无穷大量存在的意义.doc

无穷大量存在的意义 一 1若在 内连续,且 都存在,则 在 上一致连续.证明 ,当 时,有 ,从而当 时, 有 .所以在上一致连续.同理可证当 时,有 ,即知 在 上一致连续.又 在上连续,当 时，有,故 在 上一致连续.取 ,当 时便有即 在上一致连续.2 若函数在可导,且（常数或）,则在 一致连续的充要条件是为常数.证明充分性若为常数,由局部有界性,可使在有界,再由定理4推论,在 上一致连续,再由Cantor定理知在 一致连续 .故在一致连续.必要性（反证法） 设 .则 ,取,故有.取 ,且使 ,据拉格朗日定理有.故在非一致连续,这与在一致连续矛盾.上定理的结论相当完美,它使得许多初等函数在无限区间上一致连续与非一致连续的判别,3 设函数在连续,函数在一致连续,且 ,则 在 一致连续.证明,故 ,有 .及函数在一致连续,故对上述 ,且 ,有 .综上,且 ,有 .即 在 一致连续,再由Cantor定理知 在 上一致连续,故 在 一致连续. 4 若连续函数可在无穷远处充分接近一个一致连续函数,则其必一致连续.考虑到线性函数必一致连续,如果某连续函数在无穷远处充分接近一个线性函数,即此函数存在斜渐近线,则它必一致连续.即是如下推论.推论设函数在连续,且有斜渐近线,即有数 与 ,使 ,则在一致连续.5 利用一致连续性定义或判断函数一致连续性的定理来判断某函数的一致连续性.例1 判断 的一致连续性.解：因为 ，又 在 上连续,所以 在 上一致连续.本题利用定理3.4，在无限区间上连续且在端点极限存在，则在此无限区间上一直连续.例2 证明= 在 上非一致连续.证明1 有.所以=在上非一致连续.根据一直连续性定义证得.证明2取 , 且.但 .所以= 在 上非一致连续.此题根据判定函数一直连续性的充要条件即定理3.3.例3 判断的一致连续性.解：因为 不存在,所以=在 内不一致连续.此题根据判定连续函数在有限开区间一致连续性的方法即定理3.2例4 证明： 在 上一致连续,而在 上非一致连续.证明且.所以 在 上一致连续. .所以= 在 上非一致连续.此题根据连续函数导数的有界性来判定函数的一致连续性。此方法快捷方便，实际应用很广泛.二 定理33 若在上连续，且 ,则在上一致连续证明 因为，由Cauchy收敛准则有，有，又已知在上连续， 所以在上一致连续，即上述，有，于是，有，即在上一致连续定理 43 若在上连续，且,则在上一致连续定理53 在上连续，且，则在上一致连续例 1【2】 证在上是一致连续的证明 设，,2,故对，当时，有,所以在上是一致连续的.三 推论3 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论4 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。推论5 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且存在。推论6 函数在内一致连续的充分条件是在内连续，且与都存在。例2 判定下列函数在指定区间上是否一致连续。（1）；（2）；（3）。解：（1） 易见在内连续，且， （2-22）即与都存在，从而在内一致连续。（2） 易见在内连续，且， （2-23）， （2-24）因此在内一致连续。（3） 易证在内连续，且， （2-25）， （2-26）所以在内一致连续。注5 由例2可见，上述判别法在判定某些函数非一致连续时十分简便。例3 若单调有界函数在区间上连续，则函数在区间上一致连续。证明: 不妨假设。由于函数在上单调有界，即函数在上单调有界，从而极限都存在。根据定理2、3及其推论可知，函数在上一致连续。定理4 设是定义在上的以为周期的周期函数，则在上一致连续的充要条件是在上连续6。证明： 必要性易证，下证充分性。 因为在上连续，所以在上也连续，从而一致连续。因此，对，使得对，且，有 。 （2-27），且，不妨假设且，即 。 （2-28）（1） 若，则， （2-29）此时 ， （2-30）故 。 （2-31）（2） 若，则， （2-32）此时 （2-33）且，故。 （2-34）综上所述，函数在上一致连续。四 元函数在任意区间上的一致连续性对于一元函数在任意区间上一致连续与非一致连续，有以下结论：定理5 函数在区间上一致连续，只要， （3-1）就有 。 （3-2）证明： 由在上一致连续知，使得，只要，就有 。 （3-3）又，知，对上述存在，有 ， （3-4）从而对有 ， （3-5）即 。 若不然，则必存在，虽然， （3-6）但是 。 （3-7）显然 ， （3-8）但是 。 （3-9）推出矛盾，故在一致连续。注7 此定理主要用来判定函数非一致连续。注8 利用定义证明函数在上非一致连续的关键是确定，找出使得，而要做到这一点，对于某些函数而言通常是比较困难的。但是，根据前面判定函数一致连续的充要条件，易得函数在区间上非一致连续的两个比较简单的充分条件。（1）连续函数在区间内非一致连续的充分条件是和至少有一个不存在。（2）连续函数在区间非一致连续的充分条件是在区间上存在两个数列，使得，但 。 （3-10）例4 证明函数在上非一致连续。证明：法一 ，对，虽然有， （3-11）但是 。 （3-12）所以在上非一致连续。现在利用判别法（2）证明例4。法二 取，则， （3-13）但是 。 （3-14）所以由判别法（2）知在上非一致连续。注9 利用这两个判别法证明函数在区间上非一致连续的优点是易见的：它不用直接确定找满足，而只须观察和的存在性或找出两个数列和满足判别条件即可。利用上述两个判别法还可以证明以下题目：（1） 函数在上非一致连续。（2） 函数在上非一致连续。（3） 函数在非一致连续。（4） 函数在上非一致连续。（提示：取，）定理6 若函数在区间上满足利普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数，使得对都有 （3-15）成立，则在区间上一致连续。证明：因为函数在区间上满足Lipschitz条件，即，有，于是对，取，只要，就有。故函数在区间上一致连续。例5 证明函数在上一致连续。证明：由于对，使得，都有 ， （3-16）即在上满足Lipschitz条件。所以函数在上一致连续。注10 例5若用函数一致连续的定义证明，则较用定理6证明繁琐。 定理6仅仅是函数在区间上一致连续的充分非必要条件，如下例例6 证明在上一致连续但不满足Lipschitz条件。证明：在上连续，由Contor定理在上一致连续。取 显然，且有 ， （3-17） ， （3-18） 。 （3-19）从而，对任意充分大的正整数，总存在使得 ， （3-20）即 。 （3-21）故在上一致连续，但在上不满足Lipschitz条件。由著名的利普希茨（Lipschitz）条件得到启发，还可得推论7 设存在，使对任意，都有 （3-22）成立，且在区间上一致连续，则在区间上一致连续。证明：由在区间上一致连续，则，就有 ， （3-23）于是，对上述，只要，就有 。 （3-24）故在区间上一致连续。五 例7 讨论在上一致连续性。解：在上连续，设（1） 当时，设，则 ， （3-30）， （3-31）且 。 （3-32）所以在上一致连续。（2） 当时， （3-33）且 。 （3-34）所以在上一致连续。由（1）、（2）可得，在上一致连续。二元函数在区域上的一致连续性定理12 二元函数在区域上一致连续对，当时，就有 。 （4-48）证明： 由函数 在区域上一致连续，则，就有 。 （4-49）任取，则对上述时，有 ， （4-50）从而有 ， （4-51）即是 。 （4-52） 假设函数在区域上不一致连续，则，总，从而有 。 （4-53）这与 （4-54）相矛盾，故函数在区域不一致连续。以上仅为一元函数一致连续性的判定方法在二元函数上的三个推广。事实上，一元函数一致连续性的判定方法大多可以推广到二元函数甚至元函数，只不过需要注意它们在形式上有所区别。 六 无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。(7)无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。(8)无穷区间的定理2：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。(9)无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。(10)类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。 例2.若在上连续，存在，则在上一致连续。证: 因为，由柯西准则，当s时，有. a 又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有 b 取