(a2b2)()4(ab)22ab4(12ab)4(12).(a)2(b)2.方法二左边(a)2(b)2a2b24()4a2b24a2b2114(a2b2)22()()4222 24242，(a)2(b)2.例2证明要证lglglglg alg blg c，即证lg()lg abc成立，只需证abc成立又0，0，0，abc0.(*)又a，b，c是不全相等的正数，(*)式等号不成立，原不等式成立跟踪训练2证明要证明，只需证(x2y2)3(x3y3)2.即证x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即证3x4y23x2y42x3y3.x0，y0，x2y20.即证3x23y22xy.3x23y2x2y22xy，3x23y22xy成立.例3证明要证，只需证()26，即证(ab)226.ab1，只需证，即证ab.由a0，b0，ab1，得ab()2，即ab成立原不等式成立跟踪训练3证明要证，只需证a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)0，即证abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcacmbcmcm20，即证abc2abm(abc)m20.由于a，b，c是ABC的边长，m0，故有abc，即(abc)m20.所以abc2abm(abc)m20是成立的因此成立当堂训练1C2.，33证明因为x0，y0，所以1xy230,1x2y30，故(1xy2)(1x2y)339xy.4证明要证cac，只需证ac，即证|ac|，两边平方得a22acc2c2ab，即证a2ab2ac，即a(ab)2ac.a，bR，且ab2c，a(ab)2ac显然成立原不等式成立习题答案一、基础达标1若a0，b0，下列不等式中不成立的是()A.2 Ba2b22abC.ab D.2答案D解析由(0，)且(0，)，得2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3b3a2bab2(a2b2)(ab)0.2已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|答案C解析由已知3xxyz0，3zxyz0，x0，z0.由得：xyxz.3下面对命题“函数f(x)x是奇函数”的证明不是综合法的是()AxR且x0有f(x)(x)f(x)，f(x)是奇函数BxR且x0有f(x)f(x)x(x)0，f(x)f(x)，f(x)是奇函数CxR且x0，f(x)0，1，f(x)f(x)，f(x)是奇函数D取x1，f(1)12，又f(1)12，f(x)是奇函数答案D解析选项A、B、C都是从奇函数的定义出发，证明f(x)f(x)成立，从而得到f(x)是奇函数，而选项D的证明方法是错误的4若ab1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则()ARPQ BPQRCQPR DPRQ答案B解析lg alg b0，(lg alg b)，即QP.又ab1，lglg(lg alg b)PQR.5若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为_答案32解析直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心(2,1)，即ab1，所以(ab)332.6已知a，b，cR，则与的大小关系是_答案解析因为2，2，2，三式相加可得.7已知|a|1，|b|1，求证：1.证明要证1，只需证|ab|1ab|，只需证a22abb212aba2b2，即证(1a2)b2(1a2)0，也就是(1a2)(1b2)0，|a|1，|b|1，最后一个不等式显然成立因此原不等式成立二、能力提升8分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0答案C解析ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.9设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是_答案abc0解析a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2，而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20，a3b3c33abcabc0.10已知abc，则与的大小关系为_答案解析ab0，bc0，.11(1)已知a，b，cR，且abc1，求证：a2b2c2；(2)a，b，c为互不相等的正数，且abc1，求证：.证明(1)abc1，(abc)21，由a2b22ab得a2b2c2(a2b2b2c2c2a2a2b2c2)(a2b2c22ab2bc2ac)(abc)2.(2)方法一由左式推证右式abc1，且a，b，c为互不相等的正数，bcacab(基本不等式).方法二由右式推证左式a，b，c为互不相等的正数，且abc1，(基本不等式).12已知a，b，c均为正数，证明：a2b2c226，并确定a，b，c为何值时，等号成立解方法一a，b，c均为正数，由基本不等式得a2b2c23(abc)3(abc)29(abc)，a2b2c223(abc)9(abc)，又3(abc)9(abc)26原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当3(abc)9(abc)时，式等号成立即当abc3或时原式等号成立方法二a，b，c都是正数，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，a2b2c2abbcac.同理，a2b2c22abbcac3336原不等式成立当且仅当abc时，式和式等号成立，当且仅当abc，(ab)2(bc)2(ac)23时，式等号成立即当abc3或时原式等号成立三、探究与创新13已知an是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和(1)用Sn表示Sn1；(2)是否存在自然数c和k，使得2成立解(1)Sn4，Sn14Sn2，(nN)(2)要使2，只要0，因为Sk44，所