经济数学-微积分期末考试试卷与答案.doc

经济数学-微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )试题号一二三四总分考分阅卷人一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数的定义域是（A）；(A) (B) (C) (D) 2. 函数的渐近线有（）；3. 设函数,则该函数是(A)(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与关于直线对称的函数是（A）； 5. 若，则点是函数的（）；左连续点右连续点驻点极值点6. 已知点（1，3）是曲线的驻点，则的值是（B）（A） （B） （C） （D） 7. 当时，下列函数极限不存在的是（C）；8. 极限 （C）；不存在9.下列函数中在，上满足罗尔定理条件的是（C）；10若函数在点处可导，则极限（C）；11. 时，下列函数中，与不是等价无穷小量的函数是（C）(A) (B) (c) (D) 12.下列极限中，极限值为的是（）；13. 若，则（D）；14.函数，在区间，内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中（）；15.若函数在内连续，则（）二.计算题（每小题7分，共56分）1.，求分解：7分 2. 求极限 7分5分分解：3. 求曲线 在对应的点处的切线方程解：时，代入方程得 ；方程两边对求导得 分，将代入，得分，故所求的切线方程为分，即4. 设函数在处可导，求常数和解：由已知在连续，且分可得又因在处可导，且分又得代入得分故5. 求函数的上凸区间、下凸区间与拐点2分解：列表讨论如下：x _0 + -0_ y 拐点 拐点7分 6. 求 7分4分2分解： 7. 求 2分解：5分移项可得7分 分分分7分6分8. 已知是的一个原函数，求 三.证明题（本题6分）设函数在区间上连续，其导数在内存在且单调减少，又，证明不等式：（其中是常数且满足：）证明：时，时，在区间和上，满足拉格朗日定理条件，3分又在上单调减少，而即6分故有（其中是常数且满足：）四应用题（本题8分）设生产个产品的边际成本为，其固定成本（即时的成本）为100元，产品单价规定为元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最大利润是多少？2分解：由已知，边际成本由固定成本为100，可得 于是有： 成本函数： 收入函数：4分利润函数：7分由，得唯一驻点，又由，可知，驻点是极大值点，同时也是最大值点。因此，当生产量为200时，总利润最大。8分最大利润为。三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.20082009学年第一学期高等数学I(上)期末考试试卷A 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 题号一二三四五六七总分得分阅卷人得分一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.1、函数内零点的个数为 .2、设函数由方程所确定，则= .3、 .4、物体在力的作用下从沿直线移动到，且力的方向指向轴正向，则力在物体移动过程中所做的功为 .5、微分方程的通解为 .阅卷人得分二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.题号12345678910答案1、下列各项中函数相同的是（ ） A. ； B. ；C. ； D. .2、下列极限中不正确的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. . 3、=（ ）A. 1； B. 2； C. 3； D. 4.4、设，则在处的（ ）A. 左、右导数都存在； B. 左导数存在、右导数不存在；C. 左导数不存在、右导数存在； D. 左、右导数都不存在.5、设，则是的（ ）A. 可去间断点； B. 第二类间断点； C. 跳跃间断点； D. 连续点.6、设在上，则下面正确的为（ ）.A； B；C； D.7、下列等式中不正确的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. .8、下列计算正确的是（ ）A. ；B. ，；C. ；D. 9、（ ）A. 0； B. ； C. ； D. .10、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为（ ）A. ； B. ；C. ； D. .阅卷人得分三、计算下列各题（每小题6分，共18分）. 1、已知，求. 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.2、计算极限.3、计算极限.阅卷人得分四、计算下列各题（每小题6分，共18分）1、； 2、已知，求；3、求微分方程的通解.阅卷人得分三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 .答 题 不 要 超 过 密 封 线.五、解下列各题（每小题6分，共18分）1、求函数的极值. 2、证明：当时，.3、已知是的一个原函数，求.阅卷人得分六、（8分）设由曲线，直线及轴所围图形为T. （1）求T的面积； （2）求T绕轴旋转而成的旋转体的体积. 阅卷人得分七、（8分）设光滑曲线过原点，且当时，对应于一段曲线的弧长为，求.习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d(5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=maxDx1, Dx2, , Dxn, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函数在区间0, 2上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, ,得, M=e 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 则; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上f(x)g(x). 