2020届一中高三第五次月考数学（理）试题 PDF版含答案

1 理 科 数 学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 作答时 务必将答案写在答题卡上 写在本试卷及草稿纸上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 满分 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知全集RU 集合 5 4 3 2 1 0 A 2 xxB 则图中阴影部分所表示的集合 A 1 B 0 1 C 1 2 D 0 1 2 2 在复平面内与复数 2 1 i z i 所对应的点关于 实轴对称的点为A 则A对应的复数为 A 1 i B 1 i C 1 i D 1i 3 执行如图所示的程序框图 输出S的值为 A 3 2 1 3log 2 B 2 log 3 C 4 D 2 4 阿基米德 公元前 287 年 公元前 212 年 不仅是著名的物理学家 也是著名的数学家 他利用 逼近 法 得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 若椭圆C的焦点在x轴上 且 椭圆C的离心率为 7 4 面积为 12 则椭圆C的方程为 A 22 1 34 xy B 22 1 916 xy C 22 1 43 xy D 22 1 169 xy 5 已知 1 2 2f kkkkk k N 则 A 1 22f kf kk B 1 33f kf kk C 1 42f kf kk D 1 43f kf kk 6 已知数列 n a为等比数列 且 2 2347 64a a aa 则 5 2 tan 3 a 2 A 3 B 3 C 3 D 3 3 7 设抛物线 2 y4x 的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PAl A为垂足 如果直线AF的斜 率为 3 3 那么 PF A 2 3 B 4 3 C 7 3 D 4 8 若 4 sincos 3 且 3 4 则sin cos A 2 3 B 2 3 C 4 3 D 4 3 9 已知三棱锥ABCD 中 5ABCD 2 ACBD 3ADBC 若该三棱锥的四个顶 点在同一个球面上 则此球的体积为 A 3 2 B 24 C 6 D 6 10 在Rt ABC 中 已知90 3 4 CCACBP 为线段AB上的一点 且 CACB CPxy CACB 则 11 xy 的最小值为 A 7 6 B 7 12 C 73 123 D 73 63 11 已知函数 yf x 是 1 1 上的偶函数 且在区间 1 0 上是单调递增的 A B C是锐角三角 形ABC 的三个内角 则下列不等式中一定成立的是 A sin sin fAfB B sin cos fAfB C cos sin fCfB D sin cos fCfB 12 已知定义在R上的可导函数 f x的导函数为 fx 满足 fxf x 且 2 f x 为偶函数 4 1f 则不等式 x f xe 的解集为 A 0 B 0 C 4 e D 4 e 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 已知椭圆 22 2 10 4 xy a a 与双曲线 22 1 93 xy 有相同的焦点 则a的值为 14 已知实数x y满足不等式组 20 250 20 xy xy y 且z 2x y的最大值为a 3 则dx x a e 1 15 已知点 2 0A 0 4B 点P在圆 22 345Cxy 上 则使90APB 的点P的个 数为 16 已知函数 2 2 log 02 3 2 xx f x xx 若方程 f xa 有 4 个不同的实数根 12341234 x xx xxxxx 则 4 34 123 x xx x x x 的取值范围是 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 每个试题考 生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一一 必考题 必考题 共共 6060 分分 17 12 分 已知等差数列 n a满足 410 7 19aa 其前n项和为 n S 1 求数列 n a的通项公式 n a及 n S 2 若 1 1 n nn b a a 求数列 n b的前n项和 n T 18 12 分 已知函数 2 2 3sin cos2sin1f xxxx 1 求函数 f x的单调递增区间 2 在ABC 中 内角A B C所对的边分别为a b c 若 2 C 2 4 f Ac 求ABC 的面积 19 12 分 如图 在四边形ABCD中 ABCD 2 3 BCD 四边形 ACFE为矩形 且CF 平面ABCD ADCDBCCF 1 求证 EF 平面BCF 2 点M在线段EF上运动 当点M在什么位置时 平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大 并 求此时二面角的余弦值 20 12 分 已知椭圆 22 2 12 2 xy Ca a 的右焦点为F P是椭圆C上一点 PFx 轴 2 2 PF 1 求椭圆C的标准方程 2 若直线l与椭圆C交于A B两点 线段AB的中点为M O为坐标原点 且2OM 求A O B 面积的最大值 4 21 12 分 已知函数 f xlnxxa x aR 有两个极值点 12 x x 且 12 xx 1 若5a 求曲线 yf x 在点 4 4f处的切线方程 2 记 12 g af xf x 求a的取值范围 使得 15 04 2 4 g aln 二二 选考题 共选考题 共 1010 分 分 请考生在第 22 23 两题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 曲线 1 C的参数方程为 2 0 sin3 cos y x 曲线 2 C的参数方程为 1 2 2 3 2 xt t yt 为参数 1 求曲线 1 C 2 C的普通方程 2 求曲线 1 C上一点P到曲线 2 C距离的取值范围 23 选修 4 5 不等式选讲 已知 2 f xxa xxxa 1 当1a 时 求不等式 0f x 的解集 2 若 1 x 时 0f x 求a的取值范围 5 理科 参考答案 理科 参考答案 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D