2020年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）（PDF版含答案）

第 1 页 共 14 页 高考数学一诊试卷 理科 高考数学一诊试卷 理科 题号 一 二 三 总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设集合 A x 1 x 2 B 1 0 1 2 3 则 A B A 1 0 1 2 B 0 1 2 C 0 1 D x 1 x 2 或 x 3 2 若向量 4 2 6 k 则 的充要条件是 A k 12 B k 12 C k 3 D k 3 3 在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发布会 若 抽取的 n人中教练员只有 1 人 则 n A 5 B 6 C 7 D 8 4 己知直线 a b l 平面 下列结论中正确的是 A 若 a b l a l b 则 l B 若 a b a 则 b C 若 a 则 a D 若 l 则 l 5 若 a 0 30 2 b log0 12 c 0 3 0 1 则 a b c的大小关系为 A c a b B b a c C a c b D b c a 6 二次项的展开式中常数项为 A 5 B 10 C 15 D 20 7 已知直线 y x 3与圆 x 2 y2 2x 2y 0 相交于 A B两点 则 AB A B C D 2 8 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一 并为中国所特有 图一图二是斗拱实 物图 图三是斗拱构件之一的 斗 的几何体 本图中的斗是由棱台与长方体形凹 槽 长方体去掉一个小长方体 组成 若棱台两底面面积分别是 400cm2 900cm2 高为 9cm 长方体形凹槽的体积为 4300cm3 斗的密度是 0 70g cm3 那么这个斗的 质量是 注 台体体积公式是 A 3990g B 3010g C 7000g D 6300g 第 2 页 共 14 页 9 若实数 x y 满足 则 2x y的最大值为 A 2 B 0 C 7 D 9 10 已知函数在区间 0 上为增函数 则实数 a 的取值范 围是 A 0 1 B 0 C 1 D 1 1 11 已知 A是双曲线 D 右支上一点 B C 分别是双曲线 D 的左 右焦点 记 ABC 的内角为 A B C 当 AC 8 时 A 1 B C D 2 12 过抛物线 C y2 4x 焦点的直线交该抛物线 C 于点 A B 与 抛物线 C 的准线交于点 P 如图所示 则的最小值是 A 8 B 12 C 16 D 18 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 己知随机变量 y 与 x 有相关关系 当 x 3时 y 的预报值为 14 复数的实部为 15 已知函数 f x 2sin x 图象的相邻两条对称轴的距离为 且 则 16 f x 是定义域为 R的偶函数 对 x R 都有 f x 4 f x 当 0 x 2时 则 三 解答题 本大题共 7 小题 共 84 0 分 17 如图 在四棱锥 P ABCD中 底面 ABCD 是正方形 PD 底面 ABCD 点 E是 PC 的中点 1 求证 PA 平面 EDB 2 若 PD AD 2 求二面角 C ED B 的余弦值 第 3 页 共 14 页 18 我国已进入新时代中国特色社会主义时期 人民生活水平不断提高 某市随机统计 了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量 记为 P元 的情 况 并根据统计数据制成如下频率分布直方图 1 根据频率分布直方图估算 P的平均值 2 视样本中的频率为概率 现从该市所有住户中随机抽取 3 次 每次抽取 1户 每次抽取相互独立 设 为抽出 3户中 P值不低于 65 元的户数 求 的分布列和 期望 E 19 己知数列 an 满足 a1 1 1 求证 数列为等比数列 2 求数列 an 的前 n 项和 Sn 第 4 页 共 14 页 20 已知椭圆 C 过点 且以 F1 c 0 F2 c 0 c 0 为焦点 椭圆 C的离心率为 1 求实数 c的值 2 过左焦点 F1的直线 l与椭圆 C 相交于 B D两点 O为坐标原点 问椭圆 C 上是否存在点 P 使线段 BD 和线段 OP相互平分 若存在 求出点 P 的坐标 