证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以. 假如不成立. 则只有, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 , 由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ (2)还是？ (3)还是？ (4)还是？ (5)还是？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以. 又当0xx3, 所以. (2)因为当1x2时, x2x3, 所以. 又因为当1x2时, x2x3, 所以. (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因为当1x2时, 0ln x(ln x)2, 所以. (4)因为当0x1时, xln(1+x), 所以. 又因为当0ln(1+x), 所以. (5)设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. 又因为当01+x, 所以. 习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d(5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 习题5-1 1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x2+1, 两直线x=a、x=b(ba)及横轴所围成的图形的面积. 解 第一步: 在区间a, b内插入n-1个分点(i=1, 2, , n-1), 把区间a, b分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: (i=1, 2, , n). 第二步: 在第i个小区间xi-1, xi (i=1, 2, , n)上取右端点, 作和 . 第三步: 令l=maxDx1, Dx2, , Dxn, 取极限得所求面积 . 2. 利用定积分定义计算下列积分: (1)(a0, 所以函数f(x)=x arctan x在区间上单调增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函数在区间0, 2上的最大值M与最小值m. , 驻点为. 比较f(0)=1, f(2)=e 2, ,得, M=e 2. 于是 , 即 . 7. 设f(x)及g(x)在a, b上连续, 证明: (1)若在a, b上, f(x)0, 且, 则在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 则; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 则在a, b上f(x)g(x). 证明 (1)假如f(x)0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在a, b上的连续性, 在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 这与条件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)证法一 因为f(x)在a, b上连续, 所以在a, b上存在一点x0, 使f(x0)0, 且f(x0)为f(x)在a, b上的最大值. 再由连续性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使当xc, d时, . 于是 . 证法二 因为f(x)0, 所以. 假如不成立. 则只有, 根据结论(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)=g(x)-f(x), 则在a, b上F(x)0且 , 由结论(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大: (1)还是？ (2)还是？ (3)还是？ (4)还是？ (5)还是？ 解 (1)因为当0x1时, x2x3, 所以. 又当0xx3, 所以. (2)因为当1x2时, x2x3, 所以. 又因为当1x2时, x2x3, 所以. (3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因为当1x2时, 0ln x(ln x)2, 所以. (4)因为当0x1时, xln(1+x), 所以. 又因为当0ln(1+x), 所以. (5)设f(x)=ex-1-x, 则当0x1时f (x) =ex-10, f(x)=ex-1-x是单调增加的. 因此当0x1时, f(x)f(0)=0, 即ex1+x, 所以. 又因为当01+x, 所以. 0304浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1、 2、 3、 4、1 5、-1二、 1、C 2、D 3、D 4、A 5、A 三、1、6， 2、， 3、， 4、单调增加，单调减少， 5、，6、， 7、1， 8、。四、五、0304浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、1、(0, 2), 2、0, 3、ln2, 4、 ， 5、 ， 6、7、， 8、4， 9、10. 2/e二、A B D B B三、1、1/2， 2、1， 3、4、 5、 6、 四、1、 2、 五、a=2, b=3, c=00506浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1； 2.； 3. 