D B B B A C C C B 二 填空题二 填空题 13 13 4 14 6 15 1 16 7 8 4 14 6 15 1 16 7 8 三 解答题三 解答题 17 解 1 设等差数列 n a的公差为d 则 1 1 37 919 ad ad 2 分 解得 1 a1 d2 4 分 12 1 21 n ann 2 1 21 2 n nn Sn 6 分 2 1 11111 21212 2121 n nn b a annnn 8 分 数列 n b的前n项和为 111111 1 23352121 n T nn L 10 分 11 1 22121 n nn 12 分 18 解 1 2 2 3213f xsinxcosxsin x sin2x cos2x 2sin 2x 6 2 分 令 2k 2 2x 6 2k 2 k Z 解得k 6 x k 3 k Z 4 分 函数f x 的单调递增区间为 k 6 k 3 k Z 6 分 2 f A 2sin 2A 6 2 sin 2A 6 1 A 0 2A 6 6 11 6 2A 62 解得A 3 8 分 C 4 c 2 由正弦定理 ac sinAsinC 可得a 3 2 2 6 2 2 c sinA sinC 10 分 6 由余弦定理a 2 b2 c2 2bccosA 可得 6 b2 4 2 1 2 2 b 解得b 1 3 负值舍 去 11 分 S ABC 1 2 absinC 1 6 2 1 3 233 22 12 分 19 证明 在梯形ABCD中 ABCD 设1ADCDBC 又 2 3 BCD 2AB 222 2cos603ACABBCAB BC 222 ABACBC 则则BCAC 2 2 分分 CF 平面平面ABCD AC 平面平面ABCD ACCF 4 4 分分 而而CFBCC AC 平面平面BCF EFAC EF 平面平面BCF 6 6 分分 解 分别以直线 解 分别以直线 CA CB CF为为x轴 轴 y轴 轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设1ADCDBCCD 令 03FM 则 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1CABM 8 8 分分 3 1 0 1 1ABBM 设 nx y z 为平面MAB的一个法向量 由 0 0 n AB n BM 得 30 0 xy xyz 取1x 则 1 3 3n 1 0 0m 是平面FCB的一个 法向量 10 10 分分 22 11 cos 1 33134 n m n m n m 03 当0 时 cos 有最小值为 7 7 点M与点F重合时 平面MAB与平面FCB所成二面角最大 此时二面角的余弦值为 7 7 12 12 分分 20 20 解解 1 设椭圆C的焦距为 20c c 由题知 点 2 2 P c 2b 2 2 分分 7 则有 2 2 2 2 2 1 2 c a 2 2 3 4 c a 又 2222 2abcc 2 8a 2 6c 因此 椭圆C的标准方程为 22 1 82 xy 4 4 分分 2 当ABx 轴时 M位于x轴上 且OMAB 由2OM 可得6AB 此时 1 3 2 AOB SOMAB 5 5 分分 当AB不垂直x轴时 设直线AB的方程为ykxt 与椭圆交于 11 A x y 22 B xy 由 22 1 82 xy ykxt 得 222 148480kxktxt 12 2 8 14 kt xx k 2 12 2 48 1 4 t x x k 从而 22 4 1414 ktt M kk 7 7 分分 已知2OM 可得 2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k 8 8 分分 2 2 22 22 121 2 22 848 1414 1 41 4 ktt ABkxxx xk kk 22 2 2 2 16 82 1 14 kt k k 设O到直线AB的距离为d 则 2 2 2 1 t d k 22 2 22 22 2 16 82 1 1 41 14 AOB kt t Sk k k 10 10 分分 将 2 2 2 2 2 1 4 1 16 k t k 代入化简得 22 2 2 2 19241 1 16 AOB kk S k 令 2 1 16kp 则 22 2 22 2 1 1211 19241 4 1 16 AOB p p kk S p k 2 114 334 33p 当且仅当3p 时取等号 此时AOB 的面积最大 最大值为2 综上 AOB 的面积最大 最大值为2 12 12 分分 2121 解解 1 5a 时 5 lnxxfxx 15 1 2 fx xx 2 2 分分 8 446 40 flnf 所以 点 4 4f处的切线方程是46yln 4 4 分分 2 122 1 22 axa x fx xxx 由己知得 12 2 a xx 12 1xx 且 2 160a 4a 6 6 分分 因为 11111 2f xlnxxa xlnxx 222 2f xlnxx 8 8 分分 令 2 1 x t x 得 2 2 1 4 ta t 且1t 所以 1 21 2 1 ln2 x g axxtlnt xt 10 10 分分 令 1 2lnh ttt t 则 2 2 222 11221 10 ttt h t tttt 所以 h t在 1 上单调递增 因为 15 44 2 4 hln 所以14t 又因为 2 2 11 2 4 ta t tt 在 1 4上单调递增 所以45a 12 12 分分 22 解 由题意 cos 3sin x y 为参数 则 cos sin 3 x y 平方相加 即可得 1 C 2 2 y x1 9 2 2 分分 由 1 2 2 3 2 xt t yt 为参数 消去参数 得 2 C y3 x2 即3xy2 30 4 4 分分 2 设 P cos 3sin 9 P到 2 C的距离 3cos 3sin 2 3 d 2 2 3sin 2 3 6 2 6 6 分分 0 2 当 sin 1 6 时 即 3 max d2 3 当 sin 1 6 时 即 4 3 min d0 8 8 分分 取值范围为0 2 3 10 10 分分 23 23 解解 1 当1a 时 原不等式可化为 1 2 1 0 xxxx 2 2 分分 当1x 时 原不等式可化为 1 2 1 0 x xx x 即 2 1 0 x 显然成立 此时解集为 1 当