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6、命题与条件变式训练课堂演练 考考自己 温故知新1. “若，则或”是_命题.（填“真”或“假”）2. 命题“若都是奇函数，则是偶函数。”的等价命题是_.3. “”是“”的（ ）A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；C. 充要条件； D. 非充分非必要条件.4. 设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是_.知识梳理 问题驱动 指点迷津1. 命题：判断真假的语句。通常用陈述句表述。一般形式：“如果，那么”正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。2. 四种命题形式：（用和分别表示和的否定）原命题如果，那么否命题如果，那么逆命题如果，那么逆否命题如果，那么互否互否互逆互逆逆否 原命题与逆否命题同真（假）；逆命题与否命题同真（假）。3. 如果，那么是的充分条件，是的必要条件。如果，那么是的充要条件，是的充要条件，也就是说，命题与命题是等价命题。4. 设具有性质，具有性质，则与等价。讲练平台 师生互动 指导训练考点1、真假命题的判断与命题的等价性例题1、对任意实数，给出下列四个命题：（1）若，则； （2）若，则；（3）若，则是双曲线； （4）若，则其中真命题的序号是_.（把符合要求的命题序号都填上）分析：观察命题的条件与结论，可知命题（1）与指数函数的单调性有关；命题（2）与不等式的性质有关；命题（3）与圆锥曲线有关；命题（4）与乘方的运算有关。解：指数函数在上单调增，命题（1）是真命题；当时，但，命题（2）是假命题；当时，不是双曲线，命题（3）是假命题；“若，则”与“若，则”等价，命题（4）是真命题；真命题的序号是（1）、（4）.评注：对于命题真假的判断，关键在于分清命题的条件与结论。真命题是正确的命题，可以通过已有的公理、定理等进行严格证明；假命题是错误的命题，可以通过举反例进行说明。命题判断时，考虑要周到、细致。比如：判断命题（2）时，就必须注意一些不等式性质成立的条件。有些命题直接判断有困难，这时可以借助它的等价命题，比如命题（4）的判断。考点2、命题的四种形式与否定形式的准确把握例题2、写出下列命题的否命题，并且判断它的真假：（1）设，若，则（2）设，若且，则且分析：分清命题的条件与结论，即将命题改写为：“如果，那么”，再写出它的否命题：“如果，那么”解：（1）否命题：设，若，则，真命题； （2）否命题：设，若或，则或，真命题.评注：四种命题形式的改写时，若这个命题有大前提，则需保留大前提，也就是保留大前提不动。准确把握命题的否定形式： “”“”； “”“”；“且”“或”； “都是”“不都是”；“至少有一个”“一个都没有”等。考点3、几种条件关系的判断例题3、判断下列命题是命题的什么条件？ （1）：且，：且； （2）：且，：且； （3）：，：.分析：根据题意可知，命题是条件，命题是结论。要判断是的什么条件，也就是判断与之间的推出关系。解：（1）是的充要条件. 充分性：同号， 又， 且，即是的充分条件； 必要性：且，有不等式的加法性质，得：且， 是的必要条件； 综上所述，是的充要条件. （2）是的必要非充分条件. 充分性： 不是的充分条件，有反例； 必要性：且，有不等式的加法性质，得：且， 是的必要条件； 综上所述，是的必要非充分条件. （3）：或，：或，是的充分非必要条件.评注：（1）根据定义：若，则是的充要条件。因此，证明是的充要条件：充分性的证明：,必要性的证明：.（2）根据定义：若且推不出，则是的必要非充分条件。因此，证明是的必要非充分条件必要性的证明：,举反例说明推不出.命题：且的充要条件呢？，即，因此，命题：且的充要条件是“且”，这在方程根的分布讨论中常会用到。（3）根据子集与推出关系，“是的充分非必要条件”表明：对应概念的范畴小，对应概念的范畴大，反之亦然。考点4、集合的包含关系与命题的推出关系之间的等价性例题4、已知：，：，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围分析：命题“是的充分非必要条件”的等价命题是：“q是p的充分非必要条件”，因此，不等式的解集是不等式解集的真子集。解：由题可知：命题“是的充分非必要条件”的等价命题（即它的逆否命题）是：“q是p的充分非必要条件”，：，：， q是p的充分非必要条件，不等式的解集是不等式解集的真子集，又，不等式的解集是，实数的取值范围是评注：（1）由子集与推出关系：设具有性质，具有性质，则与等价。因此，“是的充分非必要条件”表明：，即是对应概念的范畴小，对应概念的范畴大，反之亦然。（2）互为逆否命题是等价命题，也就是说原命题与逆否命题是同真同假，是等价命题。因此，为了解题的方便，对于一些命题往往先通过讨论它的等价命题进行求解。当然此题也可直接对原命题进行讨论，即先求解：与：，在通过子集与推出关系进行求解。（3）本例中的条件“”若改为“”，则勿漏“当时，不等式的解集为”和“当时，不等式的解集为”这两个符合题意的条件。基础训练 效果反馈 巩固提高一、 填空题1. 判断下列命题的真假：（1）“”是_命题；（2）“若，则、中至少有一个是”是_命题；（3）“方程必有惟一解” 是_命题；（4）“表示第一象限、第三象限的点” 是_命题. 2. 命题“若，则”的否命题是_.3. 已知一个命题的逆命题：“已知，如果中至少有一个偶数，那么能被2整除”，则这个命题的等价命题是_.4. 在空间中，（1）若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题是真命题的是_.5. 如果，推出，那么时，可推出_，.6. 设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的_条件.7. “”是“”的_条件.8. “”是“函数的最小正周期是”的_条件.9. “”是“直线和直线平行且不重合”的_条件.10. 命题：集合，命题：集合，则集合与的包含关系是_，命题与的推出关系是_.二、 选择题1. 在下列关于直线与平面的命题中，真命题的是（ ）A. 若且，则 B. 若且，则C. 若且，则 D. 若且，则2. “”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3. “”是“且”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件4. “”是“不等式对一切实数恒成立”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件5. 若是常数，则“且”是“对任意，有”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 非充分非必要条件6. 若函数、的定义域和值域都是，则成立的充要条件是（ ）A. 存在一个，使得；B. 有无穷多个实数，使得；C. 对中任意，都有；D. 不存在实数，使得.三、 解答题1. 已知函数，分别写出的一个充要条件、一个充分非必要条件和一个必要非充分条件.2. 已知关于的一元二次方程，（1） 若方程有两个正根，求实数的取值范围； （2） 若方程有一正根，一负根，求实数的取值范围； （3） 有一根大于1，另一根小于1，求实数的取值范围； （4） 两根分别在，之间. 3. 已知，求证：的充要条件是4. 设，命题：函数在上单调减，命题：曲线与轴交于不同的两点，若命题与有且只有一个正确，求实数的取值范围. 归纳小结 掌握规律 提炼方法1. 要判断命题的真假，必须要牢记已经学过的定理、命题和性质。比如：一些比较重要的几何定理、关联二次方程或者二次不等式等的充要条件、不等式的相关性质，这些都是判断命题真假的依据。2. 判断几种条件关系（“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“非充分非必要条件”）的方法：（1） 用定义判断：若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件。特别地，若且推不出，则是的充分非必要条件。（2） 用集合的包含关系：设具有性质，具有性质，则与等价。也就是：若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件。特别地，若，则是的充分非必要条件。（3） 用命题的等价性：判断是的什么条件，也就是判断原命题“若，则”和它的逆命题“若，则”的真假。如果原命题为真而逆命题为假，那么是