若 不存在 说明理由 21 已知 f x x m ex 1 当 m 2时 求函数 f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 若函数 f x 在区间 1 0 上有极小值点 且总存在实数 m 使函数 f x 的极小值与互为相反数 求实数 a的取值范围 22 在新中国成立 70周年国庆阅兵庆典中 众多群众 在脸上贴着一颗红心 以此表达对祖国的热爱之 情 在数学中 有多种方程都可以表示心型曲线 其中有著名的笛卡尔心型曲线 如图 在直角坐标 系中 以原点 O为极点 x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系 图中的曲线就是笛卡尔心型曲线 其极坐 标方程为 1 sin p 1 sin 0 M为该曲 线上的任意一点 1 当时 求 M 点的极坐标 2 将射线 OM绕原点 O逆时针旋转 与该曲线相交于点 N 求 MN 的最大值 第 5 页 共 14 页 23 己知函数 f x x 1 2 x 1 1 求不等式 f x x 5 的解集 2 若 x1 x2 1 求证 f x1 x2 f 2x1 3 第 6 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 B 解析 解 A x 1 x 2 B 1 0 1 2 3 A B 0 1 2 故选 B 进行交集的运算即可 本题考查了描述法 列举法的定义 交集的运算 考查了计算能力 属于基础题 2 答案 D 解析 解 由向量 x1 y1 向量 x2 y2 他们平行的充要条件是 x1y2 x2y1 则有若向量 4 2 6 k 则 的充要条件是 4k 2 6 即 k 3 故选 D 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 根据充分条件和必要条件的定义是解决本题 的关键 3 答案 B 解析 解 在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发 布会 若抽取的 n 人中教练员只有 1人 则 求得 n 6 故选 B 由题意利用分层抽样的定义 求出 n 的值 本题主要考查分层抽样的定义和方法 属于基础题 4 答案 D 解析 解 A 错 直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面 缺少条件直线 a b相 交 B 错 平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面 缺少条件 b C错 两个平面垂直 一个平面内的直线可能平行 相交 垂直于另外一个平面 D对 直线垂直于两个平行平面中的一个 也垂直于另外一个平面 故选 D 通过对立体几何的定义 定理得了解 可判断对错 本题考查对立体几何知识点的理解 属于基础题 5 答案 A 解析 解 y 0 3x是单调递减函数 0 a 0 30 2 0 30 1 c 0 30 1 又因为 b log0 12 log0 11 0 a b c 的大小关系为 b a c 第 7 页 共 14 页 故选 A 利用指数函数 对数函数的单调性直接求解 本题考查三个数的大小的判断 考查指数函数 对数函数的单调性等基础知识 考查运 算求解能力 是基础题 6 答案 D 解析 解 利用二次项定理的通项公式 求得二次项的展开式通项公式为 令 6 2r 0 求得 r 3 可得常数项为 故选 D 由题意利用二次项定理的通项公式 求得展开式中常数项 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 二项式系数的性质 属于基 础题 7 答案 C 解析 解 由 x2 y2 2x 2y 0 得 x 1 2 y 1 2 2 圆 x2 y2 2x 2y 0 的圆心坐标为 1 1 半径为 圆心到直线 x y 3 0的距离 d AB 故选 C 由圆的方程求出圆心坐标与半径 再求出圆心到直线的距离 再由垂径定理求弦长 本题考查直线与圆位置关系的应用 训练了利用垂径定理求弦长 是基础题 8 答案 C 解析 解 依题意 又长方体形凹 槽的体积为 4300 故 斗 的体积为 10000cm3 其质量为 10000 0 7 7000g 故选 C 由题意 求出 斗 的体积 再利用 m V求解即可 本题主要考查台体的体积计算 同时也跨学科考查了质量 密度 体积之间的关系 考 