2020届江苏省高三上学期八校联考数学（理）试题（PDF解析版）

页 1 第 数学理试卷 数学理试卷 一 填空题 本大题共 14 小题 每小题 5 分 共 70 分 请将答案填写在答题卷相应的位置上 1 已知集合 A 1 B 1 5 则 AUB 答案 1 5 2 i 是虚数单位 复数1 5i 1 i 答案 2i3 3 如图伪代码的输出结果为 答案 11 4 为了解学生课外阅读的情况 随机统计了 n 名学生的课外阅读时间 所得数据都在 50 150 中 其频 率分布直方图如图所示 已知在 50 75 中的频数为 100 则 n 的值为 答案 1000 5 某校有 A B 两个学生食堂 若 a b c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐 则三人在同一个 食堂用餐的概率为 答案 1 4 6 已知 是第二象限角 其终边上一点 P x 5 且 2 cos 3 则 x 的值为 答案 2 7 将函数sin 3 yx 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 再将所得的图像向左 平移 3 个单位 得到的图像对应的解析式是 答案 1 sin 26 yx S 1 For i from 1 to 4 S S i End For Print S 页 2 第 8 已知函数 2 3 log 1 3 213 x xx f x x 满足 3f a 则a 答案 7 9 已知实数 a b 满足 22 4549aabb 则 a b 最大值为 答案 2 3 10 已知 0 4 且 1 cos4 3 则 44 sin sin 44 答案 6 3 11 直角 ABC 中 点 D 为斜边 BC 中点 AB 6 3 AC 6 1 AEED 2 uuu ruuu r 则AE EB uuu r uuu r B A C D E 答案 14 12 已知奇函数 f x满足 1 1 fxfx 若当 x 1 1 时 1 lg 1 x f x x 且 2019 1fa 0 a 1 则实数a 答案 2 11 13 已知 a 0 函数 x f xae lng xeaxb e 为自然对数的底数 若存在一条直线与曲线 yf x 和 yg x 均相切 则 b a 最大值是 答案 e 14 若关于x的方程 2 22 2 xx a xaexe 有且仅有 3 个不同实数解 则实数a的取值范围是 答案 0a 或1a 二 解答题 本大题共 6 小题 共计 90 分 请在答题纸指定区域内作答 解答时应写出文字说明 证明过 程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知集合 A 2 2 log 4159 x yxxxR B 1x xmxR 1 求集合 A 2 若 p x A q x B 且 p 是 q 的充分不必要条件 求实数 m 的取值范围 解 1 集合A即为函数 2 2 log 4159 yxx 定义域 即需 2 41590 xx 2 分 即 2 41590 xx 页 3 第 即 3 43 0 xx 5 分 得 3 3 4 A 7 分 2 由111 11xmxmxmxmxm 或即或 9 分 则 1 1 Bmm 10 分 因为 p 是 q 的充分不必要条件 所以A是B的真子集 11 分 即需 3 131 4 mm 或得 1 4 4 mm 或 13 分 所以实数 m 的取值范围是 1 4 4 14 分 16 本小题满分 14 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 底面 ABCD 底面 ABCD 是直角梯形 DC AB BAD 90 且 AB 2AD 2DC 2PD E 为 PA 的中点 1 证明 DE 平面 PBC 2 证明 DE 平面 PAB 证明 1 设 PB 的中点为 F 连结 EF CF EF AB DC AB 所以 EF DC 2 分 且 EF DC 1 2 AB 故四边形 CDEF 为平行四边形 4 分 可得 ED CF 5分 又 ED 平面 PBC CF 平面 PBC 6 分 故 DE 平面 PBC 7 分 注 证面面平行也同样给分 2 因为 PD 底面 ABCD AB 平面 ABCD 所以 AB PD 又因为 AB AD PDIAD D AD 平面 PAD PD 平面 PAD 所以 AB 平面 PAD 11 分 ED 平面 PAD 故 ED AB 12 分 又 PD AD E 为 PA 的中点 故 ED PA 13 分 PAIAB A PA 平面 PAB AB 平面 PAB 所以 ED 平面 PAB 14 分 17 本小题满分 14 分 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosC 3 5 1 若 9 CB CA 2 uuu r uuu r 求 ABC 的面积 2 设向量x r B 2sin 2 3 y u r cosB B cos 2 且x r y u r b 5 3 求 a 的值 页 4 第 解 1 由CB CA 9 2 得 abcosC 9 2 2 分 又因为 cosC 3 5 所以 ab 9 2cosC 15 2 4 分 又 C 为 ABC 的内角 所以 sinC 4 5 所以 ABC 的面积 S 1 2absinC 3 6 分 