2；4. ； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10.二、1. A 2. C 3. D 4. B 5. B.三、1.原式= （6分）2. （2分） （5分） 联立解得 a = 7， b = 6. （6分）3. ， （3分） （6分）4. 方程两边对x求导得 （4分） (6分) 6. 原式= （4分）= （6分）7. 四、1. 抛物线在点（0，3）的切线为y = 4x3，在点（3，0）的切线为y = 2x+6，两切线的交点为。 （5分） 所求面积A= = （9分）2. 圆柱体体积V= （3分） 由，得驻点， （7分）由，知当， （9分）五、证 ，； （2分）， . （3分）因为 ,（5分）所以具有连续的一阶导数。0607浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、； 2.； 3. ；4. ； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10.二、1. D 2. B 3. A 4. C 5. B.三、1. 2； 2. ； 3.在不可导， ；4. ； 5. ； 6. 7. 四、1. (1)时面积 最大 (2) 2. 建立x轴向下的坐标系，取x为积分变量0708浙江工商大学高等数学（上）参考答案一、 1.； 2.0； 3.；4.； 5. 二、1. B 2. A 3. B 4. D 5. B.三、1. ； 2. ； 3. ；4. 凸区间，凹区间，拐点凸区间； 5. ； 6. 7. 四、1. 2. 五、应用罗尔定理。08/09高等数学（上）(A)参考答案一填空：1. 2. 3. 4 5二选择：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B三. 计算题(一)(,每小题6分,共24分)1解：原式 (3分) (6分)2解：时 (1分)方程两边对求导： (4分)方程两边再对求导：(6分)3.解：令， (2分) (3分)(令) (5分)原式 (6分)4. 解：，一阶线性方程， (1分) (5分)由，所以解为 (6分)四、计算题(二)(每题8分,共24分)1.解 (1) ,(1分) ;(2分)又,所以在处的连续.(3分) (2)当时,令,解得.又当时,;当时,所以是函数的一个极小值点.(6分) 当时,故函数在区间内无驻点,从而无极值点.由(1)知函数在处连续;又由前面的讨论知,函数在区间内单调减,在内单调增,所以是的一个极大值点.(8分)2.解 令,则,(2分)即 , .(4分)积分后化简得方程,(6分)解此方程得及,故有两个解 及 .(8分)3. 解：(4分)，原式 (8分)五、应用题(每小题8分,共16分)1解： (2分) (5分) (7分)因为驻点唯一，问题具有实际意义，所以该驻点即为所求最大值点，即球员在距离底线米处起脚射门将获得最大张角. (8分)2. 解：切线方程 (2分)面积 (5分)体积 (8分)六、证明题(6分)证明：设， 则在上连续且可导. ，由零点定理知，在内至少存在一点，使，即. (3分)假设. 根据罗尔定理，.这与矛盾. 故假设不成立.综上所述，在内有且仅有一个，使. 浙江工商大学200 3/2004学年第一学期期末考试试卷课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： .一、填空(每小题3分，满分15分)1、 2、设，则 3、曲线在处切线方程的斜率为 4、已知连续可导，且， 5、已知，则 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数，则 ( )A、当时为无穷大 B、当时有极限C、在内无界 D、在内有界2、已知，则在处的导数( )A、等于0 B、等于1 C、等于e D、不存在3、曲线的拐点是( )A、 B、 C、 D、4、下列广义积分中发散的是( )A、 B、 C、 D、5、若与在内可导，则必有( )A、 B、C、 D、三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求 2、求3、设由确定，求。4、求函数的单调区间。5、，求6、求7、求8、在曲线上求一点，使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。四、应用题(满分8分) 答题要求：写出详细计算过程一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1米，高2米，盛满水，要将水全部抽出底面需要做多少功？五、(本题满分6分) 设是上非负连续的偶函数，且当时，单调增加。(1)对任意给定的常数，求常数，使得(2)证明(1)中所得的是惟一的。答题要求：写出详细过程。浙江工商大学200 4/2005学年第一学期期末考试试卷课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： .一、填空(每小题2分，满分20分)1、的定义域为，则的定义域为 2、 3、函数在处连续，则 4、 5、设，则 6、设函数在处可导，则 7、已知，则 8、 9、的特解形式(不必精确计算)为 10、已知，则 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数在 处( )A、连续且可导 B、连续不可导C、可导不连续 D、不连续且不可导2、当时，变量是的( )A、等价无穷小 B、同阶无穷小但不等价 C、高阶无穷小 D、低阶无穷小3、曲线在 内的一段弧是( )A、上升，凹的 B、上升，凸的 C、下降，凹的 D、下降，凸的4、广义积分是收敛的，则满足( )A、 B、 C、 D、5、设在区间上，由中值定理，必有( )A、 B、C、 D、三、计算题（每小题6分，共36分）答题要求：写出详细计算过程1、求 2、求3、利用变换求微分方程的通解。4、求 5、6、设，求四、计算下列各题(每小题7分，满分14分) 答题要求：写出详细计算过程1、设平面图形由所围成，求的面积，并求绕轴旋转一周所形成的体积。2、求曲