查运算求解能力 是基础题 9 答案 D 解析 解 实数 x y满足的 可行域如图所示 联立 解得 A 4 1 化目标函数 z 2x y 为 y 2x z 由图可知 当直线 y 2x z过 A 时 第 8 页 共 14 页 直线在 y轴上的截距最小 z 有最大值为 2 4 1 9 故选 D 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立 方程组求得最优解的坐标 代入目标函数得答案 本题考查简单的线性规划 考查了数形结合的解题思想方法 是中档题 10 答案 B 解析 解 函数在区间 0 上为增函数 f x 0在区间 0 上恒成立 ax 2a 0 在区间 0 上恒成立 a在区间 0 上恒成立 y x2 2x 在区间 0 上单调递增 x2 2x 0 0 a 0 故选 B 把函数在区间 0 上为增函数转化为 f x 0在区间 0 上恒成立 再分离参数法转化为求 的最大值 因为 0 所以得到 a 0 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性 是中档题 11 答案 A 解析 解 A 是双曲线 D 右支上一点 B C分别是双曲线 D 的左 右焦 点 可得 B 6 0 C 6 0 BC 12 由 AC 8 可得 AB 2a AC 2 8 10 在 ABC中 cosB 可得 2 1 故选 A 求得双曲线的焦点坐标 运用双曲线的定义可得 AB 在 ABC 中 运用正弦定理和余 弦定理 结合二倍角的正弦公式 计算可得所求值 本题考查双曲线的定义 方程和性质 三角形的正弦定理和余弦定理的运用 以及二倍 角的正弦公式 考查化简运算能力 属于中档题 12 答案 A 解析 解 抛物线 C y2 4x焦点 1 0 设直线 PB方程为 y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 联立直线 PB 与抛物线的方程得 k2x2 2k2 4 x k2 0 x1 x2 x1x2 1 y1y2 2 第 9 页 共 14 页 y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k k 2k P 0 k 所以 x1 y1 k x2 y2 k x1x2 y1y2 k y1 y2 k2 2 k k2 k2 4 2 8 当且仅当 k2 即 k 时取 则的最小值是 8 故选 A 物线 C y2 4x 焦点 1 0 设直线 PB 方程为 y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 联立直线PB与抛物线的方程得 k2x2 2k2 4 x k2 0 由韦达定理得 x1 x2 x 1x2 1 y1y2 2 y1 y2 k x1 1 k x2 1 k x1 x2 2k k 2k 用坐标表示 再 求最小值即可 本题考查的是直线与抛物线相交问题 以及向量 属于中档题 13 答案 7 解析 解 随机变量 y 与 x 有相关关系 x 3时 y 的预报值为 2 3 1 7 故答案为 7 直接在线性回归方程中取 x 2求得 y值即可 本题考查线性回归方程 是基础的计算题 14 答案 解析 解 复数的实部为 故答案为 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 15 答案 解析 解 函数 f x 图象的相邻两条对称轴的距离为 得 T 即 得 2 即 f x 2sin 2x 第 10 页 共 14 页 2sin 即 sin 1 0 得 则 f x 2sin 2x 则 2sin 2 2sin 2 sin cos cos sin 2 故答案为 根据条件先求出函数的周期 及 结合条件建立方程求出 然后代入计算即可 本题主要考查三角函数值的计算 结合条件建立方程关系求出 和 的值是解决本题 的关键 比较基础 16 答案 解析 解 根据题意 f x 是定义域为 R 的偶函数 对 x R 都有 f x 4 f x 则有 f x 4 f x 即函数 f x 是周期为 4 的周期函数 则有 f f f 4 f f 21 f 1 4 5 f 1 又由当 0 x 2 时 则 f 1 f 1 1 则 f f 1 1 1 故答案为 根据题意 分析可得 f x 4 f x 即函数 f x 是周期为 4的周期函数 进而可 得 f f f f 21 f 1 结合函数的解析式计算可得 f f 1 的值 