2 因为 x y 所以 2sinB 2cos B 2 3cosB 即 sinB 3cosB 8 分 因为 cosB 0 所以 tanB 3 因为 B 为三角形的内角 0B 9 分 所以 B 3 10 分 所以 331443 3 sinsin sincoscossin 252510 ABCBCBC 12 分 由正弦定理 5 3 43 3 sinsin43 33 102 aba a AB 14 分 18 本小题满分 16 分 已知梯形 ABCD 顶点 B C 在以 AD 为直径的圆上 AD 4 米 1 如图 1 若电热丝由三线段 AB BC CD 组成 在 AB CD 上每米可辐射 1 单位热量 在 BC 上每米可辐射 2 单位热量 请设计 BC 的长度 使得电热丝的总热量最大 并求总热量的最大值 2 如图 2 若电热丝由弧 AB CD和弦 BC 这三部分组成 在弧 AB CD上每米可辐射 1 单位热 量 在弦 BC 上每米可辐射 2 单位热量 请设计 BC 的长度 使得电热丝辐射的总热量最大 图 1 图 2 解 设 1 分 1 2 分 3 分 总热量单位 5 分 当时 取最大值 此时米 总热量最大 9 单位 6 分 答 应设计长为 米 电热丝辐射的总热量最大 最大值为 9 单位 7 分 2 总热量单位 10 分 48sing 11 分 页 5 第 令 即 因 所以 12 分 当时 为增函数 当时 为减函数 14 分 当时 取最大值 此时米 15 分 答 应设计长为米 电热丝辐射的总热量最大 16 分 19 本小题满分 16 分 设常数a R 函数 2 2 x x a f x a 1 当 a 1 时 判断 f x在 0 上单调性 并加以证明 2 当 a 0 时 研究 f x的奇偶性 并说明理由 3 当 a 0 时 若存在区间 m n m n 使得 f x在 m n 上的值域为 2m 2n 求实数 a 的取 值范围 解 1 1a 时 12 212 1 0 2121 x xx f xx x 且 12 xx 21 1212 12 222 22 0 2121 21 21 xx xxxx f xf x 所以 yf x 在 0 上递减 3 分 法二 0 x 2 2 2 ln20 21 x x fx 所以 yf x 在 0 上递减 2 0a 时 1f x 满足 1fxf x yf x 为偶函数 4 分 1a 时 21 21 x x f x 定义域 0 x x 且 21 1 2 21 1 2 xx xx fxf x yf x 为奇函数 6 分 01aa 且时 定义域为 2 logx xa 因 2 1 log0aa 定义域不关于原点对称 7 分 因此 yf x 既不是奇函数也不是偶函数 8 分 3 22 1 22 x xx aa f x aa 当0a 时 yf x 在 2 log a 和 2 log a 上递减 则 2 12 2 2 12 2 n m m n a a a a 两式相减得 222 22 2 2222 2 2 2 22 2 2 2 nm nmnmmnn mnmnm aaaa aaaa aaaaa 即得2再代入得 1 2 2 1 21 21 2 nnmn aa 此方程有解 如 2 1 log 3mn 因此1a 满足题意 11 分 页 6 第 当0a 时 yf x 在 递增 有题意 yf x 在 m n上的值域为 2 2 mn 知 2 12 2 2 12 2 m m n n a a a a 即 m n是方程 2 12 2 x x a a 的两根 即方程 2 2 1 20 xx aa 有两不等实根 令20 x t 即 2 1 0tata 有两不等正根 13 分 即需 2 12 1 2 1 4032 232 2 10132 20 00 aaaa ttaaa at ta 或 15 分 综上 1 32 2 0 a 16 分 20 本小题满分 16 分 设函数 ln b f xaxx x x 0 a b R 1 当 b 0 时 f x在 1 上是单调递增函数 求 a 的取值范围 2 当 a b 1 时 讨论函数 f x的单调区间 3 对于任意给定的正实数 a 证明 存在实数 0 x 使得 0 0f x 解 1 当0b 时 lnf xaxx 因 f x在 1 上是单调递增函数 则 1 0fxa x 即 1 a x 对 1 x 恒成立 则 max 1 a x 1 分 而当 1 x 1 1 x 故1a 故a的取值范围为 1 3 分 2 当1ab 时 1 ln a f xaxx x 2 222 111 1 1 aaxxaxaxa fxa xxxx 当a 0时 令 0fx 得 0 1 x 令 0fx 得 1 x 则 f x的单调递增区间为 0 1 递减区间为 1 5 分 当 1 0 2 a 时 2 1 1 a a xx a fx x 令 0fx 得 01x 或 1a x a 令 0fx 得 1 1 a x a 则 f x的单调递增区间为 0 1 1 a a 递减区间为 1 1 a a 7 分 当 1 2 a 时 2 2 1 0 2 x fx x 当且仅当1x 取 页 7 第 则 f x的单调递增区间为 0 无减区间 8 分 当 1 1 2 a 时 2 1 1 a a xx a fx x 令 0fx 得 1 0 a x a 或1x 令 0fx 得 1 1 a x a 则 f x的单调递增区间为 0 1 a a 1 递减区间为 1 1 a a 9 分 5 当1a 时 2 1 1 a a xx a fx x 令 0fx 得 1x 令 0fx 得 01x 综上所述 当a 0时 单调递增区间为 0 1 递减区间为 1 当 1 0 2 a 时 单调递增区间为 0 1 1 a a 递减区间为 1 1 a a 当 1 2 a 时 单调递增区间为 0 无减区间 当 1 1 2 a 时 单调递增区间为 0 1 a a 1 递减区间为 1 1 a a 当 1a 时 单调递增区间为 1 递减区间为 0 1 10 分 3 先证ln2xx 设 ln2p xxx 0 x 则 111 x p x xxx 0 1 x 0y 则 p x在 0 1 x 单调递增 1 x 0y 则 p x在 0 1 x 单调递减 则 1 20p xp 故ln2xx 12 分 取法 1 取 0 x 1 1x 其中 2 1 11 a b x a 为方程2 0axxb 的较大根 因 0 x 1 11x 则 00 bb b xx 因 0 x 11 1xx 则 0011 2 2 0axxbaxxb 故 00000 0 ln 20 b f xaxxaxbx x 所以对于任意给定的正实数a 存在实数 0 x 使得 0 0f x 16 分 取法 2 取 0 x 2 2 1 b a 则 2 0 2 2 2 b a xab a 则 00000 00000 0000 2 1 ln20 xxa xbbxx bb f xaxxaxx xxxx 对于任意给定的正实数a 所以存在实数 0 x 使得 0 0f x 16 分 附加题 21 选做题 本题包括 A B C三小题 每小题 10 分 请选定其中两题 将所选题空白框涂黑 并在相应 的 答题区域 内作答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 A 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵M 1 21 a 其中Ra 若点 1 7 P在矩阵M的变换下得到点 15 9 P 1 求实数a的 值 页 8 第 2 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量 解 1 由 1 21 a 1 7 15 9 1 715a 解得2a 4 分 2 由 1 知M 12 21 则矩阵M的特征多项式为 2 12 1 1 423 21 f 令0 f 得矩阵M的特征值为1 与 3 6 分 当1 时 220 220 xy xy 解得0 xy 矩阵M的属于特征值1 的一个特征向量为 1 1 8 分 当3 时 220 220 xy xy 解得xy 矩阵M的属于特征值 3 的一个特征向量为 1 1 10 分 B 选修 4 4 坐标系与参数方程 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴 且在两种坐标系中取相同的长度单位 建立极坐标系 判断 直线 12 12 xt l yt t为参数 与圆 2 2 cos2 sin0C 的位置关系 解 把直线方程 12 12 xt l yt 化为普通方程为 2xy 3 分 将圆 C 2 2 cos2 sin0 化为普通方程为 22 220 xxyy 即 22 1 1 2xy 6 分 圆心C到直线l的距离 2 2 2 d 8 分 所以直线l与圆C相切 10 分 C 选修 4 5 不等式选讲 已知 a b c 是正实数 求证 a 2 b2 b2 c2 c2 a2 b a c b a c 法一 因为 a b c均为正数 则 2222 2222 2222222222 2222222222 2222 2222 2 2 2 22 2 2 2 ababa bcbcc bcbcbabcabcabcbca cacaabcacabbcaabc cacac ababb g g g 同理 页 9 第 法二 由 a b b c 2 b c c a 2 c a a b 2 0 得 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a b b c c a 0 a 2 b2 b2 c2 c2 a2 b a c b a c 10 分 必做题 第 22 23 题 每小题 10 分 计 20 分 请把答案写在答题纸的指定区域内 解答时应写出文字 说明 证明过程或演算步骤 22 甲 乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球 命中率分别为 2 1 与p 且乙投球 2 次均未命中的 概率为 16 1 求乙投球的命中率p 若甲投球 1 次 乙投球 2 次 两人共命中的次数记为 求 的分布表和数学期望 解 设 甲投球一次命中 为事件 A 乙投球一次命中 为事件 B 由题意得 16 1 11 22 pBP 解得 4 3 p或 4 5 舍去 所以乙投球的命中率为 4 3 3 分 由题设和 知 4 1 4 3 2 1 2 1 BPBPAPAP 可能的取值为 0 1 2 3 4 分 故 32 1 4 1 2 1 0 2 BBPAPP 5 分 32 7 2 1 4 1 4 3 2 4 1 2 1 32 1 4 1 2 1 1 2 2 1 2 APBPBPCBBPAPP 6 分 32 9 4 3 2 1 3 2 BBPAPP 7 分 32 15 3