相加即可得答案 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用 注意分析函数的周期 属于基础题 17 答案 解 1 证明 连接 AC与 BD 相 交于 F 连接 EF 底面 ABCD是正方形 F为 AC 中点 又 E 是 PC 的中点 EF PA PA 平面 EDB EF 平面 EDB PA 平面 EDB 2 以 D为原点 分别为 x y z 第 11 页 共 14 页 轴的正方向建立空间直角坐标系 D xyz PD AD 2 D 0 0 0 E 0 1 1 B 2 2 0 取平面CED的一个法向量 设平面EDB的一个法向量为 由得 不妨令 z 1 解得 x 1 y 1 即 二面角 C ED B 的余弦值为 解析 1 只需证明 EF PA 即可 2 建立空间直角坐标系 求出两个平面的法向量 利用向量公式求解 本题考查线面平行的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值 考查逻辑推理能力及运 算求解能力 属于基础题 18 答案 解 1 30 0 014 40 0 026 50 0 036 60 0 014 70 0 01 10 48 2 由已知 三次随机抽取为 3 次独立重复试验 且每次抽取到十月人均生活支出增 加不低于 65元的的概率为 0 1 则 B 3 0 1 P 0 0 729 P 1 0 243 P 2 0 027 P 3 0 001 的分布列为 0 1 2 3 P 0 729 0 243 0 027 0 001 E 3 0 1 0 3 解析 1 利用频率分布直方图直接估算 P的平均值 2 三次随机抽取为 3 次独立重复试验 推出 B 3 0 1 然后求解分布列 求 出期望即可 本题考查频率分布直方图以及应用 其中频率 频数 样本容量 矩形的高 组矩 是处 理利用频率分布直方图问题关键 独立重复实验的概率以及期望的求法 考查分析问题 解决问题的能力 19 答案 解 1 由 两边同除以 n n 1 得 第 12 页 共 14 页 数列是以 2为首项 2 为公比的等比数列 2 由 1 有 n 2n 1 2 3 n 令 n 1 2 n n 2n 1 则前 n 项和 Sn n 1 2n 1 2 解析 1 将已知等式两边同除以 n n 1 结合等比数列的定义 即可得证 2 求得 由数列的分组求和 错位相减法求和 结合等差数列和等比 数列的求和公式 化简变形可得所求和 本题考查等比数列的定义 通项公式和求和公式的运用 考查数列的分组求和和错位相 减法求和 考查化简变形能力 运算能力 属于中档题 20 答案 解 1 椭圆方程为 a b 0 已知椭圆 C过点 F1 c 0 F2 c 0 c 0 为椭圆 C的焦点 椭圆 C的离心率为 c2 a2 b2 解得 b 1 c 1 2 由 1 有椭圆 C 的方程为 F1 1 0 假设存在点 P 满足题意 且 BD和 OP 相交于点 Q x0 y0 当直线 l与 x 轴重合时 不满足题意 设直线 l的方程为 x ty 1 A x1 y1 B x2 y2 联立得 2 t2 y2 2ty 1 0 则 将 x0 y0代入 有 第 13 页 共 14 页 解得 或 故存在 P 使线段 BD 和 OP相互平分 其坐标为 或 解析 1 点在椭圆上得到 结合离心率 以及 c2 a2 b2 求解 即可 2 设直线 l的方程为 x ty 1 A x1 y1 B x2 y2 联立结合韦达 定理 通过线段 BD 和线段 OP相互平分推出关系式 求解坐标即可 本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用 考查转化思想以及计 算能力是难题 21 答案 解 1 f x x m 1 ex 当 m 2 时 f x x 2 ex f x x 1 ex f 0 2 f 0 1 所以 函数 f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 2 x 0 即 x y 2 0 2 f x x m 1 ex 得 x m 1 时 f x 0 x m 1 时 f x 0 函数 f x 在区间 m 1 上单调递减 在区间 m 1 单调递增 函数 f x 的极小值点为 m 1 由已知 1 m 1 0 0 m 1 故在区间 0 1 上存在 m 使得 0 m 1 设 当 0 m 1 时 函数 g m 在区间 0 1 上递增 当 0 m 1 时